2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十三 圆锥曲线 综合练习（B卷）

专题十三 圆锥曲线 综合练习（B卷）

1.设抛物线的焦点为F，过点且斜率为的直线与C交于M，N两点，则(   )

A.5 B.6 C.7 D.8

2.已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且是直角三角形，则的面积为(   )

A. B. C.或8 D.或8

3.设双曲线的左、右焦点分别为，，若双曲线上存在一点P，使，且，则双曲线的离心率为(   )

A. B. C. D.

4.直线经过椭圆的左焦点F，交椭圆于A，B两点，交y轴于点C.若，则该椭圆的离心率为(   )

A. B. C. D.

5.已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，M，P是椭圆E上的点，的中点为N，，过P作圆的一条切线，切点为B，则的最大值为(   )

A. B. C. D.5

6.已知双曲线的一条渐近线的方程为，左、右焦点分别为，，直线过定点P，且在双曲线C上，M为双曲线上的动点，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

7.已知F是抛物线的焦点，A、B是该抛物线上的两点，若，则线段AB的中点到x轴的距离为(   )

A. B.1 C. D.

8.在平面直角坐标系Oxy中，已知点，点A，B在双曲线上，且，则直线AB的斜率为(   )

A. B. C. D.

9.设抛物线的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于点A，B，与圆交于点P，Q，其中点A，P在第一象限，则的最小值为(   )

A. B. C. D.

10.已知双曲线的左、右焦点分别为，以为直径的圆与E的一个交点为P，若，则E的离心率为__________.

11.已知椭圆，圆.圆O与椭圆C内切，过椭圆上不与顶点重合的一点P引圆O的两条切线，切点分别为，设直线与x轴、y轴分别相交于点，且，则椭圆C的方程为________.

12.已知抛物线的焦点为F，抛物线与抛物线交于O，A两点，过点A作抛物线准线l的垂线，垂足为B，若的外接圆C的半径为，则圆C的标准方程为_____________.

13.已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且，，则l的方程为________.

14.已知椭圆的离心率为，其右顶点为A，下顶点为B，定点，的面积为3，过点C作与y轴不重合的直线l交椭圆C于P，Q两点，直线BP，BQ分别与x轴交于M，N两点.
 

（1）求椭圆C的方程.

（2）试探究点M，N的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

15.过的直线与抛物线交于两点，以两点为切点分别作抛物线的切线，设与交于点.

(1)求;

(2)过的直线交抛物线于两点，求四边形面积的最小值.

答案以及解析

1.答案：D

解析：设，.由已知可得直线的方程为，即，由得.由根与系数的关系可得，，

，，，，故选D.

2.答案：B

解析：由题意得，，，

设椭圆的上顶点为B，由得，，

因此或.当时，，

，，同理，当时，.故选B.

3.答案：C

解析：因为点P在双曲线上，且，所以，所以，，因为，所以，即，整理得，

所以离心率.故选C.

4.答案：A

解析：在中，令，得，.

令，得，，设，则，，

由得解得由A在椭圆上，得，，故选A.

5.答案：B

解析：连接，的中点为N，，

，

，，椭圆.

设，则，，.

连接QB，PQ，由题知，，，

，

，

由二次函数的性质知，当时，取得最大值，且，故选B.

6.答案：C

解析：将直线，变形为，可得解得定点为.由及渐近线方程，可得双曲线的方程为，，.易知当点M在双曲线的右支上时，可以取到最小值，即取得最小值，当M，P，三点共线时，，的最小值为，故选C.

7.答案：C

解析：由抛物线方程得焦点，准线方程为.

设，，则，.

由，得.

设AB的中点为，则，

所以AB的中点到x轴的距离为，故选C.

8.答案：B

解析：设直线AB的方程为.

由得.

设，，则

，，，

代入①得，

.

化简得，，

因此直线AB的斜率为，故选B.

9.答案：D

解析：由抛物线方程，得，因此.

设直线l的方程为，联立得.

设，，则，

，从而.

又，，

.

因此，当且仅当时取等号.故选D.

10.答案：

解析：由已知得为直角三角形，所以，.

因为，所以.

又，所以.

因为，，

所以，所以双曲线E的离心率.

11.答案：

解析：因为圆与椭圆C内切，所以，设点，因为是圆O的切线，所以直线，同理直线.因为直线都经过点P，所以，所以直线.令时，得，令时，得，所以.又点在椭圆

上，所以，即，所以，解得，所以椭圆C的方程为.

12.答案：

解析：由已知得，联立解得点，

，则线段AB的中垂线.

又，且由抛物线的定义可知，线段BF的中垂线过点A，

则线段BF的中垂线，即，

联立解得圆心，则圆C的半径，

解得，，

圆C的标准方程为.

13.答案：

解析：通解：设直线l的方程为，分别令，，得点，.设，.由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，所以，即.因为，所以.将，代入椭圆方程，得，相减得，由题意知，，所以，即，整理得①.又，所以由勾股定理，得②，由①②并结合，，得，所以直线l的方程为，即.

优解：设直线l的方程为，分别令，，得点，.由题意知线段AB与线段MN有相同的中点，设为Q，则，则，.由椭圆中点弦的性质知，即，以下同通解.

14.答案：（1）；（2）是定值，.

解析：解：（1）由已知，A，B的坐标分别是，，由于的面积为3，

①，又由，化简得②，

①②两式联立解得：或（舍去），，，

椭圆方程为；

（2）设直线PQ的方程为，P，Q的坐标分别为，

则直线BP的方程为，令，得点M的横坐标，

直线BQ的方程为，令，得点N的横坐标，

，

把直线代入椭圆得，

由韦达定理得，

，是定值.

15.答案：(1) (2) 32

解析：(1)设，直线，

由得，所以

由，所以，

即，

同理，联立得得

即.

(2)因为，

所以，

所以，即.

而，

同理(易知)，

所以，

当且仅当时，四边形的面积取得最小值32.