2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十三 考点37 椭圆及其性质（A卷）

专题十三 考点37 椭圆及其性质（A卷）

1.已知焦点在x轴上的椭圆的焦距为，则离心率e等于(   )

A. B. C. D.

2.已知椭圆C的焦点分别为，，，为椭圆上的两点，且与周长之和为28，则该椭圆C的方程为(   )

A.  B.

C.  D.

3.已知椭圆C的两个焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，且，那么椭圆C的短轴长是(   )

A.6 B.7 C.8 D.9

4.已知椭圆的右焦点为F，P是椭圆上任意一点，点，则的周长的最大值为(   )

A. B. C.14 D.

5.椭圆具有光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点(如图).已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与椭圆E交与点A，B，过点A作椭圆的切线l，点B关于l的对称点为M，若，则(   )

A. B. C. D.

6.已知，为椭圆的左、右焦点，过原点O且倾斜角为30°的直线l与椭圆C的一个交点为A，若，，则椭圆C的方程为(   )
A.  B.

C.  D.

7.已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为M，倾斜角为的直线过点，直线上存在一点N满足，则椭圆离心率最小值为(   )

A. B. C. D.

8.已知P是椭圆上异于点，的一点，E的离心率为，则直线AP与BP的斜率之积为(   )

A. B. C. D.

9.已知F是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于A，B两点，且，则椭圆离心率的取值范围是(   )

A. B. C. D.

10.满足的椭圆为半焦距)为黄金椭圆，写出一个黄金椭圆的方程_____________.

11.设，为椭圆的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.

12.已知椭圆的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是，，且的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则的取值范围是__________.

13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过作倾斜角为30°的直线，与以坐标原点O为圆心、椭圆半焦距为半径的圆交于点A（不同于点），与椭圆C在第一象限交于点B，若，则椭圆C的离心率为_____________.

14.已知半椭圆和半圆组成曲线C.如图所示，半椭圆内切于矩形ABCD，CD与y轴交于点G，点P是半圆上异于A，B的任意一点.当点P位于点处时，的面积最大.

（1）求曲线C的方程；

（2）连接PC，PD分别交AB于点E，F，求证为定值.

15.已知椭圆的一个顶点为，焦距为.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N.当时，求k的值.

答案以及解析

1.答案：A

解析：由题可知，解得，所以，所以，所以，故椭圆的离心率，故选A.

2.答案：D

解析：由题意得，椭圆C的方程为，故选D.

3.答案：C

解析：设椭圆C的标准方程为.依题意得，，，又，，即，因此椭圆的短轴长是，故选C.

4.答案：C

解析：如图，设椭圆的左焦点为.由题意，得，且.因为，所以的周长为，当且仅当A，，P三点共线时取等号，所以的周长的最大值为14.

5.答案：A

解析：如图，由椭圆的光学性质可得，三点共线，

设，则，

则，解得.

又，所以，所以.故选A.

6.答案：A

解析：因为点A在椭圆上，所以，把该等式两边同时平方，得.又，所以，则，即，所以.因为是直角三角形，，且O为的中点，所以.不妨设点A在第一象限，则，所以，所以，即，故，所以椭圆C的方程为，故选A.

7.答案：C

解析：由可得，，.设，则，，所以由，可得，整理得，即，设椭圆的离心率为e，则，解得.又因为，所以，所以椭圆的离心率的最小值为，故选C.

8.答案：C

解析：设，则.

由，得，设，则，，.

又直线AP的斜率，直线BP的斜率，

，故选C.

9.答案：C

解析：连接A，B与左右焦点F，的连线，由，

由椭圆及直线的对称性知：四边形为平行四边形，且，

在中，，

，可得，即，则，椭圆的离心率，故选C.

10.答案：

解析：由椭圆中，结合已知，得，两边同时除以可得方程，1=0，解得或(舍)，所以只要满足都是黄金椭圆.例如，则，可得黄金椭圆的方程为.

11.答案：

解析：不妨设，分别为椭圆C的左、右焦点，根据题意可知，.

因为为等腰三角形，所以易知，所以.设，

则得所以M的坐标为.

12.答案：

解析：由已知得，故，①.的面积为，，②.由①②联立解得，，..由椭圆的定义知，，又，，，即的取值范围是.

13.答案：

解析：通解  因为，所以A为线段的中点，，

又为圆O的直径，所以，在中，，，所以，从而，在中，由余弦定理得，又，所以，解得，所以椭圆C的离心率.

优解  因为，所以A为线段的中点，，又为圆O的直径，所以，所以，在中，，，所以，从而，又，所以，解得，所以椭圆C的离心率.

14.答案：（1）和

（2）见解析

解析：（1）因为点M在半圆上，所以，又，所以.

当半圆在点M处的切线与直线AG平行时，的面积最大.

因为，所以，

又，所以，

所以曲线C的方程为和.

（2）证明：由题意得，，

设，

则，令，得，即，

，令，得，即，

又，，，

所以

.

15.答案：（Ⅰ）

（Ⅱ）-4

解析：（Ⅰ）依题意可知，
得，故椭圆E的方程为.

（Ⅱ）由题可知直线BC的方程为，
设，，
联立直线BC和椭圆E的方程，得，
整理得，
，，
由得，
易知直线AB的斜率，
直线AB的方程为，

令，可得点M的横坐标，同理可得点N的横坐标.





，得.

故k的值为-4.