2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十六 考点46 推理与证明（A卷）

专题十六 考点46 推理与证明（A卷）

1.找规律填数字是一项很有趣的游戏，特别锻炼观察和思考能力，按照“1=7”“2=14”

“3=42”“4=168”的规律，可知5=(   )

A.490 B.625 C.720 D.840

2.用数学归纳法证明时，从到，不等式左边需添加的项是(   )

A. B.

C.  D.

3.在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测.
甲：我的成绩比乙高.
乙：丙的成绩比我和甲的都高.
丙：我的成绩比乙高.
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为(   )

A.甲、乙、丙  B.乙、甲、丙

C.丙、乙、甲  D.甲、丙、

4.在用数学归纳法证明等式的第2步中，假设时原等式成立，则当时需要证明的等式为(   )

A.

B.

C.

D.

5.在“2022年的北京冬奥会”知识竞赛活动中，甲、乙、丙、丁四个人对竞赛成绩进行预测.甲说“乙比丁的低”；乙说“甲比丙的高”；丙说“丁比我的低”；丁说“丙比乙的高”，结果竞赛结束后只有成绩最低的一个人说的是真的，则四个人成绩最高的是(   )

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

6.已知命题及其证明：
（1）当时，左边，右边，所以等式成立.
（2）假设时等式成立，即成立，则当时，，所以时等式也成立.
由（1）（2）知，对任意的正整数n命题都成立.
判断以上评述(   )
A.命题、证明都正确
B.命题正确、证明不正确
C.命题不正确、证明正确
D.命题、证明都不正确

7.甲、乙、丙三人尝试在下面的表格中填入数，使得第一个数表明这一行中0的个数，第二个数表明这一行中1的个数，第三个数表明这一行中2的个数，依此类推，最后一个数表明这一行中6的个数.

甲说：“第七个数一定是0”；

乙说：“这些数的和是7且第一个数不能比3大”；

丙说：“这七个数有且只有一种填法”.

其中，说法正确的是(   )

A.甲 B.乙 C.甲、乙 D.甲、乙、丙

8.用数学归纳法证明“”，由的假设证明时，如果从等式左边证明右边，则必须证得右边为(   )
A.
B.
C.
D.

9.警察询问三名可疑的人员，其中有一人是小偷，讲的全是假话，有一人是从犯，讲的话有真有假，还有一人是好人，讲的都是真话，询问中问及三个人的职业，回答如下:
甲:我是厨师，乙是发型师，丙是工程师.
乙:我是医生，丙是工人，甲呀，你若问他，他肯定回答说他是厨师.
丙:我是工人，甲是工程师，乙是发型师.
因此，我们可以知道(   )
A.小偷是甲  B.小偷是乙

C.小偷是丙  D.这三人中没有说假话的小偷

10.已知，存在自然数m，使得对任意，都能使m整除，则最大的m的值为(   )

A.30 B.36 C.9 D.6

11.在中，三边分别为a，b，c，其中c为斜边，利用数学归纳法证明：，首先验证______________.

12.在用数学归纳法证明时，假设成立，要证时等式成立中的等式应为______________.

13.甲、乙、丙三位同学获得某项竞赛活动的前三名，但具体名次未知.3人作出如下预测：甲说：我不是第三名；乙说：我是第三名；丙说：我不是第一名.若甲、乙、丙3人的预测结果有且只有一个正确，由此判断获得第三名的是________.

14.为提高学生的环保意识，共建美丽校园，学校开展了环保知识测试活动.小吴、小汤、小郑、小王四人参加测试，四个人对成绩进行预测，小郑说：“我的成绩最高.”小吴说：“小汤或小郑的成绩最高.”小汤说：“小吴、小郑都没考得最高分.”小王说：“小汤的成绩最高.”成绩公布后，四人成绩互不相同，且只有一人预测正确，根据以上信息可以判断成绩最高的人是_____________________.

15.已知数列的前n项和为，且满足，.

（1）计算，，，的值，根据计算结果猜想的表达式；

（2）用数学归纳法证明你的结论.

答案以及解析

1.答案：D

解析：观察规律有，所以.故选D.

2.答案：B

解析：当时，所假设的不等式为，当吋，要证明的不等式为，故需添加的项为.

3.答案：A

解析：三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，有以下三种情况：（1）若乙预测正确，则丙预测也正确，不合题意；（2）若丙预测正确，甲、乙预测错误，即丙成绩比乙高，甲的成绩比乙低，则丙的成绩比乙和甲都高，此时乙预测也正确，与题设矛盾；（3）若甲预测正确，乙、丙预测错误，可得甲成绩高于乙，乙成绩高于丙，符合题意，故选A.

4.答案：D

解析：因为用数学归纳法证明等式时，假设时，命题成立，即，则当时，左边，所以左边需增添的项是，所以.

5.答案：D

解析：若甲说的是真的，则乙比丁的低，甲比丙的低，丙比丁的低，丙比乙的低，所以甲的成绩最低，丁的成绩最高，符合题意；若乙说的是真的，则乙比丁的高，甲比丙的高，丙比丁的低，丙比乙的低，与题意矛盾；若丙说的是真的，则丙比丁的高，与题意矛盾；若丁说的是真的，则丙比丁的低，与题意矛盾.所以四个人成绩最高的是丁.

6.答案：B

解析：证明不正确，错在证明时，没有用到假设的结论由等比数列求和公式知命题正确.故选B.

7.答案：D

解析：由题意可知，这七个数都是一位数，若第七个数不是0，设第七个数为，则就要求第二行要有n个6，那就要在其他n个地方填上6，对应着要有6个该数字，无法满足，所以第七个数是0，则甲说法正确.同理可得第五个和第六个数是0.若第四个数填0，则第一个数可能为4，5，6，分别与第五个、第六个和第七个数必须是0矛盾，不成立；若填2，因为有3个0，所以还有3个1或3个2，无法满足，仍不成立，只能填1，所以最后答案只能为3，2，1，1，0，0，0，所以乙、丙的说法正确.所以说法正确的是甲、乙、丙.故选D.

8.答案：D

解析：由所证明的等式可知，当时，右边.故选D.

9.答案：A

解析：由于三人的回答中，只有乙的回答有两句分别被甲、丙所肯定，因此，乙不是小偷；又由于甲、丙都说乙是发型师，从而证明乙也不是从犯，否则三个人的话都有真有假了，所以乙是好人；既然乙是好人，他说的句句是真话，那么丙是工人，这与他本人的回答是一致的，所以丙是从犯，唯独甲的话句句是假，所以甲是小偷，故选A.

10.答案：B

解析：由，得，，，，由此猜想.下面用数学归纳法证明：①当时，显然成立.②假设当，，时，能被36整除，即能被36整除；当时，.因为是2的倍数，所以能被36整除，所以当时，也能被36整除.由①②可知对一切正整数n都有能被36整除，m的最大值为36.

11.答案：2

解析：因为要证明的是，所以首先验证时，.另外，若，则有，不满足.

12.答案：

解析：用数学归纳法证明时，假设成立，要证时等式成立中的等式应为.

13.答案：甲

解析：若甲预测正确，乙、丙预测错误，则丙是第一名，甲是第二名，乙是第三名，与乙预测错误矛盾；若乙预测正确，甲、丙预测错误，则乙是第三名，与甲预测错误矛盾；若丙预测正确，甲、乙预测错误，则甲是第三名，乙是第一名，丙是第二名，所以第三名是甲.

14.答案：小王

解析：若小吴的成绩最高，则四人的预测都不正确，不符合题意；若小汤的成绩最高，则小吴、小汤、小王的预测都正确，只有小郑的预测不正确，不符合题意；若小王的成绩最高，则小吴、小王、小郑的预测都不正确，只有小汤的预测正确，符合题意；若小郑的成绩最高，则小吴、小郑的预测都正确，小汤、小王的预测都不正确，不符合题意.故成绩最高的人是小王.

15.解析：（1）当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得；

当时，，解得，故猜想.

（2）①当时，显然成立.

②假设当时，，则当时，

，

所以，

所以，即.

因为，所以，即当时，结论成立.

根据①②可知，对任意，.