2021-2022学年江苏省江浦高级中学高一下学期期中数学试题（解析版）

2021-2022学年江苏省江浦高级中学高一下学期期中数学试题

一、单选题

1．的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式及两角差的正弦公式计算可得；

【详解】解：

故选：B

2．设，则=

A．2 B． C． D．1

【答案】C

【分析】先由复数的除法运算（分母实数化），求得，再求．

【详解】因为，所以，所以，故选C．

【点睛】本题主要考查复数的乘法运算，复数模的计算．本题也可以运用复数模的运算性质直接求解．

3．已知，，，则（       ）

A．－1 B．1 C．3 D．－3

【答案】D

【分析】首先求出，再根据得到，根据向量数量积的坐标表示得到方程，解得即可；

【详解】解：因为，，

所以，

因为，

所以，解得；

故选：D

4．在中，，，则（       ）

A．30° B．60° C．60°或120° D．120°

【答案】C

【分析】利用正弦定理求得，结合大边对大角，得到的范围，进而求得.

【详解】∵，，，

∴根据正弦定理，得：

，

又，得到，即，

则或．

故选：C

5．已知，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】本题可令，则，，然后根据诱导公式以及二倍角公式即可得出结果.

【详解】令，则，，

故，

故选：A.

6．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据北京的地理位置设计的圭表的示意图，已知北京冬至正午太阳高度角（即）为，夏至正午太阳高度角（即）为，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a，则表高（即AC的长）为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】先求，在中利用正弦定理求，在中即可求.

【详解】，

在中由正弦定理得：，即，

所以，

又因为在中，，

所以,

故选：D

【点睛】本题主要考查了解三角形应用举例，考查了正弦定理，属于中档题.

7．若函数是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，，若函数（）在区间恰有3个不同的零点，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C．（3,5］ D．（1,5]

【答案】C

【分析】求得当时，函数，根据，得到函数的周期为2，把函数在区间恰有3个不同的零点，转化为即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，结合对数函数的性质，即可求解.

【详解】由题意，函数是定义在上的偶函数，当时，，

则当时，则，函数，

又由对任意，都有，则，即周期为2，

又由函数（）在区间恰有3个不同的零点，

即函数与的图象在区间上有3个不同的交点，

又由，

则满足且，解得，

即实数的取值范围是.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据函数的奇偶性得到函数的解析式，以及求得函数的周期，再集合两个函数的图象的性质列出不等式是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

二、多选题

8．随着互联网的发展，网上购物几乎成为了人们日常生活中不可或缺的一部分，这也使得快递行业市场规模呈现出爆发式的增长.渝北区的陈先生计划在家所在的小区内开一家菜鸟驿站，为了确定驿站规模的大小，他统计了隔壁小区的菜鸟驿站和小兵驿站一周的日收件量（单位：件），得到折线图如下，则下列说法正确的是（       ）

A．菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于小兵驿站一周的日收件量的极差

B．菜鸟驿站星期三的日收件量小于小兵驿站星期六的日收件量

C．菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值

D．菜鸟驿站和小兵驿站的日收件量的方差分别记为、，则

【答案】ABC

【分析】利用极差的定义可判断A选项；利用折线图可判断B选项；利用平均数公式可判断C选项；利用方差公式可判断D选项.

【详解】对于A选项，菜鸟驿站一周的日收件量的极差为，

小兵驿站一周的日收件量的极差为，

所以，菜鸟驿站一周的日收件量的极差小于小兵驿站一周的日收件量的极差，A对；

对于B选项，菜鸟驿站星期三的日收件量为，小兵驿站星期六的日收件量为，

所以，菜鸟驿站星期三的日收件量小于小兵驿站星期六的日收件量，B对；

对于C选项，菜鸟驿站日收件量的平均值为，

小兵驿站的日收件量的平均值为，

所以，菜鸟驿站日收件量的平均值大于小兵驿站的日收件量的平均值，C对；

对于D选项，

，

，所以，，D错.

故选：ABC.

9．设复数z在复平面内对应的点为Z，原点为O，i为虚数单位，则下列说法正确的是（       ）

A．若，则或

B．若，则z的虚部为－2i

C．若点Z的坐标为，则对应的点在第三象限

D．若，则点Z的集合所构成的图形的面积为

【答案】CD

【分析】对于A，举例判断即可，对于B，直接求解即可，对于C，由已知直接判断，对于D，根据复数的几何意义求解即可

【详解】对于A，若，则，所以A错误，

对于B，由于，所以z的虚部为－2，所以B错误，

对于C，由于点Z的坐标为，所以，故，其对应的点的坐标为，所以C正确，

对于D，设，则，因为，所以，所以点Z的集合所构成的图形的面积为，所以D正确，

故选：CD

10．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是（       ）

A．若，则

B．若，，，则为钝角三角形

C．若，则一定是等腰三角形

D．若，，，则符合条件的三角形不存在

【答案】AD

【分析】对于A：利用大角对大边得到，由正弦定理即可证明；

对于B：利用余弦定理求得，得到最大角C为锐角，即可判断；

对于C：利用正弦定理和三角变换证明出是等腰或直角三角形，即可判断；

对于D：利用正弦定理求得，判断出B不存在.

【详解】对于A：若，由大角对大边得到.由正弦定理得：得到sinA>sinB.故A正确.

对于B：根据，可得，所以最大角C为锐角，故为锐角三角形.故B错误；

对于C：若，则sinA cosA= sinBcosB，可得sin 2A= sin 2B所以2A=2B或，所以是等腰或直角三角形.故C不正确；

对于D:若，，，则，所以这样符合条件的三角形内角B不存在.故D正确.

故选：AD

11．若不共线向量、满足，则下列结论中正确的是（       ）

A．向量、的夹角恒为锐角 B．

C． D．

【答案】AC

【分析】根据向量的减法及等腰三角形可判断A，根据数量积的定义及运算律，结合等腰三角形的性质可判断BCD.

【详解】对于A，因为不共线向量、满足，所以由向量组成的三角形是等腰三角形，且向量是底边，所以向量，的夹角恒为锐角，A正确；

对于B，，所以B不正确；

对于C，，

即，故，

又

故C正确；

对于D，若，类似C中，平方后化简可得，

所以有，即，而不一定成立，例如，所以D不正确．

故选：AC

12．在锐角中，角、、所对的边分别为、、，已知，且，则（ ）．

A．

B．角的取值范围是

C．的取值范围是

D．的取值范围是

【答案】ACD

【分析】利用正弦定理以及二倍角的正弦公式可判断A选项的正误；利用三角形的内角和定理以及已知条件求出角的取值范围，可判断B选项的正误；利用余弦函数的基本性质可判断C选项的正误；利用二倍角的正弦公式可判断D选项的正误.

【详解】因为，所以，

，，则，所以或．

因为，所以，所以，则，故A正确；

因为，所以．

因为是锐角三角形，所以，即，解得，

所以，则，故B错误，D正确；

因为，所以，所以，则C正确．

故选：ACD.

三、填空题

13．设一组样本数据，，，的方差为0.01，则数据，，，的方差为______．

【答案】1

【分析】根据新数据与原数据关系确定方差关系，即得结果.

【详解】根据题意，一组样本数据，，，的方差，

则数据，，，的方差为；

故答案为：.

14．已知是单位向量，与的夹角是，且，则______．

【答案】2

【分析】把的两边同时平方，化简即得.

【详解】∵是单位向量，与的夹角是，

由，得，

所以

∴或（舍去）.

故答案为：2.

15．在菱形中，，，为菱形所在平面内的一点，则的最小值为______．

【答案】

【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，设，利用平面向量的坐标运算可得，由此可得结果.

【详解】以为坐标原点，可建立如图所示平面直角坐标系，

则，，，，设，

则，，，，

，，

；

，，，

的最小值为.

故答案为：.

16．已知函数.当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是_________.

【答案】

【分析】由题得或，等价于有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解，再分类讨论和数形结合分析得解.

【详解】解：等价于，

解得或，                                                       

因为，所以，，        

如图，绘出函数的图象，

方程有三个不同的实数根

等价于有一个实数解且有两个不同的实数解

或有两个不同的实数解且有一个实数解，        

①当或时，无解，不符合题意；

②当时，则，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意；     

③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意；

④当时，则，有一个实数解，至多有一个实数解，不符合题意，                                                                                  

综上，m的取值范围为.

故答案为：[-1,0]

四、解答题

17．若复数，当实数为何值时

（1）是实数；

（2）是纯虚数；

（3）对应的点在第二象限.

【答案】(1)m=2或m=-1   (2)m=-3   (3)m范围

【分析】（1）根据复数的分类条件可求出的值;

（2）根据纯虚数的条件可得出结果;

（3）利用复数的几何意义,转化为的不等式,即可求的取值范围.

【详解】（1）当是实数时,,解得或,

所求的值为或;

（2）当是纯虚数时,,解得,

所求的值为;

（3）当对应的点在第二象限时,

,解得,

实数的取值范围是.

【点睛】本题考查复数的分类,以及复数的几何意义,考查等价转化,数形结合思想,属于基本题.

18．在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知．

(1)求角B的大小；

(2)，求周长的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用正弦定理进行边化角，再结合两角和差公式化简整理得；

(2)已知角，利用整理得,再结合不等式求解得取值范围．

【详解】(1)解：∵，由正弦定理可得：

∴，

∵

∴即．

(2)根据（1）中所求：，且，

由可得：

又∵，即，可得：，

当且仅当时取得等号，

又∵即

∴

周长的取值范围为．

19．南京市某报社发起过建党周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图：

(1)求频率分布直方图中的值；

(2)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数；

(3)根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和百分位数（结果保留一位小数）．

【答案】(1)

(2)人

(3)，第百分位数为

【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得结果；

（2）根据年龄在的人数对应频率和分层抽样原则直接计算即可；

（3）利用频率分布直方图估计平均数的方法可直接计算得到；设第百分位数为，由百分位数的估计方法可直接构造方程求得结果.

【详解】(1)，.

(2)应从选出参加座谈会的人数为：人.

(3)由题意得：；

假设第百分位数为，则，

解得：，即第百分位数为.

20．如图，在边长为4的正△ABC中，E为AB的中点，D为BC中点，，令，，

(1)试用、表示向量；

(2)延长线段EF交AC于P，求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用三角形法则及向量的线性运算即可求解；

（2）利用向量的线性运算可知，再利用向量的数量积即可求解.

【详解】(1)

(2)设，

由于与共线，则，即，

即，则，解得，即，

所以

21．如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛与小岛、小岛相距都为，与小岛相距为.为钝角，且.

（1）求小岛与小岛之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；

（2）记为，为，求的值.

【答案】（1）2，18平方（2）

【分析】（1）由同角的平方关系，求出，在中结合余弦定理即可求出结果；

（2）在中结合正弦定理求得，然后根据同角的平方关系求出，再由平面几何图形以及诱导公式求出和，然后利用两角和的正弦公式即可求出结果.

【详解】（1）因为，且角为钝角，所以.

在中，由余弦定理得，，

所以，即，

解得或（舍），

所以小岛与小岛之间的距离为.

∵，，，四点共圆，∴角与角互补，

∴，，

在中，由余弦定理得：，

∴，

∴.

解得（舍）或.

∴

.

∴四个小岛所形成的四边形的面积为18平方.

（2）在中，由正弦定理，，即，

解得

又因为，

所以，且为锐角，所以为锐角，

所以，又因为，，

 所以.

22．已知平面向量，，函数，．

(1)若k＝1，求方程的实数解；

(2)若在上有两个零点，求实数k的取值范围，并证明：．

【答案】(1)x＝－1

(2)；证明见解析.

【分析】（1）先求出，再由当时，，得，然后分或和两种情况解方程即可，

（2）当时，由于函数有两个零点，可判断出，然后分别由，可求出实数k的取值范围，由以及，消去，可证得结论

【详解】(1)，，

若k＝1，则，得方程

当或时，解方程得或（舍）

当时，解方程x＋1＝0得x＝－1（舍）

综上所述，x＝－1；

(2)当时，

当时，是单调函数，至多只有一个零点；

当时，假设有两个零点，则，出现矛盾；

因此必有；

由，得，所以；

由，得，

显然函数在上递减，故；

故实数k的取值范围是；

又由以及，消去k，整理得，

即，由于，故．