2023年高考数学二轮复习重点基础练习：专题五 考点14 导数的应用（C卷）

专题五 考点14 导数的应用（C卷）

1.已知函数的图象上的点处的切线斜率为9，则函数的极小值为(   )
A. B. C.0 D.4

2.已知函数（，e为自然对数的底数）的图象与的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

3.已知函数，对于任意，都有，则实数m的最小值为(   )

A.0 B.2 C.4 D.6

4.已知函数在上为减函数，则a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

5.设函数有两个极值点，则实数a的取值范围是(   )

A. B. C. D.

6.定义在上的函数的导函数为，满足，，且当时，，则不等式的解集为(   )

A. B. C. D.

7.已知函数有2个零点a，b，且在区间上有且仅有2个正整数，则实数t的取值范围是(   )

A. B. C. D.

8.已知函数在R上有且只有一个零点，则实数m的最小值为(   )

A. B. C.1 D.

9.已知的定义域为，是导函数，且满足，若是偶函数，，则不等式的解集为________________.

10.已知函数的极小值为a，则a的值为_________.

11.已知函数的图像与的图像在区间上存在关于x轴对称的点，则m的取值范围是_______________.

12.已知函数，若对任意的，都有，则负实数k的取值范围为_________.

13.已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围.

14.已知函数.

(1)若，讨论的单调性；

(2)若方程有两个不同的实数根.

(i)求m的取值范围；

(ii)若，求证：.

(参考数据：)

15.已知函数.

(1)若，判断函数的单调性；

(2)证明：.

答案以及解析

1.答案：C

解析：由题得，解得，可见函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为，故选C.

2.答案：B

解析：由条件知，方程，即在上有解.设，则.因为当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以.因为，所以，所以方程在上有解等价于，所以a的取值范围为，故选B.

3.答案：C

解析：对于任意，都有，即.由题意，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当时，.因为，，所以，所以，即m的最小值为4.

4.答案：B

解析：，.

因为函数在上为减函数，

所以在上恒成立，即，

所以.

设，，

所以当时，，当时，，

所以函数在上单调递增，在上单调递减，故，

所以，故选B.

5.答案：B

解析：.令，.

有两个极值点，等价于有两个零点.

若，则，则函数是单调递增函数，不符合题意，所以.

由，得.

当时，，在上单调递减；

当时，，在上单调递增，

所以当时，取得极小值，.

因为有两个零点，所以

解得.

因为，，，，

所以存在，使.

综上所述，在上单调递增，在上单调递减，且在R上连续，

所以当有两个极值点时，实数a的取值范围是，故选B.

一题多解：只需有两个根，

可得有两个根，转化为，的图象有两个交点.

令，，.

由得，在上是增函数；

由得，在上是减函数.

当时，，，在上是减函数，，

则由图象得，

即，实数a的取值范围是，故选B.

6.答案：A

解析：本题考查利用导数研究函数的性质、不等式的求解.令，则，可得，所以是上的奇函数，，当时，，所以，在上单调递增，所以在上单调递增.因为，所以由可得，即.由在上单调递增，可得解得，所以不等式的解集为，故选A.

7.答案：C

解析：由题意知函数有2个互异的零点a，b等价于函数与的图象有2个不同的交点.因为，所以.令，可得；令，可得.所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以.当时，，当时，，且，时，.由，知函数的图象为过定点的一条直线，在同一平面直角坐标系中，分别作出函数与的图象如图所示，若满足，的图象有2个不同的交点，且在区间上有且仅有2个正整数，则即解得，故选C.

8.答案：D

解析：由题可知，为偶函数，，且.

设，则，

当时，，故在上单调递增，

故当时，，即，即在上单调递增，

故在上没有零点，由为偶函数，可知在R上有且只有一个零点；

当时，存在，使，当时，，即在上单调递减，故，即，故在上单调递减，

故，且，则在上有零点，不符合题意，

故，即实数m的最小值为，故选D.

9.答案：

解析：构造函数，该函数的定义域为.因为函数为偶函数，所以，所以函数为偶函数.又，当时，，则，所以函数在上为增函数.因为，所以.由，得，即，所以，所以，解得或，故不等式的解集为.

10.答案：e

解析：由题，，若，则当时，，单调递增，此时不存在极值，不符合题意，所以，易知在上单调递增，且当时，，当时，，所以存在唯一的，使得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.所以的极小值，因为，所以，即，设，因为，所以在上单调递减，又1，所以，从而.

11.答案：

解析：本题考查函数与方程、导数在函数中的应用.当时，直线在图像的上方，故当时，.因为函数的图像与的图像在区间上存在关于x轴对称的点，等价于方程，即在区间上有解.令，则，因为，所以，则由，得，当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.又，，，所以实数m的取值范围为.

12.答案：

解析：解法一：由化简可得，

令，则，可知在上单调递减，在上单调递增.

，，.

要使在上恒成立，则需满足，即.

记，则，

可知在上单调递增，在上单调递减，

可得，则.

又，故k的取值范围为.

解法二：由化简可得，

，.

令函数，则在上恒成立，

在上单调递增，

在上恒成立，即，

于是.

令，则，

当时，，在上单调递减，

当时，，在上单调递增，

因此，，即.

又，故k的取值范围为.

13.答案：（1）当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增

（2）

解析：（1）由题知的定义域为，

.

若，则当时，，当时，，

在上单调递减，在上单调递增；

若，则当或时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

若，则当时，，在上单调递增；

若，则当或时，，当时，，

在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知，当时，在上单调递增，

由，

得，故.

当时，在上单调递减，在上单调递增，

由，

得.

设，

则，

在上单调递减，

，

由得.

综上所述，实数a的取值范围为.

14.答案：(1)在上单调递减.

(2)(i)取值范围为.

(ii)证明过程见解析.

解析：(1)的定义域为，

当时，.

设，则，

由得，当时，；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

的最大值为，

，即在上恒成立，

在上单调递减.

(2)(i)由得，

即.

设，

则.

由可得，当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，

有极大值也是最大值，当时，，当时，.

要使有两个不同的实数根，则，即，

即实数m的取值范围为.

(ii)证明：，由比例的性质可得，

即，

故.

设，由可得，

设系数，

则，

设，

则，

在上单调递增，

故，

故，

在上单调递增，

故，

，故.

15.答案：(1)时，，为增函数；时，，为减函数.

(2)证明过程见解析.

解析：(1)因为，

所以.

因为，所以在上，

由，解得.

当时，，为增函数；

当时，，为减函数.

(2)证明：由(1)知，当时，

在上为增函数，在上为减函数.

因为，

所以，

故，

所以，

所以.

设，

所以在上为减函数.

又，所以，

所以.