2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题五 考点14 导数的应用（A卷）

专题五 考点14 导数的应用（A卷）

1.函数的单调减区间为(   )

A.和  B.

C.  D.

2.设函数的定义域为R，是其导函数，若，，则不等式的解集是(   )

A. B. C. D.

3.若是函数的极值点，则的极小值为(   )

A.-1 B. C. D.1

4.已知函数，，的最大值为3，最小值为-6，则(   )

A. B. C. D.

5.用长为30 cm的钢条围成一个长方体形状的框架（即12条棱长的总和为30 cm），要求长方体的长与宽之比为，则该长方体的最大体积是(   )

A.24 B.15 C.12 D.6

6.已知函数的定义域为R，，对任意的，满足.当时，不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

7.设函数，若不等式在上有解，则实数a的最小值为(   )

A. B. C. D.

8.已知定义在上的函数有不等式恒成立，其中为函数的导函数，则下列结论中正确的是(   )

A. B. C. D.

9.已知函数，若函数在区间上的图象恒在直线的下方，则实数a的取值范围是____________.

10.已知函数和，若的极小值点是的唯一极值点，则k的最大值为___________.

11.已知函数，当时，函数有极值，则函数在区间上的最大值为____________.

12.已知若函数（m为实数）有两个不同的零点，且，则的最小值为______________.

13.已知是函数的一个零点.

（1）求的极小值；

（2）设，当时，求证：.

14.已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)设函数，试讨论的零点个数.

15.已知函数.

(1)求函数的单调区间及极值；

(2)当时，证明：.

答案以及解析

1.答案：C

解析：由题意，得，令，即，解得或.又因为，所以函数的单调减区间为.

2.答案：C

解析：令，则，因为，所以，所以在R上单调递减.因为，所以不等式可转化为，即，又在R上单调递减，所以，故不等式的解集为，故选C.

3.答案：A

解析：因为，，所以，所以，.令，解得或，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增，所以的极小值为.

4.答案：C

解析：.令，得或（舍去）.当时，，当时，，故为极小值点，也是最小值点.，，，最小值为，最大值为，，解得，.

5.答案：B

解析：设该长方体的宽是x m，则由题意知，其长是，高是，其中，则该长方体的体积，，由，得，且当时，；当时，，即体积函数在处取得极大值，也是函数在定义域上的最大值，所以该长方体体积的最大值是15.

6.答案：D

解析：由题意构造函数，则，所以函数在R上为增函数.因为，所以.又，所以，所以.因为，所以，所以不等式的解集为.故选D.

7.答案：C

解析：在上有解，在上有解.令，则，故当时，，当时，，故在上单调递减，在上单调递增，故，则实数a的最小值为，故选C.

8.答案：B

解析：由，得.因为定义在上，所以.令，则，故函数在区间上单调递增.由，得.又，所以，所以.同理令，，则函数在区间上单调递减.由，得，即.综上.

9.答案：

解析：由题意知，对于任意，，即在上恒成立.设，，则的最大值小于0，.

①当时，，在上单调递减，，即，.

②当时，，在上单调递增，最大值可无穷大，不满足题意.

③当时，易知在上单调递减，在上单调递增，最大值可无穷大，不满足题意.

综上，实数a的取值范围是.

10.答案：

解析：由可得，

所以当或时，，当时，，

所以的极小值点是2，

由可得，

因为的唯一极值点为2，所以或恒成立，

所以或在上恒成立.

因为在上单调递减，在上单调递增，当时，

所以.

故答案为：.

11.答案：13

解析：因为，当时，函数有极值，所以，解得，所以，当时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，，单调递增.双极大值，，所以在区间上的最大值为13.

12.答案：

解析：本题考查利用导数研究函数的零点及最值.因为，所以在R上单调递增.函数有两个不同零点，等价于方程有两个不等实根.设，则.因为在R上单调递增，所以结合的图像可知（图略），问题转化为在上有两个不同的实根，则，则.设，则，令，则，所以在上单调递增.又因为，所以在上单调递减，在上单调递增，所以.

13.答案：（1）

（2）见解析

解析：（1）是的一个零点，

，即，解得，

，定义域为，

，

①当时，，在上是增函数，故无极值；

②当时，当时，，是减函数；

当时，，是增函数，

的极小值为.

（2）证明：当时，.设，则，，.

由（1）知，在上是减函数，

在上是增函数，

则，则，

则.

14.答案：(1)当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

(2)当或时，的零点个数为1；

当时，的零点个数为0；

当时，的零点个数为2.

解析：(1)由题意得的定义域为.

，

由，得.

①若，则，

当时，，

当时，，

故在上单调递增，在上单调递减.

②若，则，当时，，

当时，，

故在上单调递减，在上单调递增.

综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增.

(2)，定义域为，

，

①当时，，在上单调递增，易知，

取，则

，

又，所以根据零点存在定理知，在上有唯一零点.

②当时，由，得，

当时，，当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

在处取得极小值，

且，

令，解得.

则当时，在上有唯一零点；

当时，，在上没有零点；

当时，，且，

因为，，

所以由零点存在定理知，在上有唯一零点，在上有唯一零点.

综上，当或时，的零点个数为1；

当时，的零点个数为0；

当时，的零点个数为2.

15.答案：(1)当时，在上单调递增；

当时，在上单调递减，

此时函数只有极小值，没有极大值.

(2)证明过程见解析.

解析：(1)，

当时，，

函数在R上单调递增，

此时，函数既没有极大值也没有极小值；

当时，令，则，

当时，，

函数在上单调递增；

当时，，

函数在上单调递减，

此时函数只有极小值，没有极大值.

(2)证明：当时，，

.

令，

则，

当时，，

，

函数在上单调递增，

，

，

.