2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题十一 考点34 直线、平面垂直的判定与性质（A卷）

专题十一 考点34 直线、平面垂直的判定与性质（A卷）

1.若直线直线b，且平面，则(   )

A. B. C. D.或

2.已知是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为，则O到平面ABC的距离为(   )

A. B. C.1 D.

3.如图，为正方体，给出以下结论：①平面；②；③平面.其中正确结论的个数是(   )

A.0 B.1 C.2 D.3

4.如图所示，在三棱锥中，，，平面平面ABC，则下列命题不正确的是(   )

A.平面PAB  B.平面ABC

C.平面平面PBC D.平面平面ABC

5.如图，三棱锥中，是边长为3的等边三角形，D是线段AB的中点，，且，，.则PA与平面CDE所成角的正切值为(   )

A. B. C. D.

6.在三棱锥中，，，，则二面角等于(   )
A. B. C. D.

7.已知正三棱锥的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为(   )

A. B. C. D.

8.一个几何体的平面展开图如图所示，其中四边形ABCD为正方形，E，F分别为PB，PC的中点，在此几何体中，下面结论中一定正确的是(   )

A.直线AE与直线DF平行 B.直线AE与直线DF异面

C.直线BF和平面PAD相交 D.直线平面PBC

9.如图，在母线长为3，底面圆的半径为1的圆柱中，垂直于底面，分别是圆柱上、下底面的圆心，是底面圆O的直径，C是弧的中点，则下列结论中错误的是(   )

A.平面平面

B.异面直线与所成角的余弦值为

C.和平面所成角的正弦值为

D.三棱锥的体积是

10.在三棱锥中，，则二面角的大小为_________.

11.已知中，，P为平面ABC外一点，且，则平面PBC与平面ABC的位置关系是_________.

12.如图，在长方形ABCD中，，，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点.现将沿AF折起，使平面平面ABC.在平面ABD内过点D作，垂足为K.设，则实数t的取值范围是_______________.

13.如图，三棱锥的所有棱长均为1，底面，点在直线上，且，若动点P在底面内，且的面积为，则动点P的轨迹长度为________.

14.如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，， 平面平面ABCD，点M为PC上一点.

(1)若平面MBD，求证：点M为PC中点.

(2)求证：平面平面PCD.

15.如图（1），在直角梯形ABCD中，，，，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将沿BE折起到图（2）中的位置，得到四棱锥.

（1）证明：平面；

（2）当平面平面BCDE时，四棱锥的体积为，求a的值.

答案以及解析

1.答案：D

解析：当时，，且；当时，，且；当b与相交时，，则a与b不垂直.所以若直线，且，则或.故选D.

2.答案：C

解析：设等边三角形ABC的边长为a，因为其面积为，所以，解得.故的外接圆半径.设球O的半径为R，因为球O的表面积为，所以，得.所以O到平面ABC的距离.故选C.

3.答案：D

解析：由正方体的性质得，所以结合线面平行的判定定理可得，平面，所以①正确.连接AC，由正方体的性质得，.又，即平面，所以，所以②正确.由正方体的性质得，由②可得，所以，同理可得，进而结合线面垂直的判定定理可得平面，所以③正确.故选D.

4.答案：C

解析：平面平面ABC，平面平面，，平面PAB，故选项A正确；又平面PAB，.又，，平面ABC，故选项B正确；又平面PAC，平面平面ABC，故选项D正确，故选C.

5.答案：A

解析：，.过P作于M，则.，，，平面CDE，PA与平面CDE所成的角等于.又，.

6.答案：C

解析：取AB中点O，连接VO，CO.
在三棱锥中，，，，
，，是二面角的平面角.
，，
，为等边三角形.，
二面角等于.故选C.
 

7.答案：C

解析：如图所示，过点S作底面ABC，点O为垂足，连接OA，OB，OC，则，点O为等边三角形ABC的中心.延长AO交BC于点D，连接SD.则，.

为侧面SBC与底面ABC所成二面角的平面角.

正三棱锥的所有棱长均为2，

，.

在中，.故选C.

8.答案：C

解析：根据题意，还原的几何体如图所示，对于A，B选项，连接EF，因为，且，所以四边形AEFD为梯形，AE，DF是梯形的腰，故AE，DF一定相交，故A，B错误；对于C选项，取PD的中点M，连接MF，AM，因为，，所以四边形FMAB为梯形，AM，BF是梯形的腰，故AM，BF一定相交，故BF与平面PAD一定相交，故C正确；对于D选项，若直线平面PBC，可得.又因为在正方形ABCD中，，，所以平面PCD，所以，这不一定成立，故D错误.故选C.

9.答案：D

解析：对于选项A，为圆O的直径，所以.又平面平面，所以.因为，所以平面.又平面，所以平面平面，故选项A正确；对于选项B，取弧的中点D(不与点C重合)，连接，易知四边形为平行四边形.所以，所以或其补角是异面直线与所成的角，易知平面.又平面，所以，所以为直角三角形.在中，，，所以，故选项B正确；对于选项C，连接，易知平面，则为和平面所成的角.在中，，.所以，故选项C正确；对于选项D，，故选项D错误，故选D.

10.答案：60°

解析：取AB中点M，连接PM，MC，则，

所以就是二面角的平面角.

由已知易求得：，又，所以即为所求.

11.答案：平面平面ABC

解析：因为，所以P在所在平面上的射影必落在的外心上，

又的外心为BC的中点，设为O，则平面ABC，

又平面PBC，所以平面平面ABC.

12.答案：

解析：过点K作于点M，连接DM.平面平面ABC，平面平面，，平面ABD，平面ABC.平面ABC，.，，平面DMK.平面DMK，.与折前的图形对比，可知折前的图形中D，M，K三点共线，且，，，即，.，.

13.答案：

解析：设P到直线的距离为d，由题易得，易知H为的中心，又平面，当点P在平面内时，其轨迹是以H为圆心，为半径的圆.内切圆的半径为圆H的一部分位于外，结合题意得，点P的轨迹为圆H位于底面内的三段相等的圆弧，

如图，过点H作，垂足为O，则，记圆H与线段的交点为K，连接，可得，，点P的轨迹长度为圆H周长的，∴点P的轨迹长度为.

14.答案：(1)见解析

(2)见解析

解析：(1)连接AC交BD于O，

连接OM，如图所示；

因为平面平面PAC，

平面平面，

所以.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以O是AC的中点，所以M是PC的中点.

(2)在中，，

所以，

所以，所以.

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以，所以.

又因为平面平面ABCD，

且平面平面平面ABCD，

所以平面PCD.

因为平面MBD，

所以平面平面PCD.

15.答案：（1）见解析

（2）

解析：（1）连接CE.在直角梯形ABCD中，

因为，点E是AD的中点，，

所以四边形ABCE是正方形，所以.

在四棱锥中，，.

因为，平面，平面，

所以平面.

又因为，，所以四边形BCDE是平行四边形，所以，所以平面.

（2）由已知，平面平面BCDE，且平面平面.

又由（1）知，，所以平面BCDE，

即是四棱锥的高.

平行四边形BCDE的面积，

所以四棱锥的体积.

由，解得.