2021-2022学年湖北省十堰市郧阳中学高一下学期5月月考数学试题（解析版）

2021-2022学年湖北省十堰市郧阳中学高一下学期5月月考数学试题

一、单选题

1．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用三角函数和差公式即可.

【详解】

；

故选：B.

2．在中，角A，B，C所对的边分别是，，，，，，则（    ）

A．或 B．

C． D．

【答案】C

【分析】将已知代入正弦定理可得，根据，由三角形中大边对大角可得，即可求得.

【详解】，，

由正弦定理得：

，，

故选C.

3．在中，若其面积为S，且=2S，则角的大小为（    ）

A．30° B．60° C．120° D．150°

【答案】A

【分析】根据=2S，利用向量的数量积和三角形的面积公式求解.

【详解】解：因为=2S，

所以，

所以，

因为，

所以，

故选：A

4．若为的边的中点，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由向量加法法则求解即可.

【详解】解：因为为的边的中点，

所以，根据向量加法法则得，

所以.

故选：B

5．已知向量，向量，若，则（    ）

A．-2016 B．-1008 C．-998 D．-504

【答案】D

【分析】根据代入计算．

【详解】∵则

故选：D．

6．已知z=x+yi，x，y∈R，i是虚数单位.若复数+i是实数，则|z|的最小值为（    ）

A．0 B． C．5 D．

【答案】D

【分析】利用复数的运算法则和复数为实数的充要条件可得x=y+2，再利用复数模的计算公式和二次函数的单调性即可得出.

【详解】解：∵复数是实数

故

当且仅当时取等号

的最小值为

故选：D

7．对24小时内降水在平地上单位面积的积水厚度（mm）进行如下规定：

小明用一个圆台形容器（如图）接了24小时雨水，则这天的降雨属于哪个等级（   ）

A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨

【答案】B

【分析】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，计算出圆台的体积可得答案.

【详解】由题意知降雨量是雨水的体积除以容器口面积，

因为圆台形容器中水的高度为圆台形容器高度的一半，

且下底面半径是40mm，上底面半径是80mm，

可得圆台中雨水的上底面半径是mm，

所以雨水的厚度为

mm，是中雨，

故选：B．

8．在常压下，六氟化硫是一种无色、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途．六氟化硫分子结构为正八面体结构，如图所示．若此正八面体的内切球的半径为2，则它的棱长为（    ）

A． B．3 C． D．

【答案】C

【分析】设棱长为，利用等体积法求解即可.

【详解】设棱长为，则，

解得，

故选：C

二、多选题

9．下列各式中，值为的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】A二倍角余弦公式化简求值；B和角正切公式化简求值；C诱导公式、二倍角正弦公式化简求值；D辅助角公式化简即可.

【详解】A：，符合；

B：，符合；

C：，符合；

D：，不符合.

故选：ABC

10．已知向量，，则下列叙述中，正确的是（    ）.

A．， B．，

C．､，使 D．､，使

【答案】BC

【分析】根据向量共线和向量的垂直的坐标运算，列出方程，逐项判定，即可求解.

【详解】由题意，向量，，

若，可得，此时方程无解，所以不存在，使得，所以A不正确；

由，所以，所以B正确；

由，可得，可得，所以C正确；

因为，

若，可得，可得，此时方程无解，所以D不正确.

故选：BC.

11．在中，角，，所对的边分别为，，，已知，则下列结论正确的是（    ）

A．

B．

C．若，则的面积是15

D．若，则外接圆半径是

【答案】AD

【分析】根据题意可设，进而有，利用正弦定理、平面向量的数量积和余弦定理、三角形面积公式化简计算依次判断选项即可.

【详解】依题意，设，所以，

A：由正弦定理得：，故选项A正确；

B：，

所以，故选项B错误；

C：若，则，所以，所以，

所以，故的面积是：，

故选项C错误；

D：若，则，所以，所以，

所以，则利用正弦定理得：的外接圆半径是：，

故选项D正确.   

故选：AD

12．在通用技术课上，某小组将一个直三棱柱展开，得到的平面图如图所示.其中，，，M是BB1上的点，则（    ）

A．AM与A1C1是异面直线 B．

C．平面AB1C将三棱柱截成两个四面体 D．的最小值是

【答案】ABD

【分析】根据展开图还原直三棱柱，根据其结构特征及线面垂直的性质判断A、B、C，将面和面展开展开为一个平面，利用三点共线求的最小值.

【详解】由题设，可得如下直三棱柱：

由直三棱柱的结构特征知：AM与A1C1是异面直线，A正确；

因为，，且，则面，又面，故，B正确；

由图知：面AB1C将三棱柱截成四棱锥和三棱锥，一个五面体和一个四面体，C错误：

将面和面展开展开为一个平面，如下图：

当共线时，最小为，D正确.

故选：ABD

三、填空题

13．方程在复数范围内的根为______．

【答案】

【分析】本题可以用配方法可得：，再两边同时开方得结果，注意到．

【详解】∵即

∴即

故答案为；．

14．已知向量，O为坐标原点，若点C在函数的图象上，实数的值是_________．

【答案】2

【分析】先求出点C的坐标，代入函数解析式，即可求解.

【详解】因为，

所以，即.

所以，所以.

故答案为：2

15．若为偶函数，则__________.

【答案】

【分析】化简，只要就为偶函数，结合，即可求出答案.

【详解】，

只要就为偶函数，

，

又，故.

故答案为：.

16．如图所示，在中，已知，为边上的一点，且满足，，则______

【答案】

【分析】令，根据，结合，由，求得，再由，求得角D，然后在中，利用正弦定理求解.

【详解】令，因为，

所以，

所以，

，

，

在中，由正弦定理得，

解得.

故答案为：

四、解答题

17．已知复数．

（1）若复数与在复平面上所对应的点关于虚轴对称，求；

（2）若实数a，b满足，求的共轭复数．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）先化简得，再根据复数与在复平面上所对应的点关于虚轴对称即可求得；

（2）由得，根据复数相等的概念求出的值即得解.

【详解】由已知得复数

（1）因为复数与在复平面上所对应的点关于虚轴对称，

则它们实部互为相反数，虚部相等，

所以．

（2）因为，

所以，

整理得，

因为，所以，且，

解得，，所以复数.

所以的共轭复数为.

【点睛】本题主要考查复数的运算和共轭复数的概念，考查复数相等的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

18．某公园有三个警卫室A､B､C，互相之间均有直道相连，千米，千米，千米，保安甲沿CB从警卫室C出发前往警卫室B，同时保安乙沿BA从警卫室B出发前往警卫室A，甲的速度为2千米/小时，乙的速度为1千米/小时.

(1)保安甲从C出发1.5小时后达点D，若，求实数x､y的值；

(2)若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过2千米，试问有多长时间两人不能通话？

【答案】(1)

(2)两人约有小时不能通话

【分析】（1）先根据勾股定理确定这是一个直角三角形，然后可以建立平面直角坐标系，写出各点的坐标，根据坐标运算可以计算出实数x､y的值；（2）表示出点的坐标之后可以把坐标表示，立出不等式解不等式即可.

【详解】（1）因为，所以，

因此建立如图所示的平面直角坐标系，

，

设保安甲从C出发小时后达点D，所以有，

设，由，

即，当时，，

由

；

（2）设保安乙从B出发小时后达点E，所以点E的坐标为，

于是有，

因为对讲机在公园内的最大通话距离超过2千米，两人不能通话，

所以有，所以

解之：或，又

所以两人约有小时不能通话.

19．已知函数，

（1）设，求函数的值域；

（2）在中，角所对应的边为.若，的面积为.求的值.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】（1）根据条件选代入然后运用诱导公式、二倍角公式、辅助角公式化简再求值域；

（2）先求，再由面积得，最后根据分类讨论求解即可.

【详解】（1）

  ，

所以，函数的值域为．

（2）由 ， 或，

得.

①若，则，，

；

②若，则，，

    ，

综上，或.

20．如图所示，在四棱锥中，是上的一点，，平面平面，，是等边三角形，已知，.

(1)求证：平面；

(2)求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）作辅助线，证明，根据线面平行的判定定理即可证明结论；

（2）证明，从而证明，根据线面角的定义结合三角函数，即可求得答案.

【详解】（1）连接AC交BD于点E，连接ME,

由得 ,则 ,

而得，

得，平面BDM, 平面BDM,

 所以PA∥平面BDM.

（2）由题意可知， ,

则，故 ,

又因为平面平面，平面平面，

可得平面，则，

且为直线BP与平面PAD所成的角，

而是等边三角形，故，又 ，,

.

21．如图，直三棱柱中，，点在以线段为直径的圆上运动（异于点、），为矩形的中心．

(1)证明：平面平面；

(2)当三棱柱体积最大时，求异面直线与所成的角的大小．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）证明出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；

（2）连接，则为的中点，连接、，分析可知或其补角就是异面直线与所成的角，利用基本不等式求出面积的最大值，确定点的位置，求出三边边长，利用勾股定理可求得结果.

【详解】（1）证明：在直三棱柱中，平面，

因为平面，所以．

又是圆的直径，所以．

因为，所以平面．

又平面，所以平面平面．

（2）解：连接，则为的中点，连接、．

因为是的中点，所以．

所以或其补角就是异面直线与所成的角．

因为直三棱柱的体积，

所以当最大时，最大，

，，，

所以，，当且仅当时，等号成立，

此时在弧的中点，所以，

所以，所以．

由已知平面，、平面，所以，，，

因为，，所以平面．

因为，所以平面．

因为平面，所以，所以．

因为，所以．

又因为，所以，

所以，即异面直线与的所成的角为．

22．已知函数．

(1)当时，求的值域；

(2)当，时，设，且关于直线对称，当时，方程恰有两个不等的实根，求实数的取值范围；

(3)当，，时，若实数，，使得对任意实数恒成立，求的值．

【答案】(1)；

(2)；

(3).

【分析】（1）令，应用辅助角公式及正弦函数性质求t的范围，再由与关系得到，代入原函数结合二次函数性质求值域即可.

（2）由题设有求得，进而可得，把问题转化为在上有两个不等实根求参数范围.

（3）由题设等量关系恒成立有，讨论结合方程组确定它们的值，即可求目标式的值.

【详解】（1）由题设，，

令，则，

所以，故值域为.

（2）由题设，，又关于对称，

∴，

∴，令，

题设问题转化为在上有两个不等实根，即，解得.

（3）当，，时，则，

于是化为，

即，

所以.

由已知条件，上式对任意恒成立，必有，

若，由（1）知：，不满足（3）式，故，

由（2）知：，故或，

当时，则（1）、（3）矛盾，故，则，

由（1）、（3）知：，

综上，.

【点睛】关键点点睛：

（1）应用换元法，结合与关系将问题化为求二次函数的值域；

（2）由正弦函数的性质及其对称轴有求参数b，进而求的解析式，再将问题化为求在给定区间上有两个不同实根.

（3）根据等量关系恒成立得到三个方程同时成立，讨论参数取值判断方程能否同时成立即可.