2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十三 考点37 椭圆及其性质（B卷）

专题十三 考点37 椭圆及其性质（B卷）

1.已知椭圆，，分别为其左、右焦点，，B为短轴的一个端点，（O为坐标原点）的面积为，则椭圆的长轴长为(   )

A.4 B.8 C. D.

2.中国是世界上最古老的文明中心之一，中国古代对世界上最重要的贡献之就是发明了瓷器，中国陶瓷是世界上独一无二的，它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术，陶瓷的形状各式各样，从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘，经测量得到图中数据，则该椭圆瓷盘的焦距为(   )

A.cm B.cm C.cm D.12cm

3.已知，分别为椭圆的两个焦点，椭圆C上的一点P满足，且，则a的值为(   )

A.3 B.2 C.1 D.

4.已知F是椭圆的左焦点，P为椭圆C上的任意一点，点，则的最大值为(   )

A. B.9 C. D.5

5.已知，是椭圆的左、右焦点，过点的直线与椭圆交于P，Q两点，，且，则与的面积之比为(   )

A. B. C. D.

6.开普勒(Johannes Kepler，1571~1630)，德国数学家、天文学家，他发现所有行星运行的轨道与公转周期的规律:所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等已知金星与地球的公转周期之比约为，地球运行轨道的半长轴为a，则金星运行轨道的半长轴约为(   )

A. B. C. D.

7.已知P是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，则面积为(   )

A. B. C. D.

8.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与椭圆交于点M，

，则椭圆的离心率为(   )

A. B. C. D.

9.已知分别是椭圆的左、右焦点，点A在C上，的内心为点B，且，则C的离心率为(   )

A. B. C. D.

10.已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为4，离心率为，则椭圆的方程为_____________.

11.设，分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆E于A，B两点，.若，则椭圆E的离心率为____________.

12.已知是椭圆的左、右焦点，M点是在第一象限椭圆E上一动点，若是锐角，则椭圆E在M点处的切线的斜率的取值范围是_____________.

13.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆为顶点，为焦点，P为椭圆上一点，O为坐标原点，则下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的是_____________.（填序号）

①；
②；
③轴，且；
④四边形的内切圆过焦点.

14.已知椭圆的离心率为，直线过E的上顶点和右焦点，直线过E的右顶点，，与之间的距离为.

(1)求椭圆E的标准方程.

(2)已知过原点的直线与椭圆E交于A，B两点，点C是E上异于A，B的点，且，试问在x轴上是否存在点M，使得点M到直线AC的距离为定值？若存在，求出定值与点M的坐标；若不存在，请说明理由.

15.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，两点.

（1）求E的方程；

（2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足，证明：直线HN过定点.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由题意可知，，解得，所以，所以椭圆的长轴长为，故选B.

2.答案：C

解析：设椭圆方程为，根据题意得，，所以，.因为，所以，，则.故选C.

3.答案：A

解析：由，得，由正弦定理得.又，则，所以椭圆C的离心率.又，所以，故选A.

4.答案：B

解析：设椭圆的右焦点为，则，当且仅当P为的延长线与椭圆的交点时取等号，所以的最大值为9.

5.答案：D

解析：由题意可设，则.因为，所以.由椭圆的定义，得，，则，所以，即，则，解得，则与的面积之比为.

6.答案：C

解析：设金星运行轨道的半长轴为，金星和地球的公转周期分别为，

由开普勒定律得.

因为，所以，即.容易验证，

因此，故选C.

7.答案：A

解析：解法一  由椭圆标准方程，得，，所以.设，，由椭圆的定义可得①.在中，，根据余弦定理可得，整理可得②.把①两边平方得③.由③-②可得，所以.故选A.

解法二  由椭圆焦点三角形的面积公式，得.故选A.

8.答案：C

解析：如图，不妨设点M为第二象限的点，直线与x轴交于点.，又，，则由得，即椭圆的离心率，故选C.

9.答案：B

解析：如图，圆B与相切，设切点分别为D，F，H，由圆的切线性质，可设，由椭圆的定义可得，即有，由可得，设圆的半径为r，可得，由，可得，可得，结合面积公式可得，即，.故选B.

10.答案：

解析：椭圆中，.

所以，故椭圆的方程为.

11.答案：

解析：设，则，，，.，在中，由余弦定理得，，，化简可得，而，故.，，，，是等腰直角三角形，，椭圆的离心率.

12.答案：

解析：设点M的坐标为，

由已知得，当为直角时，则

解得，解，得，

所以，此时.

椭圆在处切线方程为，即，

所以当时，是锐角，

此时，所以椭圆E在M点处的切线的斜率取值范围是.

13.答案：②④

解析：对于①，由于，即，所以，整理可得离心率，故①不符；对于②，由于，所以，因此，整理可得，故②符合；对于③，由于轴，且，所以，因此，整理可得，故③不符；对于④，由于四边形的内切圆过焦点，由对称性知O到直线的距离等于c，所以，整理可得，故④符合.

14.答案：(1)标准方程为.

(2)存在，点.

解析：(1)因为椭圆E的离心率为，所以，则，所以直线的斜率为-1.

如图，设E的右焦点为F，右顶点为P，上顶点为Q，过点P作于点D，

则，所以，即，解得，

则.

故椭圆E的标准方程为.

(2)由题意可得点O是线段AB的中点.

又，所以.

①当直线AC的斜率存在时，设直线AC的方程为，

由，得，

则，即.

由根与系数的关系可得，

由可得，即，

即，所以，

故.

假设存在点满足条件，设点M到直线AC的距离为d，

则，

当时，为定值，即d为定值.

②当直线AC的斜率不存在时，根据椭圆的对称性可得，

所以，故，点到直线AC的距离为.

综上可得，存在点，使得点M到直线AC的距离为定值.

15.答案：（1）；
（2）直线HN过定点

解析：（1）椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过，
可设椭圆E的方程为，
又椭圆E过，，得，
E的方程为.

（2）当直线MN的斜率不存在时，，
由，得，.
结合题意可知，，
过M且平行于x轴的直线的方程为.
易知点T的横坐标，直线AB的方程为即，
由，得，.
，，
，即.
当直线MN的斜率存在时，如图，设，，.
由，得，，，.

过M且平行于x轴的直线的方程为，
与直线AB的方程联立，得，得，
.
，，
，
即.
令，得

.
，
，
，

，

，
，
直线HN过定点.

综上，直线HN过定点.