【高考数学】2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市专项突破仿真模拟试题（一模二模）含解析

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【高考数学】2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市专项突破仿真
模拟试题（一模）

第I卷（选一选）
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一、单 选 题
1．已知全集，集合，集合，则图中的暗影部分表示的集合为（       ）

A．B．C．D．
2．欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，在很多领域都有杰出的贡献．由《物理世界》发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式“”与麦克斯韦方程组并称为“史上最伟大的公式”．其中，欧拉恒等式是欧拉公式：的一种情况．由欧拉公式，复数z满足，则z的虚部是（       ）
A．iB．1C．D．
3．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，,，则的值为（       ）
A．B．C．D．
4．将3个完全相反的红球和2个完全相反的黄球随机排在一行，则2个黄球不相邻的概率为（       ）
A．0.3B．0.4C．0.5D．0.6
5．观察下列等式，，，，，根据上述规律，（       ）
A．B．
C．D．
6．执行如图所示的程序框图，则输入的（       ）


A．2B．1C．D．-1
7．设m，n是空间两条不同直线，，是空间两个不同平面，则下列选项中正确的是（       ）
A．当时，“”是“”的充分不必要条件
B．当时，“”是“”的充分不必要条件
C．当时，“”是“”的必要不充分条件
D．当时，“”是“”的必要不充分条件
8．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都运用广泛，0.618就是黄金分割比的近似值，黄金分割比还可以表示成，则（       ）．
A．4B．C．2D．
9．设，是平面内两个不共线的向量，，，，若A，B，C三点共线，则的最小值是（       ）
A．8B．6C．4D．2
10．已知是定义在R上的函数，为偶函数且为奇函数，则下列选项正确的是（       ）
A．函数的周期为2B．函数的周期为3
C．D．
11．如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线双曲线镜面反射，其反射光线的反向延伸线双曲线的左焦点．若双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的光线图2中的A，B两点反射后，分别点和．且，，则的离心率为（       ）


A．B．C．D．
12．已知函数，（）的三个零点分别为，，，其中，的取值范围为（       ）
A．B．
C．D．
第II卷（非选一选）
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得分



二、填 空 题
13．已知函数对于任意的正实数x，y满足，且，则=______．
14．若平面内两定点A、B间的距离为2，动点P满足，则的值为______．
15．如图，，分别是正方形的边，的中点，把，，折起构成一个三棱锥（，，重合于点），则三棱锥的外接球与内切球的半径之比是______.

评卷人
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三、双空题
16．已知函数，则函数的值为____，若函数在上为增函数，则w的取值范围为______．
评卷人
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四、解 答 题
17．医学中判断男生的体重能否超标有一种简易方法，就是用一个人身高的厘米数减去105所得差值即为该人的标准体重．比如身高175cm的人，其标准体重为公斤，一个人实践体重超过了标准体重，我们就说该人体重超标了．已知某班共有30名男生，从这30名男生中随机选取6名，其身高和体重的数据如表所示：
编号
1
2
3
4
5
6
身高（cm）x
165
171
160
173
178
167
体重（kg）y
60
63
62
70
71
58

(1)从编号为1，2，3，4，5的这5人中任选2人，求恰有1人体重超标的概率；
(2)根据上述表格信息，用最小二乘法求出了体重y对身高x的线性回归方程，但在用回归方程预告其他同窗的体重时，预告值与实践值吻合不好，需求对上述数据进行残差分析．按，对残差在区间之外的同窗要重新采集数据．问上述随机抽取的编号为3，4，5，6的四人中，有哪几位同窗要重新采集数据？
18．已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有、两点.如图，，，点是上动点.沿将纸片折为直二面角，并连结，，，.

(1)当平面时，求的长；
(2)问当点在什么地位时，三棱锥体积，并求出此时点到平面的距离.
19．在①，②是，的等差中项，③．这三个条件中任选一个作为已知条件，补充在上面的成绩中，然后解答补充残缺的题．
已知正项等比数列的前n项和为，，且满足______（只需填序号）．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和．
注：若选择多个条件分别解答，则按个解答计分．
20．已知曲线C上动点到定点与定直线的距离之比为常数．
(1)求曲线C的轨迹方程；
(2)以曲线C的上顶点T为圆心作半径为的圆，设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程．
21．记，分别为函数，的导函数．若存在，满足，且，则称为函数与的一个“点”．已知，．
(1)若，，存在“点”，求的值；
(2)对任意，能否存在实数，使得，存在“点”？请阐明理由．
22．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴由建立极坐标系，曲线C的参数方程为（t为参数），直线l的极坐标方程为．
(1)已知点在曲线C上，求a的值；
(2)设点P为曲线C上一点，求点P到直线l距离的最小值．
23．已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若的值为m，且，求最小值．

答案：
1．A

【分析】
图中的暗影部分为在集合B中且不在集合A中的元素，从而求得暗影部分表示的集合
【详解】
根据交集和补集的定义，则图中的暗影部分表示的集合为

故选：A
2．D

【分析】
根据题意，化简可得复数z的表达式，根据复数的概念，即可得答案.
【详解】
由题意得，
所以，
所以，则z的虚部是.
故选：D
3．C

【分析】
根据正弦定理求出，再根据同角公式可得结果.
【详解】
根据正弦定理得，得，
所以.
故选：C.
4．D

【分析】
根据组合知识和古典概型的概率公式可求出结果.
【详解】
将3个完全相反的红球和2个完全相反的黄球随机排在一行，共有种排法，
其中2个黄球不相邻的排法有种，
所以2个黄球不相邻的概率为.
故选：D.
5．B

【分析】
根据，，，，观察其规律，可得.
【详解】
，
，
，
，
根据上述规律，得
.
故选：B.
6．A

【分析】
由循环结构中值的变化可知，值呈周期方式，利用周期，求出输入的值.
【详解】
由循环结构可知，，；，；，；，；…所以S的值以-1，，2的方式循环（），当时，，输入的.
故选：A
7．B

【分析】
根据空间中的垂直关系的转化可判断AB的正误，根据空间中平行关系的转化可判断CD的正误.
【详解】
对于A，当时，若，则，反之也成立，
故“”是“”的充分必要条件，故A错误.
对于B，当时，由线面垂直的判断定理可得：若，则，
但若，或或相交均可能，
故当时，“”是“”的充分不必要条件，故B正确.
对于C，当时，，则平行或异面，
而时，或，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误.
对于D，当时，若，则或或相交均可能，
当时，则或或相交均可能，
故“”是“”的既不充分也不必要条件，故D错误，
故选：B.
8．A

【分析】
根据，三角函数的基本关系式，诱导公式和倍角公式，即可求解.
【详解】
根据题意，可得，
则.
故选：A．
9．A

【分析】
根据向量共线定理得到，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】
由于A，B，C三点共线，所以向量、共线，
所以存在，使得，即，
即，
由于、不共线，所以，消去，得，
由于，，所以，当且仅当，时，等号成立.
故选：A
10．C

【分析】
由为偶函数，得，将换为，得，将换为，得；由为奇函数，得，将换为，得，从而可得 ，将换为，得，可得，根据周期的定义可得周期为，经过赋值法可得，根据周期可得，故C正确.
【详解】
由于为偶函数，所以，所以，所以，
由于为奇函数，所以，所以，
所以，所以，
所以，即函数的周期为，故A B不正确；
又，即，所以，
所以，故C正确；
的值不确定，故D不正确.
故选：C.
11．D

【分析】
设，，由双曲线的定义可得，，在直角三角形中，在中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，离心率公式，可得所求值．
【详解】
解：设，，

由双曲线的定义可得，，
由，可得，
在直角三角形中，，①
，②
在中，可得③
由①②可得，，
代入③可得，
即为，
则，
故选：D．
12．B

【分析】
设，则有两个不等于的零点，再根据，可知的零点互为倒数，则，，，且，则，利用可求出结果.
【详解】
由于恒有零点1，
令，则有两个不等于的零点，
由于，
所以的零点互为倒数，则必然一个大于0小于1，另一个大于1，
所以，，，且，
所以
，
令，由于，所以，
所以，
所以的取值范围为.
故选：B

关键点点睛：设，根据推出的零点互为倒数是解题关键.
13．4

【分析】
分别对x，y进行赋值，即可解得结果.
【详解】
由题可知，．
故4.
14．##

【分析】
建立直角坐标系，利用列式化简，可得点的轨迹方程，再代入，从而可得答案.
【详解】
以的直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立直角坐标系，
则，设，由，
所以，两边平方并整理得，
所以点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
所以，
则有，
所以的值为.
故答案为.

15．

【分析】
根据两两垂直可知，三棱锥的外接球也是以为长，宽，高的长方体的外接球，即可求出其外接球半径，再根据等积法可求出其内切球的半径，从而得解．
【详解】
由于两两垂直，所以三棱锥的外接球也是以为长，宽，高的长方体的外接球，设其外接球半径为，正方形边长为，所以，，
即，解得．
由于三棱锥的表面积即为正方形的面积，，设其内切球的半径为，
所以，，即．
因此，．
故．

本题次要考查三棱锥的外接球和内切球的半径的求法，意在考查先生的数学运算能力，属于基础题．
16．     3    

【分析】
根据正弦函数值域即可求f(x)值；求出f(x)的增区间，则根据为其子集即可求出ω关于整数k的范围，令k为具体的整数即可求出ω的具体范围.
【详解】
当sin＝1时，取值3；
函数在上为增函数，根据正弦函数的性质可知，
区间的长度最长为该正弦型函数最小正周期的一半，
即.
令，则，k∈Z；
则，k∈Z；
∵，
∴时，；
时，；时，∵，故不符题意；
综上，ω∈.
故3；.
17．(1)0.6
(2)3号，4号和6号同窗需求重新采集数据

【分析】
（1）先经过计算判断体重超标的编号，然后经过列举法可得；
（2）根据回归方程过样本点可得，然后分别计算出残差可得.
(1)
由表可知：
1号同窗的标准体重为；
2号同窗的标准体重为；
3号同窗的标准体重为；
4号同窗的标准体重为；
5号同窗的标准体重为；
故3号、4号同窗体重超标
一切基本为（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）共10个
恰有1人体重超标包含基本为（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，5），（4，5）共6个，
恰有1人体重超标记为A，则；
(2)
由于，
，
回归直线方程必过样本，得，即，
所以回归直线方程为，
残差分析：
，
，
，
，
故3号，4号和6号同窗需求重新采集数据．
18．(1)
(2)，

【分析】
（1）由线面平行的性质得到，即可得到，再利用余弦定理计算可得；
（2）根据面面垂直的性质得到平面，则，即可得到当时，三棱锥的体积，再利用等体积法求出点到平面的距离；
(1)
解：由于平面，平面，平面平面，
所以，又，所以，所以，
又，所以.
(2)
解：当时，三棱锥的体积，
由于，二面角为直二面角，平面平面，平面，所以平面，平面，所以、，
又，而，
所以当，时，三棱锥的体积，
此时，此时
即是等边三角形，边长，∴，
设所求距离为，则，即，解得，
故当时，此时点到平面的距离为.

19．(1)
(2)

【分析】
（1）设正项等比数列的公比为，选①：由，得到，，求得，得到；选②：得到，，求得，得到；选③：由，当时，求得，得到，当时，求得进而得到；
（2）由（1）求得，得到，等比数列的求和公式，即可求解.
(1)
解：设正项等比数列的公比为，
选①：由，得，所以，
又由，可得，解得或（舍去），
所以.
选②：由是，的等差中项，可得，
又由于，可得，即，
解得或（舍去），
所以.
选③：由，
当时，，解得或（舍去），所以，
当时，，
所以；验证当时，满足，
所以
(2)
解：由（1）知，所以，
所以，可得，
所以
．
20．(1)
(2)最小值为，

【分析】
（1）设，根据距离公式列出方程求解得出曲线C的轨迹方程；
（2）设，，由点在椭圆上得出，再由数量积公式二次函数的性质得出的最小值，并求此时圆T的方程．
(1)
动点到定点与定直线的距离之比为常数
∴；化简整理得：
(2)
点与点关于轴对称，设，，不妨设．
由于点在椭圆上，所以．
由已知，则，，
∴
由于，故当时，取得最小值为．
此时，
故圆T的方程为．
21．(1)1
(2)存在，理由见解析

【分析】
（1）设“S点”为，然后可得，然后解出即可；
（2）假设对任意，存在实数，使得与有“S点”， 设为，然后可得，，消去得，然后可得，消去得，然后证明对任意，方程在有解即可.
(1)
设“S点”为，，，，
所以，消去得，
记，显然在上是增函数，而，
因此只要一个解，所以．
(2)
假设对任意，存在实数，使得与有“S点”，
设为，，
所以①，②，由②得③，
①③消去得，，，
①③消去得，在时，，
上面证明对任意，方程在有解，
设，函数在定义域上是减函数，
时，，
，图像连续不断，所以存在使得．
综上，任意，存在实数，使得与有“S点”
22．(1)
(2)

【分析】
（1）点M代入曲线方程可得答案；
（2）求出直线l的直角坐标方程，设，求出点P到直线l的距离再求最值可得答案．
(1)
∵点M在曲线C上，∴，∴，∴．
(2)
直线l的直角坐标方程为：，
∵点P在曲线C上，∴设，
则点P到直线l的距离为，
当时，．
23．(1)
(2)3

【分析】
（1）讨论， ，，去掉值，解不等式即可得出答案
（2）首先求出的单调性，得出，即可求出，再由三元基本不等式可得出答案.
(1)
当时，，即，无解；
时，，解得；
当时，，解得．不等式的解集为
(2)
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递增；
当时，，此时函数单调递减．
所以，，，所以，，
由于且，则，
由三元基本不等式可得，
当且仅当，即时取到等号，故的最小值为3．



















【高考数学】2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市专项突破仿真
模拟试题（二模）

第I卷（选一选）
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一、单 选 题
1．设全集，集合，，则上面Venn图中暗影部分表示的集合是（       ）

A．B．
C．D．
2．设复数满足，则的虚部为（       ）
A．B．C．D．2
3．某市高三年级共有14000 人参加教学质量检测，先生的数学成绩近似服从正态分布（试卷满分150分），且，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的先生人数为（       ）
A．2800B．4200C．5600D．7000
4．考拉兹猜想是有目共睹的数学难题之一，由德国数学家洛塔尔·考拉兹在世纪年代提出，其内容是：任意正整数，如果是奇数就乘加，如果是偶数就除以，如此循环，最终都能够得到．下边的程序框图演示了考拉兹猜想的变换过程．若输入的值为，则输入的值为（       ）

A．B．C．D．
5．设为第二象限角，若，则=（       ）
A．B．
C．D．2
6．中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱．假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊5名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱与梦天实验舱各安排1人．若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排共有（       ）

A．8种B．14种C．20种D．116种
7．函数（是自然对数的底数）的图象关于（       ）
A．直线对称B．点对称
C．直线对称D．点对称
8．将函数的图象上各点横坐标延长为原来（纵坐标不变）后，再向左平移个单位长度得到函数的图象，当时，的值域为（       ）
A．B．
C．D．
9．抛物线的焦点为，为抛物线上一点，以为圆心，为半径的圆交抛物线的准线于，两点，，则直线的斜率为（       ）
A．B．
C．D．
10．已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则面积的值为（       ）
A．B．
C．5D．10
11．在四面体中，， ，二面角的大小为，则四面体外接球的表面积为（       ）
A．B．
C．D．
12．过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，切点为（不重合），设直线分别与y轴交于点，则下列结论正确的个数是（       ）
①两点的横坐标之积为定值；
②直线的斜率为定值；
③线段的长度为定值；                       
④面积的取值范围为.
A．1B．2C．3D．4
第II卷（非选一选）
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二、填 空 题
13．曲线在点（，2）处的切线方程是________．
14．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，椭圆上一点P满足|OP|＝3，则△F1PF2的面积为________．
15．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2BC＝2CD＝2，将△ACD沿AC折叠构成三棱锥D1−ABC．当三棱锥D1−ABC体积时，则此时三棱锥外接球体积为________．

16．已知函数，（），（），给出下列四个命题，其中真命题有________．（写出一切真命题的序号）
①存在实数k，使得方程恰有一个根；
②存在实数k，使得方程恰有三个根；
③任意实数a，存在不相等的实数，使得；
④任意实数a，存在不相等的实数，使得．
评卷人
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三、解 答 题
17．已知，，分别为三个内角，，的对边，且.
(1)求证：；
(2)若为，的等差中项，且，求的面积.
18．2022年北京防寒服中的“神奇内芯”—仿鹅绒高保暖絮片，是国家运动员教练员比赛服装的保暖材料.该“内芯”具有超轻超薄､湿态保暖､高蓬松度等特点，其研发是国家研发计划“科技冬奥”专项之一，填补了国内空白.为了保证其质量，厂方技术员从生产的一批保暖絮片中随机抽取了100处，分别测量了其纤维长度(单位：)的均值，并制成如下频率分布直方图：

(1)估计该批保暖絮片纤维长度的平均数和样本方差(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(2)该批保暖絮片进人成品库之前需进行二次检验，从中随机抽取15处测量其纤维长度均值，数据如下：31.8，32.7，28.2，34.3，29.1，34.8，37.2，30.8，30.6，25.2，32.9，28.9，33.9，29.5，34.5.请问该批保暖絮片能否合格？(若二次抽检纤维长度均值满足，则认为保暖絮片合格，否则认为不合格).
19．如图，为平行四边形，，将沿翻折到地位且.

(1)求P、C两点之间的距离；
(2)求二面角的余弦值.
20．已知椭圆的左，右焦点分别为､，动直线过与相交于，两点.若：是其中一个的内切圆.
(1)求椭圆的方程；
(2)求内切圆半径的值.
21．已知函数，函数在处取得值.
(1)求a的取值范围；
(2)当时，求证.
22．在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
(1)求曲线C的普通方程；
(2)若过点的直线l与曲线C交于A，B两点，求的取值范围.
23．已知函数，其中.
(1)当时，求不等式的解集；
(2)若时，恒成立，求a的取值范围.

答案：
1．A

【分析】
由对数函数性质，二次根式定义确定集合，然后确定Venn图中暗影部分表示的集合并计算．
【详解】
由题意，或，
，
Venn图中暗影部分为．
故选：A．
2．C

【分析】
根据复数的除法运算求出复数，再根据虚部的定义即可得解.
【详解】
解：由于，所以，
则.
所以的虚部为.
故选：C.
3．A

【分析】
根据正态曲线的性质即可解出．
【详解】
由于，近似服从正态分布，
所以，
即这次检测数学成绩在80到90分之间的先生人数大约为．
故选：A．
4．C

【分析】
根据程序框图列举出算法循环的每一步，即可得出输入结果.
【详解】
次循环，不成立，，，不成立；
第二次循环，成立，，，不成立；
第三次循环，成立，则，，不成立；
第四次循环，成立，则，，不成立；
第五次循环，成立，则，，成立.
跳出循环体，输入.
故选：C.
5．B

【分析】
平方关系解得，由商数关系求得，再由两角和的正切公式计算．
【详解】
由得，，
是第二象限角，，，
所以由，解得：，
所以，
．
故选：B．
6．B

【分析】
按照同个元素（甲）分类讨论，元素和地位优先考虑即可得解.
【详解】
按照甲能否在天和核心舱划分，
①若甲在天和核心舱，天和核心舱需求从除了甲乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有种可能；
②若甲不在天和核心舱，需求从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有种可能；
根据分类加法计数原理，共有6+8=14种可能.
故选：B.
7．D

【分析】
根据对称性进行检验．
【详解】
由题意，它与之间没有恒等关系，相加也不为0，AB均错，
而，所以的图象关于点对称．
故选：D．
8．C

【分析】
利用三角函数图象变换可求得，由可求得的取值范围，正弦型函数的基本性质可求得函数的值域.
【详解】
将函数的图象上各点横坐标延长为原来（纵坐标不变）后，可得到函数的图象，
再将所得图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则，
当时，，所以，.
故选：C.
9．D

【分析】
根据题意求出点坐标，即可求出直线的斜率.
【详解】
由题意可知：，设准线与轴交于，
由于，所以，且，
所以，
设，由抛物线定义可知，
所以，代入抛物线中得，所以，且，
所以直线的斜率为.
故选：D

10．C

【分析】
由直线方程求出定点，确定，即在以为直径的圆上，由圆的性质得点到的距离值为圆半径，由此可得面积值．
【详解】
由直线的方程是得直线过定点，同理直线方程为，即，所以定点，
又，所以，即在以为直径的圆上，
，由圆的性质知点到的距离值等于圆半径，即，
所以面积的值为．
故选：C．
11．B

【分析】
取中点，中点，连接，证明是二面角的平面角，，是直角的外心，是直角的外心，在平面内过作，过作，交点为四面体外接球球心，求出球半径可得表面积．
【详解】
取中点，中点，连接，则，，
，，所以是直角的外心，，，
，，所以，，
所以是二面角的平面角，，
是中点，则是直角的外心，
由，，，平面得平面，
平面，所以平面平面，同理平面平面，
平面平面，平面平面，
在平面内过作，则平面，
在平面内过作，则平面，与交于点，
所以为四面体的外接球的球心，
中，，
所以，所以，
，
所以外接球表面积为．
故选：B．

12．C

【分析】
当时，求得，当时，，可判定①正确；根据斜率公式和对数的运算性质，可判定②正确；求得的方程，得到，，求得，可判定③正确；联立方程组，得到，进而求得，可判定④不正确.
【详解】
作出曲线的图象，如图所示，
过平面内一点作曲线两条互相垂直的切线，切点为（不重合），
可得切点的横坐标在，的横坐标在，
当时，，则，所以；
当时，，则，所以，
所以，所以，所以①正确；
直线的斜率为，所以②正确；
过点的切线方程为，令，可得，即点，
过点的切线方程为，令，可得，即点，
所以，所以③正确；
由切线联立方程组，解得其交点的横坐标，
由于不重合，故等号不成立，
所以的横坐标，所以，所以④不正确.
故选：C.

13．

【分析】
求导，利用导数的几何意义求出切线方程的斜率，进而求出切线方程.
【详解】
，所以，故在点（，2）处的切线方程为，即.
故
14．7

【分析】
设出，列出方程组，求出，从而求出面积.
【详解】
由题意得：，解得：，所以，设出，则，解得：，故
故7
15．

【分析】
找到体积时的形态，三棱锥的几何特点，求得外接球球心，再求半径和体积即可.
【详解】
在等腰梯形中，由于，
容易知，
当三棱锥D1−ABC体积时，此时平面平面，
又面面，且面，故面，
由于，故△为直角三角形，不妨取斜边的中点为，
则，过作平面的垂线，

取中点为，连接，由于，故，
又面面，面，面，故面，
故//，则四点共面.
由于，取△的外心为，过作的垂线交于点，
则，故该三棱锥的外接球球心为，设其半径为，
则由图可知：，又，
在△中，由正弦定理可得，故，
又，故，，
故三棱锥外接球体积.
故答案为.
16．①②④

【分析】
①②画出函数图象，定点，数形进行判断；③转化为两函数的交点成绩，可以举出反例；④转化为两函数交点成绩，能够得到一组二次函数，均过原点，且开口向下，利用图象，数形得以证明.
【详解】
画出的函数图象，如图：

定点，从图中可以看出存在实数k，使得方程恰有一个根；①正确；
存在实数k，使得方程恰有三个根，②正确；
要想对任意实数a，存在不相等的实数，使得，只需函数，（）一直有两个交点，当时，，开口向上，且最小值为，此时图象如图所示：由于指数函数的增长速度高于二次函数，显然此时两函数只要一个交点，故③错误；

要想对任意实数a，存在不相等的实数，使得，即，只需与，无论a取何值，都有两个交点，其中开口向下，且有值为，且恒过，画出两函数图象如下，其中为一组抛物线，用虚线表示：

无论a取何值，都有两个交点，④正确；
故①②④

利用函数图象研讨函数零点是很重要的方法，需求数形进行求解，函数单调性，极值，最值，有时分需求用到导函数的方法.
17．(1)证明见解析
(2)

【分析】
（1）根据题意得，再根据三角形性质求解即可；
（2）设，得，求解即可.
(1)
由已知及正弦定理得，
又
代入上式得，即
又，显然，所以，故
(2)
由（1）知，由于为，的等差中项，
不妨设
由余弦定理得，
整理得：①
由已知得，②
由①②联立，整理得：，所以.
所以，所以的面积为
18．(1)31，12.28；
(2)合格﹒

【分析】
(1)根据频率分布直方图，求出每一组的频率和频数，根据方差计算公式即可计算方差；
(2)求出,比较的大小关系即可判断.
(1)
由频率分布直方图可得，纤维长度区间是､､､､､､､的频率分别为：0.04､0.09､0.16､0.24､0.18､0.14､0.10､0.05，
对应的频数分别为：4､9､16､24､18､14､10､5，
故样本均值为：
；
样本方差为：
﹒
∴估计该保暖絮片的纤维长度的平均数为，方差为；
(2)
二次抽检纤维长度均值：
，
∵，
∴该批保暖絮片合格﹒
19．(1)；
(2)﹒

【分析】
(1)延伸到E，使，连接.证明CE⊥平面PDE，根据勾股定理可求PC长度；
(2)取中点O，连接，以分别为x，z轴建立空间直角坐标系，求出平面DPB和平面CPB的法向量，利用向量法即可求解二面角的余弦.
(1)
延伸到E，使，连接.

由己知得为平行四边形，故.
又，∴，
则，∵PD∩AE＝D，∴平面，
∴平面，∴，
∵，∴，又，
∴为等边三角形，故.
又，∴；
(2)
由(1)知为矩形，取中点O，连接，则OP⊥DE，则OP⊥平面BCED，
如图，以分别为x，z轴建立空间直角坐标系，

则.
.
设平面的法向量为，则，
即，取，故，
设平面的法向量为，则，
即，取，故，
∴，
由已知二面角为钝角，故二面角的余弦值为.
20．(1)
(2)

【分析】
（1）根据题意得，
再利用椭圆定义求解即可；（2）根据题意得，，
设直线的方程为：，联立求出韦达定理，整理求最值即可.
(1)
由已知方程为：，圆心，半径为.由已知得，
故，
由，
解得
故，所以，.
所以椭圆的方程为.
(2)
设内切圆半径为，面积为，，
则，又，
所以，设直线的方程为：，
与椭圆联立整理得，
则.由，
所以
所以，
令，则，
当且仅当即时取等号.故内切圆半径的值为.

处理直线与椭圆的综合成绩时，要留意：
(1)留意观察运用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，
注重根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等成绩．
21．(1)
(2)证明见解析

【分析】
（1）对求导，然后判断函数的单调性进而可求极值，从而可得出结论；
（2）方法一：（1）的结论可知只需证即可，然后构造函数，从而证得其最小值大于0即可；
方法二：（1）的结论可知只需证即可，进而分别构造函数令和，然后函数的图象与性质即可得出结论.
(1)
显然，由已知得.
故.
若，当时，；当负数时，.
有最小值，不符合题意.
若，当时，；当时，.
有值，故a的取值范围为.
(2)
由（1）知，当时，，所以.
当时，由于，只需证，
即证
令，
设，
故在上为增函数.
所以，
所以存在，使得，此时.
当时，，即；当时，，即.
故.
又由于在为减函数，且，
所以
故当时，，即，所以.
综上，当时，.
解法二：由（1）知，当时，，所以.
当时，由于，只需证，
即证.
令在上单递增，
所以；
令，由得.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
当时，，故
所以
综上，当时，.

不等式证明成绩是近年高考命题的，利用导数证明不等式的方法次要有两个：（1）不等式两边作差构造函数，利用导数研讨函数的单调性，求出函数最值即可；（2）观察不等式的特点，已解答成绩把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，再化简或者进一步利用导数证明.
22．(1)；
(2).

【分析】
（1）由题得，利用极坐标公式化简即得解；
（2）设直线l的倾斜角为，写出直线的参数方程，联立曲线C的普通方程得到韦达定理，再利用韦达定理和参数的几何意义求解.
(1)
解：由，故，由于
所以曲线C的普通方程为，即.
(2)
解：设直线l的倾斜角为，
则直线l的参数方程为（t是参数），
代入化简得：
由得，
设其两根分别为，则，
由参数的几何意义知，
又，其中，
所以，故.
故的取值范围为.
23．(1)
(2)

【分析】
（1）分段讨论去值后求解
（2）根据的值分类讨论，转化为最值成绩求解
(1)
当时，
故原不等式等价于①或②或③
解①得：；解②得：；解③得：
综上：不等式的解集为
(2)
当时，；当时，
所以在单调递增，在上单调递减，
由时，，
故即，
解得，故.
故a的取值范围为.