2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十三 考点38 双曲线及其性质（B卷）

专题十三 考点38 双曲线及其性质（B卷）

1.已知分别是双曲线的右顶点与虚轴的上端点，是双曲线C的右焦点，直线与双曲线C的一条渐近线垂直，则双曲线C的标准方程为(   )

A. B. C. D.

2.已知P是双曲线的右支上一点，M，N分别是圆和上的点，则的最大值为(   )
A.6 B.7 C.8 D.9

3.已知双曲线，直线l过其左焦点，交双曲线左支于A，B两点，且为双曲线的右焦点，的周长为20，则m的值为(   )

A.8 B.9 C.16 D.20

4.已知双曲线的下、上焦点分别为，点M在C的下支上，过点M作C的一条渐近线的垂线，垂足为D.若恒成立，则C的离心率的取值范围为(   )

A. B. C. D.

5.如图，，分别是双曲线的左，右焦点，过的直线l与双曲线的左，右两支分别交于点A，B.若为等边三角形，则双曲线的方程为(   )

A. B. C. D.

6.已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点作双曲线C的渐近线的垂线，垂足分别为M，N两点.若的面积为2，则双曲线C的虚轴长为(   )
A.2 B.3 C.4 D.6

7.已知分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，过作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则双曲线C的离心率为(   )

A. B. C.2 D.5

8.已知双曲线的离心率为，与同渐近线的双曲线过点，直线与x轴、y轴分别交于B，C两点，且与双曲线交于D，若，则(   )

A.2 B. C. D.3

9.已知双曲线与椭圆有相同的焦点(为左焦点)，且在第一象限中的交点为M，若为等腰三角形，则下列说法正确的是(   )

A.双曲线C的顶点为

B.双曲线C的渐近线方程为

C.

D.双曲线C的方程为

10.已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则实数____________.

11.已知双曲线的右顶点、右焦点分别为，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点M，直线与C的一个交点为，且，则双曲线的离心率为_________.

12.已知F为双曲线的左焦点，P，Q为双曲线C同一支上的两点.若PQ的长等于虚轴长的2倍，点在线段PQ上，则的周长为__________.

13.已知双曲线的右焦点为，直线与的左、右两支及x轴分别交于A，B，C三点，若x轴上的点M满足，且，则的离心率为_________________.

14.已知双曲线的右焦点为，点F到C的渐近线的距离为1.

(1)求C的方程.

(2)若直线与C的右支相切，切点为与直线交于点Q，问x轴上是否存在定点M，使得?若存在，求出M点坐标;若不存在，请说明理由.

15.双曲线经过点，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为.

(1)求双曲线C的方程；

(2)过点P的两条直线，与双曲线C分别交于A，B两点(A，B两点不与P点重合)，设直线，的斜率分别为，，若，证明：直线AB过定点.

答案以及解析

1.答案：B

解析：由题意得，易知线与渐近线垂直，，得，，双曲线C的标准方程为.

2.答案：D

解析：设双曲线的两个焦点分别是与，则这两点正好是两圆的圆心，当且仅当点P与M，三点共线（M为的延长线与圆的交点）及P与N，三点共线（N为线段与圆的交点）时，所求的值最大，此时，故选D.

3.答案：B

解析：由已知，.又，则.根据双曲线的定义，，所以，即，所以.

4.答案：A

解析：设，则点到渐近线的距离.

由双曲线的定义可得，故，则的最小值为，

由恒成立，得恒成立，即，即，即，即，故.故选A.

5.答案：C

解析：根据双曲线的定义，有①，②，由于为等边三角形，因此，①+②，得，

则，，

又，所以，即，解得，

则，所以双曲线的方程为.

6.答案：C

解析：连接MN交x轴于点D，则.因为，所以，.因为，所以，即，所以，.因为

，故，则，解得，故双曲线C的虚轴长为4.故选C.

7.答案：A

解析：由题意得.因为，所以.在中，.在中，.因为，所以，结合化简可得，所以双曲线C的离心率，故选A.

8.答案：C

解析：由题意，双曲线的离心率，解得，

设，将点A代入得，解得，

，与直线l联立得.

易得，，，

解得，故选C.

9.答案：C

解析：由题知，，由于点M为两曲线在第一象限中的交点，且为等腰三角形，故，所以，故，即，所以，故双曲线C的标准方程为，双曲线C的顶点坐标为，渐近线方程为，取的中点H，连接，易知，故，故选C.

10.答案：1

解析：双曲线的焦点在x轴上，即.双曲线的两条渐近线互相垂直，，即，解得（负值舍去）.

11.答案：

解析：因为，所以，即，不妨设点M的坐标为.设点，因为点， ，所以，则，代入双曲线方程得，整理得，则，解得(舍负).

12.答案：32

解析：根据题意，得双曲线的左焦点，虚轴长为6，所以点是双曲线的右焦点，如图所示，

，①

，②

的长等于虚轴长的2倍，，

由①+②得，，

周长为.故答案为32.

13.答案：

解析：依题意得C为的左焦点，则.由，得.

，，，.设，则，，，，，，.由双曲线的定义知，，即，①.又，，，即是等边三角形，.在中，由余弦定理知，，即，化简得②.由①②，得，所以的离心率.

14.答案：(1)

(2)

解析：(1)易知C的渐近线方程为，

所以到渐近线的距离，

所以，

所以C的方程为.

(2)由题意易知直线的斜率存在，设其方程为，联立与C的方程，消去y，得，

因为直线与C的右支相切，所以，

得，则.

设切点，则，

.

设，因为Q是直线与直线的交点，所以.

假设x轴上存在定点，使得，

则

，

故存在，使得，即，

所以x轴上存在定点，使得.

15.答案：(1).

(2)证明过程见解析.

解析：(1)由题得双曲线C的一条渐近线方程为，虚轴的一个顶点为，
依题意得，即，
即，①
又点在双曲线C上，
所以，即，②
由①②解得，，
所以双曲线C的方程为.
(2)当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，
设，，
则由，解得，
即，解得，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.
不妨设直线AB的方程为，代入，
整理得，，
设，，
则，，
由，得，
即，
整理得，
所以，
整理得，即，
所以或.
当时，直线AB的方程为，经过定点；
当时，直线AB的方程为，经过定点，不符合题意.
综上，直线AB过定点.