2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题九 数列 综合练习（C卷）

专题九 数列 综合练习（C卷）

1.在等差数列中，，，则数列的公差为(   )

A.1 B.2 C.3 D.4

2.已知是等比数列的前n项和，若，，则的值是(   )

A.14 B.16 C.18 D.20

3.在等差数列和正项等比数列中，，，则的前2021项和为(   )

A.2021 B.4042 C.6063 D.8084

4.我国古代数学著作《九章算术》中记载问题：今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日尺.大鼠日自倍，小鼠日自半.问几何日相逢，各穿几何？意思是：今有土墙厚5尺，两鼠从墙两侧同时打洞，大鼠第一天打洞一尺，小鼠第一天也打洞一尺，大鼠之后每天打洞厚度比前一天多一倍，小鼠之后每天打洞厚度是前一天的一半，问两鼠几天打通相逢？此时，各打洞多少？两鼠相逢需要的天数最小为(   )
A.2 B.3 C.4 D.5

5.已知等差数列的首项和公差均不为0，且满足，成等比数列，则的值为(   )
A. B. C. D.

6.在正项数列中，，且点在直线上.若数列的前n项和满足，则n的最小值为(   )

A.2 B.5 C.6 D.7

7.已知等差数列的前n项和为，若，，设，则的前n项和为(   )

A. B. C. D.

8.已知各项均为正数的等比数列，若，则的最小值为(   )

A.12 B.18 C.24 D.32

9.已知等差数列的前n项和为，且.定义数列如下：是使不等式成立的所有n中的最小值，则的值为(   )

A.25 B.50 C.75 D.100

10.已知数列，均为等差数列，且对任意，都有，则___________.

11.在等比数列中，，设为的前n项和，若，则的公比__________，_________.

12.设是公差为d的等差数列，是公比为q的等比数列.已知数列的前n项和，则的值是_____________.

13.已知数列的前n项和为，且，当时，.若且，则____________.

14.已知数列中，，（p为常数）.

（1）若，，成等差数列，求p的值；

（2）若为等比数列，求p的值及的前n项和.

15.已知数列，满足.

(1)证明是等比数列，并求的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，证明：.

答案以及解析

1.答案：B

解析：设等差数列的公差为d，则解得.

2.答案：B

解析：由题意可得，，，，成等比数列，则.

3.答案：D

解析：在正项等比数列中，，解得，即，所以数列的前2021项和，故选D.

4.答案：B

解析：设大鼠、小鼠每天所打的厚度分别构成数列，，它们的前n项和分别为，则是以1为首项，2为公比的等比数列，是以1为首项，为公比的等比数列，故.令，即，解得，故选B.

5.答案：A

解析：已知等差数列的首项和公差d均不为0，且满足成等比数列，
.故选A.

6.答案：D

解析：将点P的坐标代入中，可得，所以是首项为2、公比为2的等比数列，.令，则，所以n的最小值为7.

7.答案：A

解析：设等差数列的首项为，公差为d，

则解得，

所以，，

所以，

所以

，故选A.

8.答案：C

解析：设正项等比数列的公比为，则，，令，，则，当且仅当时取等号，则的最小值为24.

9.答案：B

解析：因为等差数列的前n项和为，且，所以.因为，即，解得，当时，，即，则，所以.

10.答案：2

解析：因为数列，均为等差数列，所以.

11.答案：2；8

解析：由题意得，解得或，

当时，，则，解得；

当时，，

综上，，.

12.答案：4

解析：由题意，得，当时，，当时也成立，则对任意正整数n恒成立，则，，.

13.答案：50或53

解析：当时，，即，得.又当时，，则，则，所以，又，，则，，，…是首项为1、公差为1的等差数列，，，，是首项为0、公差为1的等差数列，当n为奇数时，，当n为偶数时，，因而，易知与同奇同偶，当同为奇数时，，得，当同为偶数时，，得.

14.答案：（1）

（2）；

解析：（1）令，则，又，所以.

①，

②，

得，故.

若，，成等差数列，则，即，

解得，即.

（2）若为等比数列，则由，，知此数列的首项和公比均为正数.

设其公比为q，因为，所以，，故，

得.

此时，，所以，故，

故，因此，

所以数列的前n项和.

15.答案：(1)证明过程见解析.

(2)证明过程见解析.

解析：(1)，

，即，

，

数列是公比为2的等比数列.

又，，，

，

，

，

即.

(2)由(1)，当n为偶数时，

，

故.

当n为奇数时， .

当n为偶数时，

.

综上，.