2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题第1-5题解析版

这是一份2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题第1-5题解析版，共25页。试卷主要包含了设集合，则，设集合，集合，则集合=，设集合，，则，集合，，求等内容，欢迎下载使用。

 2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题1-5题
原题1
1．设集合，则（    ）
A． B．
C． D．
变式题1基础
2．设集合，集合，则集合=
A． B． C． D．
变化题2基础
3．已知集合M＝{x|﹣4＜x≤2}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝（　　）
A．{2} B．{x|﹣4＜x≤﹣2}
C．{x|﹣4＜x≤2} D．{x|﹣2≤x≤2}
变式题3巩固
4．设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
变式题4巩固
5．已知集合P＝{x∈N|x≤3}，Q＝{x|x2≤x+2}，则P∩Q＝（　　）
A．{﹣1，0，1，2} B．[0，2] C．{0，1，2} D．{1，2}
变式题5提升
6．集合，，求（    ）
A． B． C． D．
原题2
7．为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（    ）
A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%
B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%
C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元
D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间
变式题1基础
8．爱美之心，人皆有之.健身减肥已成为很多肥胖者业余选择的项目.为了了解运动健身减肥的效果，某健身房调查了40名肥胖者，健身之前他们的体重(单位：)情况如柱状图1所示，经过四个月的健身后，他们的体重情况如柱状图2所示.对比健身前后，关于这40名肥胖者，下面结论不正确的是（    ）


A．他们健身后，体重在区间内的人数增加了4个
B．他们健身后，体重在区间内的人数没有改变
C．因为体重在内所占比例没有发生变化，所以说明健身对体重没有任何影响
D．他们健身后，原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少
变化题2基础
9．某校为了解学生体能素质，随机抽取了50名学生，进行体能测试，并将这50名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下列结论中不正确的是（    ）

A．这50名学生中成绩在[80，100]内的人数有10人
B．这50名学生中成绩在[40，60）内的人数占比为28%
C．这50名学生成绩的中位数为70
D．这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
变式题3巩固
10．供电部门对某社区1000位居民2019年4月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为，，，五组，整理得到如下的频率分布直方图，则下列说法错误的是

A．4月份人均用电量人数最多的一组有400人
B．4月份人均用电量不低于20度的有500人
C．4月份人均用电量为25度
D．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在一组的概率为
变式题4巩固
11．在2019年某省普通高中学业水平考试（合格考）中，对全省所有考生的物成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，90分以上为优秀，则下列说法中不正确的是（    ）

A．从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试约有100人
B．若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分
C．若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为70
D．该省考生物理成绩的中位数为75分
变式题5提升
12．下面是追踪调查200个某种电子元件寿命（单位:)频率分布直方图，如图：

其中300-400、400-500两组数据丢失，下面四个说法中有且只有一个与原数据相符，这个说法是
①寿命在300-400的频数是90；
②寿命在400-500的矩形的面积是0.2；
③用频率分布直方图估计电子元件的平均寿命为：

④寿命超过的频率为0.3
A．① B．② C．③ D．④
变式题6提升
13．2021年4月8日，教育部办公厅“关于进一步加强中小学生体质健康管理工作的通知”中指出，各地要加强对学生体质健康重要性的宣传，中小学校要通过体育与健康课程、大课间、课外体育锻炼、体育竞赛、班团队活动、家校协同联动等多种形式加强教育引导，让家长和中小学生科学认识体质健康的影响因素.了解运动在增强体质、促进健康、预防肥胖与近视、锤炼意志、健全人格等方面的重要作用，提高学生体育与健康素养.增强体质健康管理的意识和能力.某高中学校共有2000名男生，为了了解这部分学生的身体发育情况，学校抽查了100 名男生的体重情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示.根据此图，下列说法中错误的是（   ）

A．样本的众数约为
B．样本的中位数约为
C．样本的平均值约为66
D．为确保学生体质健康，学校将对体重超过的学生进行健康监测，该校男生中需要监测的学生频数约为200人
变式题7提升
14．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
原题3
15．已知，则（    ）
A． B． C． D．
变式题1基础
16．已知复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
变化题2基础
17．若复数满足，其中是虚数单位，则（    ）
A． B． C． D．
变式题3巩固
18．设，则（    ）
A． B． C． D．
变式题4巩固
19．在复平面内，复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
变式题5提升
20．若，则（    ）
A．0 B．1
C． D．2
变式题6提升
21．已知复数满足，则（    ）
A． B． C． D．
原题4
22．青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）
A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6
变式题1基础
23．某科技股份有限公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入．若该公司2020年全年投入的研发资金为100万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入的研发资金开始超过140万元的年份是参考数据：，（    ）
A．2025年 B．2026年 C．2027年 D．2028年
变化题2基础
24．某工厂产生的废气必须经过过滤后排放，规定排放时污染物的残留含量不得超过原污染物总量的0.5%．已知在过滤过程中的污染物的残留数量P（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为（为原污染物总量）．要能够按规定排放废气，则需要过滤n小时，则正整数n的最小值为（参考数据：取）（    ）
A．13 B．14 C．15 D．16
变式题3巩固
25．声强级(单位：)由公式给出，其中为声强(单位：).某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪，开展了“不敢高声语，恐惊读书人”主题活动，要求课下同学之间交流时，每人的声强级不超过40.现有4位同学课间交流时，声强分别为，，，，则这4人中达到班级要求的有（    ）
A．1人 B．2人 C．3人 D．4人
变式题4巩固
26．我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系．一般的，声音的强度用（）表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用（单位：分贝，，其中是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端）．某新建的小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，则声音强度的取值范围是（     ）
A． B． C． D．
变式题5提升
27．为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密､解密原理如图：，现在加密密钥为，解密密钥为，如下所示：发送方发送明文“1”，通过加密后得到密文“18”，再发送密文“18”，接受方通过解密密钥解密得明文“49”，问若接受方接到明文“4”，则发送方发送明文为（    ）
A． B． C．162 D．
变式题6提升
28．香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式来表示，其中是信道支持的最大速度或者叫信道容量，是信道的带宽（），S是平均信号功率（），是平均噪声功率（）．已知平均信号功率为，平均噪声功率为，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为（    ）
A． B． C． D．
原题5
29．已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（    ）
A． B． C． D．
变式题1基础
30．已知双曲线与函数的图象交于点，若函数的图象在点处的切线过双曲线左焦点，则双曲线的离心率是（    ）
A． B． C． D．
变化题2基础
31．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点在的右支上，直线与的左支交于点，若，且，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
变式题3巩固
32．设为双曲线：的左焦点，为坐标原点，以为圆心，为半径的圆与交于两点．若，则的离心率为（    ）
A． B． C． D．
变式题4巩固
33．已知分别是双曲线的两个焦点，双曲线和圆的一个交点为，且，那么双曲线的离心率为（    ）
A． B． C．2 D．
变式题5提升
34．已知双曲线（，）的左右焦点，，过的直线交右支于、两点，若，，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B．2 C． D．
变式题6提升
35．分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若，则（    ）
A．2 B． C．4 D．

参考答案：
1．B
【分析】根据交集定义运算即可
【详解】因为，所以,
故选：B.
【点睛】本题考查集合的运算，属基础题，在高考中要求不高，掌握集合的交并补的基本概念即可求解.
2．A
【解析】化简得，根据集合并集运算即可.
【详解】解：化简得，
所以
故选：A.
3．B
【分析】求出函数y＝的定义域，得到集合N，再利用集合的交集的定义求解．
【详解】集合N＝{x|y＝}＝{x|（x+2）（x﹣4）≥0}＝{x|x≤﹣2或x≥4}，
∴M∩N＝{x|﹣4＜x≤-2}．
故选：B．
4．A
【解析】解出集合，利用并集的定义可求得集合.
【详解】，因此，.
故选：A.
5．C
【分析】先求出集合P，Q，再利用集合的交集运算求解．
【详解】集合P＝{x∈N|x≤3}＝{0，1，2，3}，Q＝{x|x2≤x+2}＝{x|﹣1≤x≤2}，
∴P∩Q＝{0，1，2}．
故选：C．
6．A
【分析】根据函数的定义域分别求出集合A、B，再根据交集的运算即可得出答案.
【详解】解：，
，
所以.
故选：A.
7．C
【分析】根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判定C.
【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.
该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；
该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确；
该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为,故D正确；
该地农户家庭年收入的平均值的估计值为(万元)，超过6.5万元，故C错误.
综上，给出结论中不正确的是C.
故选：C.
【点睛】本题考查利用样本频率直方图估计总体频率和平均值，属基础题，样本的频率可作为总体的频率的估计值，样本的平均值的估计值是各组的中间值乘以其相应频率然后求和所得值，可以作为总体的平均值的估计值.注意各组的频率等于.
8．C
【分析】根据给定的柱状图分别求得健身前后各个区间上的人数，进行比较，即可求解.
【详解】根据给定的健身前后的体重柱状图，可得健身前体重在区间有人，健身后有，所以体重在区间内的人数增加了4个，所以A正确；
由健身前体重在的人数为人，健身后有，所以健身前后体重在的人数不变，所以B正确；
由健身前后体重再和的人数有明显变化，所以健身对体重有明显效果，所以C不正确；
由健身前体重在的人数为人，健身后为0人，所以原来体重在区间内的肥胖者体重都有减少，所以D正确.
故选：C.
【点睛】本题主要考查了统计图表的应用，其中解答中图表中的数据，分别计算求得健身前后各个区间的人数，进行比较是解答的关键，着重考查图表提取信息的能力，以及数据处理能力.
9．C
【分析】由频率分布直方图中的数据，以及频率、中位数、平均数的计算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】根据此频率分布直方图，成绩在内的人数为人，所以A正确；
这名学生中成绩在内的频率为，所以B正确；
根据此频率分布直方图，可得这名学生成绩的中位数，所以C错误；
根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：
，所以D正确.
故选：C.
10．C
【分析】根据频率分布直方图逐一计算分析.
【详解】A：用电量最多的一组有：人，故正确；
B：不低于度的有：人，故正确；
C：人均用电量：，故错误；
D：用电量在的有：人，所以，故正确；
故选C.
【点睛】本题考查利用频率分布直方图求解相关量，难度较易.频率分布直方图中平均数的求法：每一段的组中值后结果相加.
11．D
【分析】利用频率分布直方图的性质直接求解．
【详解】解：对于，90分以上为优秀，由频率分布直方图得优秀的频率为，
从全体考生中随机抽取1000人，则其中得优秀考试生约有：人，故正确；
对于，由频率分布直方图得，的频率为，
，的频率为：，
若要全省的合格考通过率达到，则合格分数线约为44分，故正确；
对于，若同一组中数据用该组区间中间值作代表值，可得考试物理成绩的平均分约为：
分，故正确；
对于，，的频率为：，
，的频率为，
该省考生物理成绩的中位数为：分，故错误．
故选：．
【点睛】本题考查频数、合格分数线、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
12．B
【详解】若①正确，则对应的频率为，
则对应的频率为，则②错误；
电子元件的平均寿命为，
则③正确；
寿命超过的频率为，则④正确，故不符合题意；
若②正确，则对应的频率为，则①错误；
电子元件的平均寿命为，
则③错误；
寿命超过的频率为，则④错误，故符合题意.
故选：B.
13．C
【分析】根据众数、中位数、平均值的概念等求值即可判断.
【详解】对于A，样本的众数为，A对；
对于B，设样本的中位数为，，解得，B对；
对于C，由直方图估计样本平均值为
，C错误；
对于D，2000名男生中体重大于的人数大约为，D对.
故选：C.
14．A
【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A，再利用交集运算求解.
【详解】∵，，
∴．
故选：A．
15．B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
16．B
【分析】利用复数除法计算公式，即可得到结果.
【详解】.
故选：B
17．A
【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
故选：A
18．A
【分析】根据复数的除尘法则计算．
【详解】由已知．
故选：A．
19．D
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
20．C
【分析】先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．
21．A
【分析】由复数除法法则计算．
【详解】由已知．
故选：A．
22．C
【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.
【详解】由，当时，，
则.
故选：C.



23．B
【分析】根据题意构建指数函数模型，利用对数的运算进行计算即可得解.
【详解】设年后研发资金开始超过140万，
有，
所以，
由，所以，
所以第年研发资金开始超过140万元，
即2026年研发资金开始超过140万元.
故选：B
24．D
【分析】根据已知条件列出式子求解即可.
【详解】解：由题意知：，
，
即，
即，
，
，
故正整数n的最小值为16.
故选：D．
25．C
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性求解.
【详解】当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以这4人中达到班级要求的有3人，
故选：C
26．C
【分析】根据小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，建立不等式，然后解对数不等式即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，，即，
所以，解得，
所以声音强度的取值范围是，．
故选：C．
27．A
【分析】根据题目所给数据求得，由此根据接收方收到明文“”，求得发送方发送的明文.
【详解】由其加密原理可知当时，，从而；
.
由解密原理可知当时，；
若接受方接到明文为“4”则有，，从而有，解得，
即发送方明文为.
故选：A
28．A
【分析】利用题设条件，计算出原信道容量的表达式，再列出在B不变时用所求平均噪声功率表示的信道容量的表达式，最后列式求解即得.
【详解】由题意可得，，则在信道容量未增大时，信道容量为，信道容量增大到原来的2倍时，，则，即，解得，
故选：A
29．A
【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
【详解】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.
故选：A
【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键.
30．D
【解析】设的坐标为，函数的导数，根据条件可得，可解得，即，再根据双曲线的定义可求出其，从而得到离心率.
【详解】设的坐标为，由左焦点，所以
函数的导数，
则在处的切线斜率，
即，得，则，
设右焦点为，则，即，
，∴双曲线的离心率.
故选：D
31．D
【分析】由条件结合双曲线的定义可得，即，从而可得双曲线的离心率.
【详解】由双曲线的定义可得，∵，
∴，即，
则的离心率为．
故选：D．

32．A
【解析】由圆的性质以及双曲线的定义得出，，再结合余弦定理以及离心率公式列出方程，求解即可.
【详解】取右焦点，连接
，

，即，
解得
故选：A

【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于由余弦定理建立的齐次方程，从而得出离心率.
33．D
【分析】由题知，，计算得，由双曲线定义列出，计算可得离心率.
【详解】由题知，，又，且，则，
由双曲线定义得，，得
故选：D
34．B
【分析】设，则，然后由已知条件和双曲线的定义或求得，，再分别在和中，利用余弦定理列方程可求得，从而可求得离心率
【详解】解：设，则，
所以，
所以
因为，所以，
因为，所以
设，则，
在和中，由余弦定理得，
，
，
即，，
解得，
所以，
故选：B
35．C
【分析】由双曲线的定义可得，，结合已知条件可得，然后在直角三角形中利用勾股定理可求得答案
【详解】解：由双曲线的定义可得，，
因为，所以，
所以，即，
因为，
所以，所以，
由，得，
所以，得，
故选：C