2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题第20-22题解析版

这是一份2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题第20-22题解析版，共78页。试卷主要包含了茶是中国颇受青睐的传统饮品等内容，欢迎下载使用。

2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题20-22题
原题20
1．一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好
良好
病例组
40
60
对照组
10
90

(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？
(2)从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B表示事件“选到的人患有该疾病”．与的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R．
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）利用该调查数据，给出的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R的估计值．
附，

0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

变式题1基础
2．2017年8月27日~9月8日，第13届全运会在天津举行.4年后，第14届全运会将于2021年9月15日~27日在西安举行.为了宣传全运会，西安某大学在天津全运会开幕后的第二天，从全校学生中随机抽取了120名学生，对是否收看天津全运会开幕式情况进行了问卷调查，统计数据如下：

收看
没收看
男生
60
20
女生
20
20

（1）根据右表说明，能否有99%的把握认为，学生是否收看开幕式与性别有关？
附：，其中.

0.10
0.05
0.025
0.01
0.005

2.706
3.841
5.024
6.635
7.879

（2）现从参与问卷调查且收看了开幕式的学生中，采用按性别分层抽样的方法选取8人，参加2021年西安全运会志愿者宣传活动.若从这8人中随机选取2人到校广播站开展全运会比赛项目宣传介绍，
①求在2人中有女生入选的条件下，恰好选到一名男生一名女生的概率；
②记为入选的2人中的女生人数，求随机变量的分布列及数学期望.
变式题2基础
3．茶是中国颇受青睐的传统饮品．于爱茶的人而言，不仅迷恋于茶恬淡的气味与味道，泡茶工序带来的仪式感也是个修身养性静心的方式．但是细细品来，茶饮复杂的味型之中，总能品出点点的苦和淡淡的涩，所以也有人并不喜欢饮茶．在人们的固有印象中，总觉得中年人好饮茶，年轻人对饮茶持有怎样的态度呢？带着这样的疑问，高二3班的小明同学做了一项社会调查．调查针对身边的同学与方便联系的家长，共回收了200份有效问卷．为了提高统计工作的效率，小明只记录了问卷中三项有效数据，

喜欢饮茶
不喜欢饮茶
合计
家长
60

120
学生

50

合计




(1)请将上面的信息表格补充完整（请在答题卡中画表格作答）；
(2)从这200人中随机选取2人，已知选取的2人中有人喜欢饮茶，求其中有学生的概率；
(3)请利用独立性检验相关的知识帮小明同学形成这次调查的结论．
公式：

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

变式题3基础
4．某校举行青年教师视导活动，对48位青年教师的备课本进行了检查，相关数据如下表：
性别
等第
合计
良好
优秀
男教师
a
10
18
女教师
10
20

合计

30
48

附：（其中）．
临界值表：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

(1)是否有的把握认为备课本是否优秀与性别有关？
(2)从48本备课本中不放回的抽取两次，每次抽取一本，求第一次取到女教师备课本的条件下，第二次取到优秀备课本的概率．
变式题4巩固
5．在新冠肺炎疫情肆虐之初，作为重要防控物资之一的口罩是医务人员和人民群众抗击疫情的武器与保障，为了打赢疫情防控阻击战，我国企业依靠自身强大的科研能力，果断转产自行研制新型全自动高速口罩生产机，“争分夺秒、保质保量”成为口罩生产线上的重要标语．

（1）在试产初期，某新型全自动高速口罩生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检．已知批次的成品口罩生产中，前三道工序的次品率分别为，．
①求批次I成品口罩的次品率．
②第四道工序中红外线自动检测为次品的口罩会被自动淘汰，合格的口罩进入流水线并由工人进行抽查检验.已知批次I的成品口罩红外线自动检测显示合格率为92%，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.
（2）已知某批次成品口罩的次品率为，设100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产线后批次的口罩的次品率．某医院获得批次，的口罩捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常佩戴使用这两个批次的口罩期间，该院医务人员核酸检测情况如下面条形图所示，求，并判断是否有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关？
附：．

0.050
0.010
0.005
0.001

3.841
6.635
7.879
10.828

变式题5巩固
6．近日，为进一步做好新冠肺炎疫情防控工作，某社区以网上调查问卷形式对辖区内部分居民做了新冠疫苗免费接种的宣传和调查．调查数据如下：共95份有效问卷，40名男性中有10名不愿意接种疫苗，55名女性中有5名不愿意接种疫苗．
(1）根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关?

愿意接种
不愿意接种
合计
男



女



合计




（2）从不愿意接种的15份调查问卷中得到拒绝接种新冠疫苗的原因：有3份身体原因不能接种；有2份认为新冠肺炎已得到控制，无需接种：有4份担心疫苗的有效性：有6份担心疫苗的安全性．求从这15份问卷中随机选出2份，在已知至少有一份担心疫苗安全性的条件下，另一份是担心疫苗有效性的概率．
附：

0.050
0.010
0.005

3.841
6.635
7.879

变式题6巩固
7．今年两会期间国家对学生学业与未来发展以及身体素质的重要性的阐述引起了全社会的共鸣.某大学学生发展中心对大一的400名男生做了单次引体向上的测试，得到了如图所示的直方图(引体向上个数只记整数）.学生发展中心为进一步了解情况，组织了两个研究小组

（1）第一小组决定从单次完成1-15个的引体向上男生中，按照分层抽样抽取11人进行全面的体能测试，①单次完成11-15个引体向上的男生甲被抽到的概率是多少？
②该小组又从这11人中抽取2人进行个别访谈，已知抽到的其中一个男生单次完成了3个引体向上，求抽到的另一个男生单次完成了11-15个引体向上的概率是多少？
（2）第二小组从学校学生的成绩与体育锻炼相关性角度进行研究，得到了这400人的学业成绩与体育成绩之间的列联表.

学业优秀
学业不优秀
总计
体育成绩不优秀
100
200
300
体育成绩优秀
50
50
100
总计
150
250
400

请你根据联表判断是否有%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关？
参考公式及数据

0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001

0.46
0.71
1.32
2.07
2.71
3.84
5.024
6.635
7.879
10.828

变式题7巩固
8．某种病菌在某地区人群中传播，目前临床医学研究中已有费用昂贵但能准确检测出个体是否带菌的方法.现引进操作易、成本低的新型检测方法：每次只需检测，两项指标，若指标的值大于4且指标的值大于100，则检测结果呈阳性，否则呈阴性.为考查该检测方法的准确度，随机抽取50位带菌者（用“*”表示）和50位不带菌者（用“”表示）各做一次检测，他们检测后的数据，制成统计图：

（1）从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，求检测结果呈阳性的概率；
（2）完成下列列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.001的前提下，认为“带菌”与“检测结果呈阳性”有关？

检测结果呈阳性
检测结果呈阴性
合计
不带菌者



带菌者



合计




（参考公式：，其中）

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

变式题8提升
9．深受广大球迷喜爱的某支欧洲足球队.在对球员的使用上总是进行数据分析，为了考查甲球员对球队的贡献，现作如下数据统计：

球队胜
球队负
总计
甲参加



甲未参加



总计




(1)求、、、、的值，据此能否有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关；
(2)根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为：、、、，当出任前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为：、、、.则：
①当他参加比赛时，求球队某场比赛输球的概率；
②当他参加比赛时，在球队输了某场比赛的条件下，求乙球员担当前锋的概率；
③如果你是教练员，应用概率统计有关知识，该如何使用乙球员？
附表及公式：

















.
变式题9提升
10．一家大型超市委托某机构调查该超市的顾客使用移动支付的情况．调查人员从年龄在[20，60]内的顾客中，随机抽取了200人，调查结果如图：

（1）为推广移动支付，超市准备对使用移动支付的每位顾客赠送1个环保购物袋．若某日该超市预计有10000人购物，试根据上述数据估计，该超市当天应准备多少个环保购物袋？
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关：

年龄<40
年龄≥40
小计
使用移动支付



不使用移动支付



小计


200

（3）现从该超市年龄在20到60的200人的顾客中，随机依次抽取2人，已知第1次抽到的是使用移动支付的顾客，求第2次抽到的是不使用移动支付的顾客的概率．
附表：
P(K2≥k)
0.050
0.010
0.001
k
3.841
6.635
10.828

．
变式题10提升
11．根据国家电影局发布的数据，2020年中国电影总票房为204.17亿，年度票房首度超越北美，成为2020年全球第一大电影市场.国产历史战争题材影片《八佰》和《金刚川》合力贡献了国内全年票房的.我们用简单随机抽样的方法，分别从这两部电影的购票观众中各随调查了100名观众，得到结果如下：图1是购票观众年龄分布情况；图2是购票观众性别分布情况.

（1）记表示事件：“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”，根据图1的数据，估计的概率；
（2）现从参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中随机抽取两名依次进行电话回访，求在第1次抽到男性观众的条件下，第2次仍抽到男性观众的概率.
（3）填写下面的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析男性观众与女性观众对这两部历史战争题材影片的选择是否有差异？
影片
女性观众
男性观众
总计
《八佰》


100
《金刚川》


100
总计
86
114
200

0.1
0.05
0.01
0.001

2.706
3.841
6.635
10.828

附：
变式题11提升
12．2021年6月2日巴蜀中学成功地举办了一年一度的大型学生社团文化节，吸引了众多学生．巴蜀中学目前共有社团近40个，由高一和高二学生组成，参加社团的学生共有四百人左右．已知巴蜀中学高一和高二的所有学生中男生与女生人数比为6：4，为了解学生参加社团活动的情况，按性别采用分层抽样的方法抽取部分学生，统计得到如下等高累积型条形图：

（1）求巴蜀中学参加社团的学生中，任选1人是男生的概率；
（2）若抽取了100名学生，完成下列列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为巴蜀中学高一和高二学生的性别与参加学生社团有关联？请说明理由．

参加社团
未参加社团
合计
男生



女生



合计




附：，
临界值表：

0.1
0.05
0.01

2.706
3.841
6.635

原题21
13．已知点在双曲线上，直线l交C于P，Q两点，直线的斜率之和为0．
(1)求l的斜率；
(2)若，求的面积．
变式题1基础
14．已知双曲线C：的离心率为，焦点到其渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知直线l：与双曲线C交于A，B两点，O为坐标原点，直线OA，OB的斜率之积为，求△OAB的面积．
变式题2基础
15．设双曲线，其右焦点为F，过F的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．
(1)求直线l倾斜角的取值范围；
(2)直线AO（O为坐标原点）与曲线C的另一个交点为D，求面积的最小值，并求此时l的方程．
变式题3基础
16．已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
变式题4巩固
17．已知双曲线W：的左、右焦点分别为、，点，右顶点是M，且，．
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）过点的直线l交双曲线W的右支于A、B两个不同的点（B在A、Q之间），若点在以线段AB为直径的圆的外部，试求△AQH与△BQH面积之比λ的取值范围．
变式题5巩固
18．已知双曲线：的右焦点与抛物线的焦点重合，一条渐近线的倾斜角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）经过点的直线与双曲线的右支交与两点，与轴交与点，点关于原点的对称点为点，求证：．
变式题6巩固
19．在一张纸上有一圆：，定点，折叠纸片使圆C上某一点恰好与点M重合，这样每次折叠都会留下一条直线折痕PQ，设折痕PQ与直线的交点为T.

(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)曲线上一点P，点A､B分别为直线：在第一象限上的点与：在第四象限上的点，若，，求面积的取值范围.
变式题7巩固
20．已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，的左､右焦点分别为，，且到的一条渐近线的距离为1.
(1)求的标准方程；
(2)若是与在第一象限的交点，与的另一个交点为P，与的另一个交点为，与的面积分别为，，求.
变式题8提升
21．已知两定点满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于A、B两点.
（Ⅰ）求的取值范围；
（Ⅱ）如果且曲线E上存在点C，使，求的值和的面积.
变式题9提升
22．已知双曲线的焦距为，且过点，直线与曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线与、两点，为坐标原点.

（1）求双曲线的方程；
（2）求证：面积为定值，并求出该定值.
变式题10提升
23．在平面直角坐标系中中，已知双曲线的一条渐近线方程为，过焦点垂直于实轴的弦长为．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于两点，且，若的面积为，求直线的方程.
变式题11提升
24．已知双曲线：的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1．
(1)求双曲线的标准方程与离心率；
(2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的A，两点，为坐标原点，直线，的斜率之积为，求的面积．
原题22
25．已知函数和有相同的最小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列．
变式题1基础
26．已知函数
（1）求函数的单调区间；
（2）若方程＝0有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
变式题2基础
27．已知函数.
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）若方程有两个不同的解，求实数a的取值范围.
变式题3基础
28．已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若方程在上有实根，求实数a的取值范围．
变式题4巩固
29．已知函数f(x)＝lnx－ax2－2x.
（1）若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；
（2）若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；
（3）当时，关于x的方程在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围.
变式题5巩固
30．已知函数.
(1)求在（为自然对数的底数）上的最大值；
(2)对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?
变式题6巩固
31．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.
变式题7巩固
32．已知函数，其中．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若有且仅有两个不相等实根，求实数a的取值范围．
变式题8提升
33．函数，.
（1）试讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数的集合；
（3）当时，判断图象与图象的交点个数，并证明.
变式题9提升
34．已知，．
(1)存在满足：，，求的值；
(2)当时，讨论的零点个数．
变式题10提升
35．已知函数，．
(1)当a＝2时，求曲线在处的切线方程；
(2)讨论关于x的方程的实根个数．
变式题11提升
36．已知函数，其中.
(1)当时，求的最小值；
(2)讨论方程根的个数.

参考答案：
1．(1)答案见解析
(2)（i）证明见解析；(ii)；
【分析】(1)由所给数据结合公式求出的值，将其与临界值比较大小，由此确定是否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异；(2)(i) 根据定义结合条件概率公式即可完成证明；(ii)根据（i）结合已知数据求.
（1）
由已知，
又，，
所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.
（2）
(i)因为，
所以
所以，
(ii)
由已知，，
又，，
所以
2．(1) 有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；（2）①；②答案见解析.
【分析】（1）根据题意计算，故有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关；
（2）①根据题意，选取的8人中，男生人，女生人，进而根据条件概率求解即可；
②根据题意，服从超几何分布，进而根据超几何分布求解即可.
【详解】解：（1）因为，
所以有99%的把握认为，收看开幕式与性别有关.
（2）①根据分层抽样方法得，选取的8人中，男生人，女生人，
记事件“选出的两人中有女生”，共有或种不同的选法，
“选出的两人为一名男生､一名女生”，共有种不同的选法，
则
②根据题意，所有可能取值为

所以的分布列为

0
1
2
P





(或服从超几何分布，，，，.)
【点睛】本题考查独立性检验，条件概率，超几何概型，考查运算求解能力，是中档题.本题第二问解题的关键在于根据题意得选取的8人中，男生人，女生人，进而服从超几何分布，再根据超几何概型求解即可.
3．(1)表格见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）由条件可知，共有200人，再依次补全列联表；
（2）利用条件概率求解；
（3）根据列联表计算，再和参考数据比较大小.
（1）

喜欢饮茶
不喜欢饮茶
合计
家长
60
60
120
学生
30
50
80
合计
90
110
200

（2）
取事件A为“选取的2人中有人喜欢饮茶”，则，取事件B为“选取的2人中有学生”，则事件AB为“选取的2人中即有人喜欢饮茶，又包含有学生”，∴∴．
（3）
依题意，，∴此次调研的结论为：有90%的把握认为家长相比于学生更喜欢饮茶．
4．(1)没有的把握认为备课本是否优秀与性别有关
(2)
【分析】（1）根据列联表求出的值，再计算出卡方，与临界值数据比较，即可判断；
（2）首先求出第一次抽到女教师备课本的概率，再求出第一次抽到女教师备课本且第二次抽到优秀备课本的概率，最后按照条件概率的概率公式计算可得；
（1）
解：由表格得，所以，
，
所以没有的把握认为备课本是否优秀与性别有关．
（2）
解：“第一次取到女教师备课本”的概率为，             
“第一次取到女教师良好备课本且第二次取到优秀备课本”的概率为．        
“第一次取到女教师优秀备课本且第二次取到优秀备课本”的概率为．       
所以“第一次取到女教师备课本的条件下，第二次取到优秀备课本”的概率为．
5．（1）①，②；（2），有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．
【分析】（1）①利用概率乘法公式求概率即可；
②设批次Ⅰ的成品口罩红外线自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
分别求出，，利用条件概率直接计算
（2）先求出100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率，利用导数求出的最大值点，即可求出，根据题意完成列联表，计算出，对照参数即可得到结论．
【详解】解：（1）①批次Ⅰ成品口罩的次品率为
．
②设批次Ⅰ的成品口罩红外线自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由已知，得，，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个口罩恰为合格品为事件，
．
（2）100个成品口罩中恰有1个不合格品的概率．
因此．
令，得．
当时，；当时，．
所以的最大值点为．
由（1）可知，，，故批次口罩的次品率低于批次Ⅰ，
故批次的口罩质量优于批次Ⅰ．
由条形图可建立列联表如下：
    单位：人
核酸检测结果
口罩批次
合计


呈阳性
12
3
15
呈阴性
28
57
85
合计
40
60
100



．
因此，有99.9%的把握认为口罩质量与感染新冠肺炎病毒的风险有关．
6．（1）列联表见解析；有；（2）．
【分析】（1）将题中的相关数据填入表格，注意字母a,b,c,d,n所代表的数值，再利用公式计算.
（2）先表示事件A为至少有一份担心疫苗安全性，事件B为另一份担心疫苗有效性，求出
,，再求的值.
【详解】（1）

愿意接种
不愿意接种
合计
男
30
10
40
女
50
5
55
合计
80
15
95


有的把握认为是否愿意接种疫苗与性别有关．
（2）设事件A为至少有一份担心疫苗安全性，事件B为另一份担心疫苗有效性，
则,,
所以.
【点睛】（1）仔细读题将题中的信息转化为表格，特别是计算时要注意约分，以减少计算量，提高准确度.
（2）这是个条件概率问题，需理解题意，准确计算.
7．（1）①②（2）有
【分析】（1）①分别求出从1～5，6～10，11～15中选出的个数，然后利用古典概型以及排列组合求出概率即可；②条件概率，先求出所抽的两个男生中抽到一个男生单次完成了3个引体向上的情况，再求出一个男生单次完成了3个引体向上，另一个男生单次完成了11～15个引体向上，然后求概率；（2）由题中的数据，求出K2的值，对照临界值表进行分析，即可得到答案．
【详解】（1）①因为0.02：0.03：0.06＝2：3：6，
所以 ，，
则从1～5，6～10，11～15中选出的个数分别为2个，3个，6个，
因为单次完成11～15个引体向上的人数共有0.06×5×400＝120人，
则单次完成11～15个引体向上的男生甲被抽到的概率是p＝
②由题知抽到的另一个男生单次完成了11-15个引体向上的概率是
（2）因为K2= ≈8.889＞7.879，
所以有99.5%的把握认为体育锻炼与学业成绩有关．
8．（1）；（2）表格见解析，能.
【分析】（1）根据统计图可知在不带菌者中，检测结果呈阳性的有5人，可得答案.
（2）首先作出2×2列联表，再计算，再和参考数据比较大小，判断结论；
【详解】（1）设从这100名被检测者中，随机抽取一名不带菌者，检测结果呈阳性为事件，
根据统计图可知在不带菌者中，检测结果呈阳性的有5人，
∴.
（2）可作出列联表如下：

检测结果呈阳性
检测结果呈阴性
合计
不带菌者
5
45
50
带菌者
35
15
50
合计
40
60
100

进一步计算得的观测值
所以，能够在犯错误概率不超过0.001的前提下认为“带菌”与“检测结果呈阳性有关.
9．(1)，，，有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关
(2)①；②；③多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次
【分析】（1）根据列联中的数据可求得、、、、的值，然后计算的观测值，结合临界值表可得出结论；
（2）①利用全概率公式可求得所求事件的概率；
②利用条件概率公式可求得所求事件的概率；
③计算出可得出结论.
（1）
解：由列联表中的数据可得，，，
，
有的把握认为球队胜利与甲球员参赛有关.
（2）
解：①设表示“乙球员担当前锋”；表示“乙球员担当中锋 ”；表示“乙球员担当后卫”；
表示“乙球员担当守门员”；表示“球队输掉某场比赛”，
则
；
②；
③因为，
，
，
所以，，
所以应该多让乙球员担当守门员，来扩大赢球场次.
10．（1）个；（2）填表见解析；有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关；（3）．
【分析】（1）根据图中数据，由频率估计概率求得该超市使用移动支付的概率；再计算某日该超市预计当天应准备环保购物袋的个数；
（2）填写列联表，计算K2的观测值，对照临界值得出结论；
（3）利用条件概率公式求出对应的概率值．
【详解】解：（1）根据图中数据，得到如下表格：
类型╲年龄段
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
[40，45)
[45，50)
[50，55)
[55，60]
使用移动支付
20
25
25
15
15
10
8
7
不使用移动支付
0
0
4
6
10
10
23
22

由频率估计概率，计算得该超市使用移动支付的概率为
；
所以某日该超市预计当天应准备环保购物袋的个数为
；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关：

年龄<40
年龄≥40
小计
使用移动支付
85
40
125
不使用移动支付
10
65
75
小计
95
105
200

假设移动支付与年龄无关，则K2的观测值，
因为56.17>10.828，
所以有99.9%的把握认为使用移动支付与年龄有关；
（3）解法一：记事件A：第1次抽到的是使用移动支付的顾客，
事件B：第2次抽到的是不使用移动支付的顾客，
所以；
解法二：记事件A：第1次抽到的是使用移动支付的顾客，
事件B：第2次抽到的是不使用移动支付的顾客，
则
所以
11．(1)； (2)；(3)列联表见解析，没有99%的把握认为对这两部历史战争题材影片的选择与性别有关.
【分析】(1)根据图1计算出“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”的频率，由频率估计概率即可得解；
(2)根据图2确定参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中男性人数，采用缩小样本空间的办法即可作答；
(3)根据图2完善列联表，再计算的观测值，比对临界值表即可得解.
【详解】(1)由图1知，“观看电影《八佰》的观众年龄低于30岁”的频率为，
由此估计事件C的概率为；
(2) 由图2知，参与调查的电影《金刚川》的100名购票观众中男性有61人，
从100名观众中依次抽两名，在第一次抽到男性的条件下，第二次仍抽到男性的事件B，
相当于从含60名男性观众的99名观众中任抽1人，抽到男性的事件，
其概率为，
(3)观察图2得列联表如下：
影片
女性观众
男性观众
总计
《八佰》
47
53
100
《金刚川》
39
61
100
总计
86
114
200

则的观测值为，
由独立性检验知，没有99%的把握认为对这两部历史战争题材影片的选择与性别有关.
12．（1）：（2）填表见解析；性别与参加社团无关；答案见解析．
【分析】（1）首先设出事件，方法一，利用条件概率公式求解；方法二，利用公式求解；（2）首先根据数据补全列联表，再根据公式求，最后再与临界值比较大小，作出判断.
【详解】（1）方法（1）设高一和高二的所有学生中任选一人是男生、是女生分别为事件、
设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件
则，
则．
方法（2）用第（2）问的列联表中的条件频数直接求解
设高一和高二的所有学生中任选一人是男生为事件
设高一和高二的所有学生中任选一人参加社团为事件
则．
（2）列联表如下：

参加社团
未参加社团
合计
男生
6
54
60
女生
8
32
40
合计
14
86
100

零假设为：性别与参加社团独立，即性别与参加社团无关．
根据列联表中的数据，经计算得到：，
依据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，
因此可以认为成立，即性别与参加社团无关．
13．(1)；
(2)．
【分析】（1）由点在双曲线上可求出，易知直线l的斜率存在，设，，再根据，即可解出l的斜率；
（2）根据直线的斜率之和为0可知直线的倾斜角互补，根据即可求出直线的斜率，再分别联立直线与双曲线方程求出点的坐标，即可得到直线的方程以及的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线的距离，即可得出的面积．
（1）
因为点在双曲线上，所以，解得，即双曲线．
易知直线l的斜率存在，设，，
联立可得，，
所以，，且．
所以由可得，，
即，
即，
所以，
化简得，，即，
所以或，
当时，直线过点，与题意不符，舍去，
故．
（2）
［方法一］：【最优解】常规转化
不妨设直线的倾斜角为，因为，所以，由（1）知，，
当均在双曲线左支时，，所以，
即，解得（负值舍去）
此时PA与双曲线的渐近线平行，与双曲线左支无交点，舍去；
当均在双曲线右支时，
因为，所以，即，
即，解得（负值舍去），
于是，直线，直线，
联立可得，，
因为方程有一个根为，所以，，
同理可得，，．
所以，，点到直线的距离，
故的面积为．
［方法二］：
设直线AP的倾斜角为，，由，得，
由，得，即，
联立，及得，，
同理，，，故，
而，，
由，得，
故
【整体点评】（2）法一：由第一问结论利用倾斜角的关系可求出直线的斜率，从而联立求出点坐标，进而求出三角形面积，思路清晰直接，是该题的通性通法，也是最优解；
法二：前面解答与法一求解点坐标过程形式有所区别，最终目的一样，主要区别在于三角形面积公式的选择不一样．
14．(1)
(2)
【分析】（1）由已知条件结合双曲线的性质求得，再由离心率即可求出；
（2）双曲线C和直线l的方程联立，求出原点O到直线l的距离，和，即可得出△OAB的面积
（1）
双曲线C：的焦点坐标为，其渐近线方程为，
所以焦点到其渐近线的距离为．
因为双曲线C的离心率为，
所以，解得，
所以双曲线C的标准方程为．
（2）
设，，
联立，得，，
所以，．
由，
解得t＝1（负值舍去），
所以，．
直线l：，所以原点O到直线l的距离为，
，
所以△OAB的面积为．
15．(1)
(2)最小值为；直线l的方程为.
【分析】（1）由题意设直线l的方程为，设，将直线方程代入双曲线方程，消去，利用根与系数的关系，由题意得，解不等式组可求出的范围，从而可求出直线l倾斜角的取值范围；
（2）由题意可得，由（1）得到的式子代入化简，换元后利用函数的单调性可求得结果
（1）
由双曲线得，
则右焦点，显然直线l的斜率不为0，
设直线l的方程为，由得，
因为直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，设，

则，
解得，
当时，直线l倾斜角，当时，直线l的斜率或，
综上，直线l倾斜角的取值范围为
（2）
因为O是AB中点，所以

，令，则
，其中，且
又在单调减，所以，
当，即时求得，此时直线l的方程为
16．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设,通过,求解,通过在圆上,求解,得到双曲线的标准方程.
（2）当动直线的斜率不存在时,求解三角形的面积;当动直线的斜率存在时,且斜率,不妨设直线,联立直线与双曲线方程,求出,然后求解的坐标,求解,结合原点到直线的距离,求解的面积是为定值即可.
（1）
不妨设 , 因为,
从而 故由 ,
又因为, 所以 ,
又因为 在圆 上, 所以
所以双曲线的标准方程为：
（2）
设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,
当动直线的斜率不存在时, ,，,
当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 ,
故由
依题意，且
,
化简得 ,
故由 ,
同理可求,,
所以
又因为原点到直线的距离,
所以,又由
所以,
故的面积是为定值,定值为
17．（1）；（2）.
【分析】（I）利用双曲线的基本量的运算和向量的数量积可得，．
（II）设出直线l的方程，要注意斜率存在且不为0，直线方程与双曲线方程联立利用判别式和韦达定理，点在以线段AB为直径的圆的外部，即，得；可得，再转化为横坐标运算，整理得，由求出．
【详解】（Ⅰ）由已知，，，，
∵，则，∴，∴，
解得，，∴双曲线的方程为．
（Ⅱ）直线l的斜率存在且不为0，设直线l:，设、，
由，得，
则，解得①，
∵点在以线段AB为直径的圆的外部，则，


，解得②，
由①、②得实数k的范围是.
由已知，∵B在A、Q之间，则，且，
∴，则，∴，
则，
∵，∴，
解得，又，∴．
故λ的取值范围是．

18．（1）；（2）证明见解析．
【分析】（1）由题意可得，，再结合可求出，从而可求出双曲线的方程；
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，可得，，将直线方程与双曲线方程联立方程组，消去，利用根与系数的关系，从而可表示出，再由直线与双曲线的右支交与两点，可得，则，代入上式化简可求得结果
【详解】解：（1）由题意得，，
解得所以双曲线的方程为：
（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，得，，
设，，
联立，整理可得
，
所以
所以

直线与双曲线右支有两个交点，所以
所以，设，


所以
【点睛】关键点点睛：此题考查双曲线方程的求法，考查直线与双曲线的位置关系，解题的关键是将直线方程与双曲线方程联立后，利用根与系数的有关系，从而可表示出，再结合，换元后求其最小值即可，考查计算能力，属于中档题
19．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）由对称性可得，代入计算可得定值，根据定值可得的轨迹为双曲线，利用双曲线的定义可得方程；
（2）根据分别为双曲线的渐近线设出点A､B的坐标，设，然后利用向量的坐标运算得到点坐标，将点坐标代入双曲线方程，将面积用表示出来，然后求最值即可.
（1）
证明：如图，由点与关于对称，

则，，故为定值.
由，
由双曲线定义知，点的轨迹为以为焦点，实轴长为8的双曲线，设双曲线方程为
，，
所以双曲线方程为；
（2）
由题意知，分别为双曲线的渐近线
设，由，设.

，由于P点在双曲线上

又同理，设的倾斜角为，
则.

由对勾函数的性质可知函数在上单调递减，在上单调递增，
当时， ；
当时，；
.
20．(1)
(2)
【分析】（1）先求解双曲线的离心率、椭圆的离心率，表示到的渐近线的距离，可得，结合离心率求解即可；
（2）联立与的方程，求解点的坐标，再求解的坐标，计算到的距离即为两个三角形的高，求解即可
（1）
双曲线的离心率为：
故椭圆的离心率为：
双曲线的一条渐近线方程为：
设的坐标为：，则
，解得
又，解得，
故椭圆的标准方程为：
（2）
联立方程组：
解得：，即点坐标为：
直线的斜率为：
则直线的方程为：
联立方程组：
解得：或
即点坐标为，点到的距离为
联立方程组：
解得：或
即点坐标为，点到的距离为
则，即
21．（Ⅰ）
（Ⅱ）,
【分析】（Ⅰ）根据双曲线的定义得到点P的轨迹是曲线E是双曲线的左支，求得双曲线的方程，联立方程组，列出关于的不等式组，即可求得求出的取值范围；
（Ⅱ）由弦长公式和，求得的值，得到直线的方程，根据，结合根与系数关系，求得点C的坐标，代入双曲线左支方程中求出的值，再利用点到直线的距离公式，利用三角形面积公式求出的面积.
【详解】（Ⅰ）由题意，两定点，，点满足条件，
根据双曲线的定义，可得曲线是以为焦点的双曲线的左支，
且，则，
故曲线的方程为
设，
联立方程组整理得，
因为直线与双曲线左支交于两点，
则满足，解得，即的取值范围是.
（Ⅱ）由直线与圆锥曲线的弦长公式，可得，
因为，可得，
整理后得，解得或，
又因为，所以，所以直线的方程为，
设，由，可得
所以，
又由，，
可得点，将点的坐标代入曲线的方程，可得，解得，
当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，舍去，
所以，此时点的坐标为，
又由点到的距离为，
所以的面积.
22．（1）；（2）证明见解析，面积为.
【解析】（1）根据题意可得关于、、的方程组，求出、的值，由此可得出双曲线的标准方程；
（2）设直线的方程，将直线的方程与双曲线的方程联立，由可得出、所满足的等式，求出点、的坐标，利用三角形的面积公式可计算出的面积.
【详解】（1）设双曲线的焦距为，
由题意可得：，则双曲线的方程为；
（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，
设直线的方程为，
则消得，
，①
设与轴交于一点，，
，
双曲线两条渐近线方程为：，
联立，联立，
则（定值）.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键就是利用直线与双曲线得出，并求出点、的坐标，再结合三角形的面积计算出为定值.
23．(1)
(2)或
【分析】（1）由已知得，，求得，即可求得方程；
（2）分析设直线OA的方程为，联立直线与双曲线的方程，结合可求得，
再分类讨论直线OA、OB的斜率为、和直线OA、OB的斜率为、，进而求得直线方程.
（1）
过C的焦点垂直于实轴的弦长为6，将代入双曲线，得，则①，                                                     
又C的一条渐近线方程为，则②，
由①②解得，，
所以双曲线C的方程为．
（2）
显然，当直线OA斜率为0或不存在时均不符合题意．
当直线OA斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，则方程为．
联立，整理得，于是得
则，同理可得，
因为
整理得，解得．                        
即或 （满足）．
考虑到，只需分以下两种情形：
①当OA、OB的斜率为、时，
结合得或，
同理可得或，
于是由点、，据直线的两点式方程并化简可得AB方程，
同理可得AB的方程为或或．
②同理，当OA、OB的斜率为、时，
直线AB的方程为，或或或
综上，直线AB的方程为或
24．(1)，离心率为
(2)
【分析】（1）依题意用点到直线的距离公式列方程可得c，然后由渐近线斜率和几何量关系列方程组可解；
（2）设直线方程联立双曲线方程消元，利用韦达定理表示出直线，的斜率可得直线的方程，数形结合可解.
（1）
由题意知焦点到渐近线的距离为，
则
因为一条渐近线方程为，所以，
又，解得，，
所以双曲线的标准方程为，
离心率为．
（2）
设直线：，，，
联立
则，
所以，
由

解得或（舍去），
所以，
：，令，得，

所以的面积为

25．(1)
(2)见解析
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨论.
（2）根据（1）可得当时，的解的个数、的解的个数均为2，构建新函数，利用导数可得该函数只有一个零点且可得的大小关系，根据存在直线与曲线、有三个不同的交点可得的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.
（1）
的定义域为，而，
若，则，此时无最小值，故.
的定义域为，而.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
当时，，故在上为减函数，
当时，，故在上为增函数，
故.
因为和有相同的最小值，
故，整理得到，其中，
设，则，
故为上的减函数，而，
故的唯一解为，故的解为.
综上，.
（2）
[方法一]：
由（1）可得和的最小值为.
当时，考虑的解的个数、的解的个数.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
设，其中，则，
故在上为增函数，故，
故，故有两个不同的零点，即的解的个数为2.
设，，
当时，，当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，
而，，
有两个不同的零点即的解的个数为2.
当，由（1）讨论可得、仅有一个解，
当时，由（1）讨论可得、均无根，
故若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
则.
设，其中，故，
设，，则，
故在上为增函数，故即，
所以，所以在上为增函数，
而，，
故上有且只有一个零点，且：
当时，即即，
当时，即即，
因此若存在直线与曲线、有三个不同的交点，
故，
此时有两个不同的根，
此时有两个不同的根，
故，，，
所以即即，
故为方程的解，同理也为方程的解
又可化为即即，
故为方程的解，同理也为方程的解，
所以，而，
故即.
[方法二]：
由知，，，
且在上单调递减，在上单调递增；
在上单调递减，在上单调递增，且
①时，此时，显然与两条曲线和
共有0个交点，不符合题意；
②时，此时，
故与两条曲线和共有2个交点，交点的横坐标分别为0和1；
③时，首先，证明与曲线有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
其次，证明与曲线和有2个交点，
即证明有2个零点，，
所以上单调递减，在上单调递增，
又因为，，，
令，则，
所以在上存在且只存在1个零点，设为，在上存在且只存在1个零点，设为
再次，证明存在b，使得
因为，所以，
若，则，即，
所以只需证明在上有解即可，
即在上有零点，
因为，，
所以在上存在零点，取一零点为，令即可，
此时取
则此时存在直线，其与两条曲线和共有三个不同的交点，
最后证明，即从左到右的三个交点的横坐标成等差数列，
因为
所以，
又因为在上单调递减，，即，所以，
同理，因为，
又因为在上单调递增，即，，所以，
又因为，所以，
即直线与两条曲线和从左到右的三个交点的横坐标成等差数列.

【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.
26．（1）的单调递增区间是，单调递减区间是.（2）
【分析】（1）首先求出函数的导函数，再解不等式即可得到函数的单调区间；
（2）由得， 将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，结合（1）中相关性质得到函数的图象，数形结合即可得到参数的取值范围；
【详解】解：（1）∵
所以
∴当时，，当时，；
即的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）由得，
将此方程的根看作函数与的图象交点的横坐标，
由（1）知函数在时有极大值，作出其大致图象，

∴实数的取值范围是.
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性及函数的零点问题，属于基础题.
27．（1）单增区间是，单减区间是，极小值，无极大值；（2）.
【分析】（1）利用导数求解单调区间和极值即可；
（2）根据（1）得到当，，，，，即可得到实数a的取值范围.
【详解】（1）的定义域是，，
可得，
x

-2



0


减函数
极小值
增函数

所以的单增区间是，单减区间是
当时，取得极小值，无极大值.
（2）由（1）以及当，，
，， ，
因为方程有两个不同的解，
所以a的取值范围为.
28．(1)见解析；
(2).
【分析】(1)求f(x)导数，讨论的正负，由此可判断f(x)单调性；
(2)参变分离为，问题转化为求的值域.
（1）
，
时，，在R上单调递减；
时，，，单调递增，
，，单调递减；
综上，时，在R上单调递减；
a＞0时，f(x)在单调递增，在单调递减.
（2）
，
令，
则，
∴g(x)在(1，e)上单调递增，
∴
∴.
【点睛】本题关键是参变分离，构造新函数，将方程有解问题转化为求函数的值域问题.
29．（1）－；（2）(－∞，－1]；（3）.
【分析】（1）求导根据即可求出的值，注意检验时，函数f(x)是否在x＝2处取得极值即可得出结论；
（2）原题等价于在时恒成立，参变分离，求出的最小值即可得出结果；
（3）利用导数研究函数的图象与性质，进而根据题意得到不等式组，解不等式组即可求出结果.
【详解】（1）由题意，得 (x>0)，
因为x＝2时，函数f(x)取得极值，所以，即，解得，
则，则，令，则或，所以和时，，单调递减，时，，则单调递增，故函数在x＝2处取得极大值，故符合题意，因为；
（2）函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，依题意在时恒成立，即在时恒成立，则在时恒成立，即，
当时，取最小值，
所以a的取值范围是.
（3）当时，，
即.
设，
则，令，或，
当变化时，的变化情况如下表：
x
(0，1)
1
(1，2)
2
(2，4)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
递增
极大值
递减
极小值
递增

所以g(x)极小值＝g（2）＝ln2－b－2，
g(x)极大值＝g（1）＝－b－，
又g（4）＝2ln2－b－2，
因为方程g(x)＝0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，
则，解得ln2－2 所以实数b的取值范围是.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
30．(1)答案见解析
(2)存在，理由见解析.
【分析】（1）先分别讨论，两段上的函数最值，再根据两段函数最值比较综合即可得答案；
（2）假设存在，则设（），则，进而根据将问题转化为有解问题，再分和讨论求解即可得答案.
（1）
解：当时，，，令，解得，此时在和上单调递减，在上单调递增，由于，故当时，；
当时，，，故当时，在区间上单调递减，；当时，在区间上单调递增，，当时，.
综上，当时，在上的最大值为，当时，在上的最大值为.
（2）
解：假设曲线上存在两点，，使得是以为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上，
则，只能在轴的两侧，不妨设（），则，且．
因为△是以为直角顶点的直角三角形，所以，
即： ①
是否存在点，等价于方程①是否有解．
若，则，代入方程①得：，此方程无实数解；
若，则，代入方程①得：，
设（），则在上恒成立，
所以在上单调递增，从而，
所以当时，方程有解，即方程①有解．
所以，对任意给定的正实数，曲线上存在两点，，使得△是以为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．
31．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）先求出，对分类讨论判断导函数的正负即可得到单调区间;
（2）由题意将问题转化为有两个不同的实根，构造，判断的单调性；要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根；构造，对分类讨论判断的单调性，判断的零点，得出的取值范围.
（1）
，，.
①当，，函数在上单调递增；
②当，令，得，
时，；时，，
在上单调递减，在上单调递增.
综上所述：当，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当，的单调递增区间为，的单调递减区间为.
（2）
根据题意可知：方程，即有两个不同的实根.
由可得：.
令，当时，，
时，，，所以在上单调递增，
要使有两个不同的实根，则需有两个不同的实根.
令，则，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
.
①若，则，没有零点；
②若，则，当且仅当时取等号，只有一个零点；
③若，则，，.
令，则当时，，即在上单调递增，
所以，即.
故此时在上有一个零点，在上有一个零点，符合条件.
综上可知，实数的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：解决第（2）问问题时，通过变形，把等式两边化为同一形式，再结合复合函数的性质简化问题.
32．(1)答案详见解析
(2)
【分析】（1）先求得，然后对进行分类讨论，由此求得的单调区间.
（2）由进行化简，通过分离常数法，结合导数来求得的取值范围.
（1）
的定义域为，，
当时，恒成立，所以在上递增；
当时，在区间递增；在区间递减.
（2）
依题意有且仅有两个不相等实根，
即有两个不相等的实根，
，构造函数，
，所以在区间递增；在区间递减.
所以.
，当时，，，
，
所以的取值范围是.
33．（1）当时，在 上是减函数，在上是增函数，当时，在上是减函数；（2）；（3）2，证明见解析.
【分析】（1）求导，利用解不等式，分类讨论即可；
（2）利用（1）中的单调性结论求的最小值，可得关于的不等式，再解关于的不等式即可；
（3）令，原问题转化为的根的个数问题，讨论的单调性，找出根的个数即可.
【详解】（1）定义域为： ，，
由得： ，
当时，，
在 上是减函数，在上是增函数，
当时，，
在上是减函数，
当时，，在上是减函数，
综上所述，当时，在 上是减函数，在上是增函数，
          当时，在上是减函数.
（2）由（1）知，
当时，，
由恒成立得，，
设，，
，
由得：，
在 上是增函数，在上是减函数，
，
，
要使恒成立，则，
当时，在上是减函数，且，
当，，不合题意，
综上所述，实数的集合；
（3）原问题可转化为方程的实根个数问题，
当时，的图象与的图象有且仅有2个交点，理由如下：
由得，，
令，
因为，所以是的一根，
，
，当时，，，
所以，在上单调递减，，
即在上无实根；
，当时，，
所以在上单调递增，
又，，
所以在上有唯一实数根 ，，
且满足，
①当时，，在上单调递减，
此时，在上无实根；
②当时，，在上单调递增，
此时
，
，
故在上有唯一实根；
，当时，由（1）知，在上单调递增，
所以，
故
即在上无实根；
综合，，得，有且仅有两个实根，即的图象与的图象有且仅有2个交点.
【点睛】（1）此题考导数与函数的综合应用，找到合适的分类标准是解此题的关键；
（2）关于恒成立问题，我们首先看能否分离参数，不能分离参数时要分类讨论，注意分类要做到不重复，不遗漏；
（3）关于两个函数的交点个数问题，我们一般采用画图法，如果不能画图，构造一个函数，讨论的根的个数问题.
34．(1)或4；
(2)答案见解析.
【分析】（1）在有，构造中间函数并利用导数研究单调性和零点情况，求参数a，在上根据已知列方程组求参数a，即可得结果.
（2）讨论a的范围，利用导数研究的单调性，结合零点存在性定理判断各情况下零点的个数.
（1）
时，原条件等价于，
∴，
令，则，
∴为增函数，由，则有唯一解，所以，
时，，解得：．
综上，或4．
（2）
ⅰ.时，则，，
而，，即为增函数，又，
当时；当时，故，
∴恒成立，故时零点个数为0；
ⅱ.时，，由①知：仅当时，此时零点个数为1．
ⅲ.时，，则，，
∴为增函数，，，
∴仅有一解，设为，则在上，在上，
所以最小值为，故．
又，，故、上各有一零点，即有2个零点．
ⅳ.时，上，
，
∴无零点，则上，，，
∴为增函数，，，
∴有唯一解，设为，则，
又，，故、上，各有一个零点，即有2个零点．
ⅴ.时，由（1）知：上有唯一零点：；
在上，则，，
所以为增函数，，，故使，
则上，递减；上，递增；
故，而，
又，，故在、上各有一个零点，
所以共有3个零点．
综上：时零点个数为0；时零点个数为1；时零点个数为2；时零点个数为3．
【点睛】关键点点睛：
（1）根据分段函数的定义域讨论x，结合函数、方程思想求参数.
（2）讨论参数a，利用二阶导数研究的单调性，进而判断其符号研究单调性，并结合零点存在性定理判断区间零点的个数.
35．(1)
(2)答案不唯一，具体见解析
【分析】（1）由a＝2，利用导数的几何意义求解；
（2）由得到，令，利用导数法求解.
（1）
当a＝2时，，，
则切线的斜率为，
又，所以曲线在处的切线方程是，
即．
（2）
即为，化简得，
令，则，
令，则，
令，得．
当时，，即在上单调递增；
当时，，即在上单调递减．
①当时，，即，
所以在R上单调递减．
又，所以有唯一零点0；
②当时，，，所以存在，，
又，
令，，
所以在上单调递减，，
即，所以存在，，
x

n

m


－
0
＋

－

单调递减

单调递增

单调递减

则，又，所以存在，；
同理，，又，所以存在，，
由单调性可知，此时有且仅有三个零点0，，．
综上，当时，有唯一零点，方程有唯一的实根；
当时，有且仅有三个零点，方程有3个实根．
【点睛】方法点睛：用导数研究函数的零点（方程的根），一方面用导数判断函数的单调性，借助零点存在性定理判断；另一方面，也可将零点问题（方程的根）转化为函数图象的交点问题，利用数形结合来解决．
36．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据已知条件去掉绝对值，再利导数法求函数的最值即可求解；
（2）根据已知条件及对数恒等式，利用导数法求出函数的单调性进而得出自变量的关系，再结合方程的根转化为函数与函数的交点即可求解.
（1）
时，.
①时，，
，

所以，即在时单调递减；
②时，.

所以，即在时单调递增；
当时，取得最小值为

所以的最小值是.
（2）
由题，，
则，
即.
所以.由，得.
当时，；
当时，；
所以，在上递减；在上递增.
又因为，所以，当且仅当或.
又，故和不可能同时成立.
所以方程根的个数是两函数和的零点个数之和，其中
当时，函数的零点个数转换为直线与函数图象的交点个数，
，令，即，解得.
当易知时，,单调递减，
当时，，单调递增；
在处取得最小值为，
所以时，直线与函数图象无交点，函数无零点；
时，直线与函数图象有一个交点，函数有1个零点；
时，直线与函数图象有2个交点函数，有2个零点.
同理：函数的零点个数转化为直线与函数图象交点个数，
设，则
所以函数在单调递增，
在处的函数值为，
所以故时，在上必有1个零点.
综上所述，时，方程有1个根；
时，方程有2个根；时，方程有3个根.
【点睛】解决此类型的关键第一问去掉绝对值分别讨论单调性，但要注意分段函数是一个函数，利用导数法求函数的最值的步骤即可，第二问先对方程变形，然后利用导数法得出函数单调性进而出自变量与函数值的关系，再结合方程的根转化为函数与函数交点的问题即可.