2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十三 考点39 抛物线及其性质（A卷）

专题十三 考点39 抛物线及其性质（A卷）

1.抛物线的准线方程是(   )

A. B. C. D.

2.抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是(   )

A. B. C.1 D.

3.已知抛物线的焦点在直线上，则此抛物线的标准方程是(   )

A.  B.

C.或  D.或

4.已知点A是抛物线上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当时，，则抛物线的准线方程是(   )

A. B. C. D.

5.已知抛物线，F为其焦点，抛物线上两点A、B满足，则线段AB的中点到y轴的距离等于(   )

A.2 B.3 C.4 D.6

6.矿川爆破时，在爆破点处炸开的矿石的运动轨迹可看作是不同的抛物线，根据地质、炸药等因素可以算出这些抛物线的范围，这个范围的边界可以看作一条抛物线，叫“安全抛物线”，如图所示.已知某次矿山爆破时的安全抛物线的焦点为，则这次爆破时，矿石落点的最远处到点F的距离为(   )

A. B.2 C. D.

7.过抛物线的焦点F，作斜率大于0的直线l交抛物线于A，B两点（A在B的上方），且l与抛物线E的准线交于点C，若，则(   )

A.2 B. C.3 D.

8.已知函数的图象上一点P，，则的最小值为(   )

A.2 B. C.3 D.

9.设抛物线的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，设，AF与BC相交于点D.若，且的面积为，则点F到准线l的距离是(   )

A. B. C. D.

10.若抛物线的准线方程为，则实数a的值为_________.

11.已知A，B是抛物线上的动点，且满足，则AB中点M的横坐标的最小值为__________________.

12.已知抛物线的准线为l，点P在抛物线上，于点Q，与抛物线的焦点不重合，且，，则______________.

13.已知，，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是___________.若F为轨迹C的焦点，P是直线上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且，则_____________.

14.已知F是抛物线的焦点，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，若.

（I）求抛物线的标准方程；

（Ⅱ）设直线n同时与椭圆和抛物线C相切，求直线n的方程.

15.如图，已知为抛物线的焦点.过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧.记，的面积分别为，.

（1）求p的值及抛物线的准线方程；

（2）求的最小值及此时点G的坐标.

答案以及解析

1.答案：A

解析：抛物线可化为，开口向上，，

准线方程为.故选A.

2.答案：B

解析：抛物线的焦点为，到双曲线的一条渐近线的距离为，故选B.

3.答案：C

解析：当时，；当时，.

因此抛物线的焦点可为，.

①当焦点为时，设标准方程为，且，；

②当焦点为时，设标准方程为，且，.故选C.

4.答案：A

解析：如图所示，过A作准线的垂线AC，过F作AC的垂线FB，垂足分别为C，B，由题意，得，所以，点A到准线的距离，解得，则拋物线的准线方程是，故选A.

5.答案：B

解析：设线段AB的中点为M，如图所示，l是抛物线的准线，过A点作于点，过M点作于点，交y轴于N点，过B点作于点，，，.

由点M是线段AB的中点知，

.

，.

因此，

，故选B.

6.答案：D

解析：由题可得抛物线E的顶点坐标为，所以抛物线的顶点到焦点F的距离为，

得，故抛物线E的方程为.令，得，即抛物线E与x轴的交点坐标为，

故矿石落点的最远处到点F的距离为.

7.答案：A

解析：由得，.

过B作垂直于准线，垂足为，

则.

由得，.

因此直线l的斜率为，从而直线l的方程为.

由

得，

解得，，

，故选A.

8.答案：C

解析：如图，函数的图象即曲线的图象在x轴上和x轴上方的部分，

点A为抛物线的焦点，抛物线的准线为.过点P作准线的垂线，垂足为点Q，过点B作准线的垂线，垂足为点C，则，，即的最小值为3，故选C.

9.答案：D

解析：如图所示，抛物线的焦点为，准线方程为，

过抛物线上一点A作l的垂线，垂足为B，可得，

又由且，所以，

所以，解得，代入抛物线方程，可得，

又由且，所以四边形ABFC为平行四边形，所以D为BC的中点，

所以的面积为，解得，

即点F到准线l的距离是.

故选：D.

10.答案：

解析：抛物线方程可化为，由于其准线方程为，所以，解得.

11.答案：4

解析：设抛物线的准线为l，焦点为F，则，过点A作于，过点B作于，连接FA，FB，则，得，解得，所以的最小值为4.

12.答案：

解析：如图，设抛物线的焦点为F，连接PF，由拖物线的定义知，又，所以，由及，得，于是为正三角形，

，所以点P的坐标为，

将其代入，得，即，即，所以.

13.答案：；

解析：设，，

，，

直线AM且BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，

，

整理，得点M的轨迹C的方程是.

F为轨迹C的焦点，，

如图，过点Q作轴于点M，设直线l与y轴交于点N，

，，，

，.

14.答案：（I）

（Ⅱ）或

解析：（I）由题意得点，设过点F且倾斜角为的直线l的方程为，

联立，消y整理得

.

设，，

则，

则，解得，

所以抛物线的标准方程为.

（Ⅱ）由题知，直线n的斜率显然存在，

设直线n的方程为，

联立

消去y整理得.

因为直线n与椭圆相切，

所以，

整理得.

联立，消去y整理得

.

因为直线n与抛物线相切，

所以，

整理得，

所以，

解得或

所以直线n的方程为或.

15.答案：（1），

（2）当时，取得最小值，此时

解析：（1）由题意得，即.

所以抛物线的准线方程为.

（2）设，，，重心.令，，则.由于直线AB过F，故直线AB的方程为，代入，得，故，即，所以.又由于，及重心G在x轴上，故，

得，.

所以直线AC的方程为，

得.

由于Q在焦点F的右侧，故.

从而.

令，则，

.

当时，取得最小值，此时.