山西省大同市第六中学校2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试卷

山西省大同市第六中学校2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．由于受新冠疫情的影响，第32届东京奥运会暂定于2021年7月23日正式开幕，于同年8月8日闭幕．在会徽的图案设计中，设计者常常利用对称性进行设计，下列四个图案是历届会徽图案上的一部分图形。其中是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2．计算的结果是（    ）

A． B． C． D．

3．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（    ）

A． B．

C． D．

4．如果把分式中的x和y都扩大2倍，那么分式的值（    ）

A．扩大为原来的4倍 B．扩大为原来的2倍

C．不变 D．缩小为原来的

5．如图1，边长为a的正方形是由边长为b的正方形和四个全等的四边形组成的，沿正方形内的虚线将四个全等的四边形剪下，拼成如图2所示的四边形，通过计算四边形的面积，可以验证的乘法公式是（    ）

A． B．

C． D．

6．数学兴趣小组的同学课间利用数学作业本做了一个有趣的数学活动：用10本高度都是2cm的数学作业本，垒了两摞与课桌面垂直的书墙，书墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板（，），点C在上，点A和B分别与书墙的顶端重合，则两摞书墙之间的距离是（    ）

A．6cm B．10cm C．14cm D．20cm

7．下列计算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

8．计算的结果是（    ）

A．1 B． C．2 D．

9．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑车速度的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原来到校时间相同．设小军骑车的速度为x千米/分钟，则所列方程正确的是（    ）

A． B．

C． D．

10．如图，在中，BC的垂直平分线DP与的平分线相交于点D，垂足为P，若，则的度数为（    ）

A．94° B．104° C．96° D．98°

二、填空题

11．新型冠状病毒肺炎是一种急性感染性肺炎，其病原体是一种先前未在人类中发现的新型冠状病毒，即新型冠状病毒．其体积很小，形态要比细菌小很多，所以特别不容易被防护．这种病毒外面有包膜，直径大概在纳米，平均纳米，呈颗粒的圆形或者椭圆形．纳米用科学记数法表示为______米．（纳米＝米）

12．当x___________时，分式有意义．

13．计算：______．

14．当______时，分式的值为零．

15．如图，是等腰三角形，cm，，点D是底边BC边上的任意一点，于点E，于点F．则______cm．

三、解答题

16．（1）计算：

①；

②．

（2）因式分解：

①；

②．

17．化简式子，从0，1，2中取一个合适的数作为x的值代入求值．

18．请阅读下列材料回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下：

解：方程两边同乘以，得．①

去括号，得②

解得．

检验：当时，．③

所以原分式方程无解．④

(1)你认为小明在第______步出现了错误；（只填序号）

(2)针对小明解分式方程出现的错误和解分式方程中的其他重要步骤，请你提出条解分式方程时的注意事项；

(3)写出上述分式方程的正确解法．

19．如图，已知的三个顶点的坐标分别为，，．

(1)作关于y轴的轴对称图形得，画出图形，并直接写出点的坐标______；

(2)已知点P是x轴上一点，则当的最小值时，点P的坐标是______．

20．数学课上，老师给出一个问题：如图1，已知在中，，．在边上求作一点D，使是以为底边的等腰三角形．以下是一些小组讨论后的解决方案：小组一：如图2，分别以A，B为圆心，大于为半径画弧，交于点E，F，连结交于点D，连结，则即以为底边的等腰三角形，点D为符合要求的点；小组二：若是以为底边的等腰三角形，且，那么，只需过点B作．老师在听取了两个小组的解决方案后，提出以下问题进一步思考：

(1)小组一的解决方案中，作图的依据是______；

(2)请用没有刻度的直尺和圆规，按小组二提出的方案作出符合要求的点D．（保留作图痕迹并写出结论）

21．如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪，制作成一个无盖的长方体盒子，其中四个小正方形的边长是，中间长方形的长是，宽是，且．

(1)观察图形，通过计算长方形纸板得面积可以发现代数式可以因式分解，请直接写出因式分解的结果：______；

(2)若折成的无盖长方体的四个侧面的面积和是16，图中所有裁剪线（虚线部分）长之和是40，试求和的值．

22．奶枣是当下网红食品之一．某商家用6000元购进若干袋奶枣，很快售完，该店又用9600元钱购进第二批这种奶枣，所进的数量是第一批1.5倍，每袋奶枣的进价比第一批每袋奶枣的进价多2元，求购进的第一批奶枣有多少袋？

23．在Rt中，，，是的角平分线，于点．

(1)如图1，连接，若，则______；

(2)如图2，点是线段延长线上的一点(不与点重合)，以为一边，在的下方作，交延长线于点．在边上取一点，使，求证：；

(3)在（2）的条件下，请你写出，与之间的数量关系，并证明你的结论．

参考答案：

1．D

【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．

【详解】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；

B、不是轴对称图形，故不符合题意；

C、不是轴对称图形，故不符合题意；

D、是轴对称图形，故符合题意．

故选D．

【点睛】本题考查了轴对称图形的概念（平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形），灵活运用所学知识进行判断是解决本题的关键．

2．C

【分析】根据同底数幂的运算法则即可求解．

【详解】=

故选C．

【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知同底数幂的运算法则．

3．A

【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．

【详解】解：A．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；

B．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；

C．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；

D．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；

故选：A．

【点睛】本题考查了因式分解的定义，注意：把一元多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．

4．C

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．

【详解】解：把分式中的x和y都扩大2倍得：

所以分式的值不变，

故选：C．

【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

5．D

【分析】图1：四个全等的四边形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积；图2：四个全等的四边形的面积等于平行四边形的面积，由此即可得．

【详解】解：图1：四个全等的四边形的面积为，

图2：四个全等的四边形的面积为，

则可以验证的乘法公式是，

故选：D．

【点睛】本题考查了平方差公式与几何图形，正确找出图形之间的面积关系是解题关键．

6．D

【分析】证明，得到，，即可解得．

【详解】∵，

，

∴，

∴

又∵

∴

∴，

∵，

∴，

故选 ：D．

【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是证明三角形全等．

7．A

【分析】根据多项式的乘法和完全平方公式，对各选项计算后利用排除法求解．

【详解】解：A、，选项正确，符合题意；

B、应为，选项错误，不符合题意；

C、应为，选项错误，不符合题意；

D、应为，选项错误，不符合题意；

故选：A

【点睛】此题考查了完全平方公式和平方差公式，熟记公式是解题关键．

8．A

【分析】根据分式的加减运算即可求出答案．

【详解】解：原式

=1

故选：A

【点睛】此题考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则是解题关键．

9．D

【分析】设小军骑车的速度为x千米/分钟，则校车速度是2x千米/分钟，根据“小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发”列出方程．

【详解】解：设小军骑车的速度为x千米/分钟，则校车速度是2x千米/分钟，则

 ．

故选D．

【点睛】本题考查的是分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键．

10．C

【分析】如图，过点D作，交延长线与点E，作于点，根据垂直平分线，角平分线的性质求出，进而可得到相等的角，根据四边形的内角和可求出答案．

【详解】解：如图，过点D作，交延长线与点E，作于点，

∵是的平分线，，，

∴，

∵是的垂直平分线，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

即，

∵四边形的内角和为360°，，，

∴，

∴，

故选：C．

【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，四边形的内角和，全等三角形得的判定，能够熟练掌握全等三角形的判定．

11．

【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．

【详解】解：纳米．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定，确定与的值是解题的关键．

12．

【分析】利用分式有意义的条件可得．

【详解】解：由题意得：，

解得．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零．

13．

【分析】根据零指数幂和负整数指数幂分别化简，再相加.

【详解】解：

故答案为：．

【点睛】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂运算法则．

14．1

【分析】先化简再将分子等于0计算即可．

【详解】解：

使分式的值为0，则且

故答案为：1

【点睛】此题考查分式化简求值，掌握分式值为零的条件是题关键．

15．4

【分析】根据图形可知三角形的面积等于三角形的面积加上三角形的面积，根据面积公式变形计算即可．

【详解】解：∵，

又∵，

，

∴，

∵，

，

，

故答案为：4．

【点睛】本题考查三角形的面积公式，三角形的高，能够熟练掌握割补法求面积是解决本题的关键．

16．（1）①；②

（2）①；②

【分析】（1）①先计算乘方，同底数幂的除法，再根据整式的加减运算即可；②根据平方差公式和完全平方公式计算即可；

（2）①先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；②先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可．

【详解】解：（1）①原式．

②原式．

（2）①原式

②原式

【点睛】本题考查了整式的混合运算，综合提公因式和公式法分解因式，熟练掌握运算法则和平方差公式和完全平方公式是解题的关键．

17．化简结果： 当时，原式=

【分析】先把分式中能分解因式的先分解因式，把除法转化为乘法，约分后代入求值即可．

【详解】解：

当时，上式

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，注意代入时一定要注意使原分式有意义，掌握以上的知识是解题的关键．

18．(1)①

(2)如：去分母时，每项都乘以最简公分母，不能漏乘；去分母时，若分子是多项式，去掉分数线后以小括号代替，表示整体等（答案合理即可）

(3)见解析

【分析】（1）出现错误的步骤为第一步，原因是各项都要乘以最简公分母；

（2）解分式方程的方法写出注意事项即可；

（3）写出正确解题过程即可．

【详解】（1）解：去分母时，每项都乘以最简公分母，小明在第①步出现了错误，

故答案为：①；

（2）解：如：去分母时，每项都乘以最简公分母，不能漏乘；

去分母时，若分子是多项式，去掉分数线后以小括号代替，表示整体等（答案合理即可）

（3）解：方程两边同时乘以，

得，

．

检验：当时，，

∴原方程的解是．

【点睛】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．

19．(1)绘图见解析，

(2)

【分析】（1）根据轴对称图形的性质作图并求解即可；

（2）作关于轴的对称点，得，连接，当刚好为与轴交点时的值最小，设解析式为，将，代入解析式求得解析式为，当时，即可得出点坐标为．

【详解】（1）解：如图为所求作的图形，点的坐标为

（2）解：作关于轴的对称点，得，连接

当刚好为与轴交点时的值最小

，

设解析式为

将，代入解析式得：

得

解析式为

当时

点坐标为

【点睛】此题考查了作图-轴对称图形，求一次函数解析式，最短距离的求法，掌握轴对称图形的性质是解题关键．

20．(1)线段垂直平分线的性质（或线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等）

(2)见解析

【分析】（1）小组一作图依据为：线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等；

（2）利用尺规作交于点，点D为符合要求的点．

【详解】（1）解：由题意可知，小组一的解决方案中，作图的依据是：

线段垂直平分线的性质（或线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等）

（2）解：如图

点D为符合要求的点

【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质、作图-基本作图，解题关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图．

21．(1)

(2)，

【分析】（1）根据图中面积关系，大长方形纸板的面积等于四个小正方形的面积加上五个长方形的面积，据此可解；

（2）根据题意可得，，解得，，再进行因式分解求解即可．

【详解】（1）解：

故答案为：；

（2）解：若长方体的侧面积之和是16，虚线和是40，

则，．

解得，．

，

．

【点睛】本题考查了因式分解在几何图形中的应用，结合图形，熟练掌握运算法则是解题的关键．

22．200

【分析】设购进得第一批奶枣有x袋，根据题意列出方程并解答即可．

【详解】解：设购进得第一批奶枣有x袋，由题意得

解得

经检验：是原方程的解并符合实际意义

故购进的第一批奶枣有200袋

【点睛】此题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解题关键．

23．(1)

(2)见解析

(3)，证明见解析

【分析】（1）根据已知条件证明，得出，继而得出是等边三角形，即可求解；

（2）证明是等边三角形，进而得出，证明 ；

（3）由（2）可知，得出，是等边三角形．则，即可得证．

【详解】（1）解：∵，，

∴，

∵是的角平分线，

∴，

又∵，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴是等边三角形，

∴；

（2）证明：∵，，

∴，

又∵，

∴是等边三角形．

∴，

∴，．

∴．

在和中，

∴ ；

（3），

由（2）可知，则．

∴   

∵是等边三角形．则，

∴．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键．