2022-2023学年安徽省马鞍山市当涂第一中学高一上学期11月第一次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年安徽省马鞍山市当涂第一中学高一上学期11月第一次月考数学试题

一、单选题

1．若a，b，c，d为集合A的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是（    ）

A．菱形 B．平行四边形 C．梯形 D．正方形

【答案】C

【分析】利用集合中元素的特征和特殊四边形的性质判断即可.

【详解】因为，，，为集合的四个元素，所以两两都不相等，因为菱形、正方形的四边相等，所以AD错；平行四边形的对边相等，所以B错.

故选：C.

2．下列集合中表示同一集合的是（    ）

A．M＝{(3， 2)}，N＝{(2， 3)}

B．M＝{4， 5}，N＝{5， 4}

C．M＝{(x， y)|x＋y＝1}，N＝{ y|x＋y＝1}

D．M＝{1， 2}，N＝{(1， 2)}

【答案】B

【分析】根据同一集合的概念逐一判断即可．

【详解】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样：

、(3， 2)和(2， 3)是不同元素，故错误；

、根据集合元素具有无序性，则M＝N，故正确；

、因为M中的元素是有序实数对，而N中的元素是实数，故错误；

、因M中有两个元素即：，；而N有一个元素是(1， 2)，故错误．

故选：B．

3．函数的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】直接求解函数的定义域即可.

【详解】解：要使函数有意义，则，解得且，

所以，函数的定义域是

故选：B

4．若实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】特殊值法判断A、C、D，利用不等式性质判断B.

【详解】A：时不成立，错误；

B：且，则，正确；

C、D：时、不成立，错误；

故选：B

5．已知函数，若，则（    ）

A．1或 B．或 C．或5 D．1或5

【答案】A

【分析】分类讨论求分段函数对应函数值的自变量值即可.

【详解】当时，得：；

当时，得：；

综上，或.

故选：A

6．的值域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先求得的范围，再由单调性求值域．

【详解】解：因为，所以，，即函数的定义域为，

又在时单调递增，

所以当时，函数取得最大值为，所以值域是，

故选：D.

7．若都是正数，则的最小值为（    ）

A．16 B．17 C．18 D．19

【答案】C

【分析】将式子展开后利用基本不等式即可求解.

【详解】因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为18.

故选：C.

8．已知是定义在上的函数，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据不等式构造函数，进而可以判断构造函数的单调性，结合二次函数的性质进行求解即可.

【详解】因为，所以由

，

构造函数，由，

因为，所以函数是上的增函数，

当时，函数是上的增函数，符合题意；

当时，函数的对称轴为：，

当时，显然函数是上的增函数，符合题意；

当时，要想函数是上的增函数，只需，而，所以，

综上所述：实数a的取值范围是，

故选：C

【点睛】关键点睛：由构造新函数是解题的关键.

二、多选题

9．中文“函数”一词，最早是由近代数学家李善兰翻译的，之所以这么翻译，他给出的原因是“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”，也即函数指一个量随着另一个量的变化而变化，下列选项中是同一个函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】CD

【分析】定义域、对应法则相同的函数为同一函数即可判断各选项函数是否为同一函数

【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；

对于B，的定义域为，解得，

的定义域为，解得或，故定义域不相同，不是同一函数；

对于C，因为与的定义域、解析式相同，故为同一函数，

对于D，因为与的定义域、解析式相同，故为同一函数，

故选：CD

10．设，若，则实数的可能值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】先求得，根据，结合子集关系运算求解，注意空集的情况.

【详解】

∵，则

若，则

若，则，即

若，则，即

故选：ABD.

11．已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】分析可知，结合韦达定理可判断各选项的正误.

【详解】因为不等式的解集为，则，

且关于的一元二次方程的两根分别为、，

由韦达定理可得，，

则，，，ABC对，D错.

故选：ABC.

12．德国者名数学家狄克雷（Dirichlet，1805~1859）在数学领域成就显著.19世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数“，其中R为实数集，Q为有理数集.则关于函数有如下四个命题，正确的为（       ）

A．对恒成立

B．对，都存在，使得

C．若，则

D．存在三个点，使得为等边三角形

【答案】BCD

【分析】根据题中所给的函数的解析式，结合实数的性质逐一判断即可.

【详解】A：当时，显然，而，

，所以不成立，故本选项不正确；

B：当时，，因为有理数加上一个有理数得到的和仍是有理数，

所以时，都存在，使得；

当时，，因为一个无理数与一个有理数的和还是无理数，所以当时，都存在，使得，所以本选项正确；

C：当时，，所以此时，，

显然成立；

当时，，所以此时，，

显然成立，因此本选项正确；

D：当三个数都不是有理数时，它们都是无理数，则有，此时三点共线，不构成三角形；

当三个数都是有理数时，此时，因此三点共线，构不成三角形；

当三个数有二个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数，

所以有，

当三角形是等边三角形时，有

，显然，于是有，两个有理数的和不可能是无理数，所以构不成等边三角形；

当三个数有一个数是有理数时，不妨设是有理数，则为无理数，

所以有，

当三角形是等边三角形时，有

，显然，于是有，取，设，如下图所示：

，即 ，

所以存在三点，使得为等边三角形，

因此本选项正确，

故选：BCD

【点睛】关键点睛：根据已知函数的解析式，结合无理数和有理数的性质是解题的关键.

三、填空题

13．已知，若函数在上随增大而减小，且图像关于轴对称，则_______

【答案】

【分析】利用幂函数的单调性、奇偶性与参数之间的关系可得出的值.

【详解】若函数在上递减，则.

当时，函数为偶函数，合乎题意；

当时，函数为奇函数，不合乎题意.

综上所述，.

故答案为：.

14．已知,，则,的大小关系是 _____．

【答案】

【分析】利用作差法直接比较大小.

【详解】解：因为,

所以

所以.

故答案为：.

15．已知函数的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数的说法：

①；

②；

③；

④，不等式的解集为.

其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号)

【答案】①③

【解析】根据图象，可求得的值，即可判断①的正误；根据图中数据及在上的单调性，可判断②的正误；分别讨论和两种情况，求得解析式，检验即可判断③的正误；根据不等式解集，即求的根，根据解析式，即可判断④的正误，即可得答案.

【详解】对于①：由图象可得：，所以，故①正确；

对于②：，且在上为单调递增函数，所以，

所以，故②错误；

对于③：当时，，，满足图象；

当时，，，斜率，满足图象，故③正确；

对于④：由题意得的解集为，即的根为，

根据解析式可得，当时，令，解得，所以解集为，故④错误.

故答案为：①③

16．已知函数的定义域，对任意的，，都有，若在上单调递减，且对任意的，恒成立，则的取值范围是______．

【答案】

【分析】解法一：先求出的最大值为3，将原问题转化为恒成立，再根据已知条件推出且是偶函数，故原问题可转化为恒成立，最后根据的单调性脱去“”，解不等式求出的取值范围．

解法二：先求出的最大值为3，将原问题转化为恒成立，根据已知条件构造符合条件的一个函数，由解不等式即可．

【详解】解法一：令，

易知在上单调递减，所以，

所以．在中，

令，得，令，

得，令，，

得，又的定义域，

所以是偶函数．

因为在上单调递减，且，

所以由，得，得，

解得或，故的取值范围是．

解法二：令，

易知在上单调递减，所以，

所以．根据的定义域，

对任意的，，都有，

且在上单调递减，可设，

则由，得，得，

解得或，

故答案为：．

【点睛】（1）会转化，即会将原不等式进行转化；

（2）会观察，即能通过观察，利用特值法得到函数的奇偶性；

（3）结合函数的单调性脱去“”，建立关于的不等式．

四、解答题

17．设，，，．

(1)求、的值及、；

(2)求.

【答案】(1)，，，

(2)

【分析】（1）分析可知，，可求得、的值，即可求得集合、；

（2）利用并集和交集的定义可求得集合.

【详解】（1）解：由题意可得，，则，解得，

所以，，，

则，满足题意.

综上所述，，，，.

（2）解：由（1）可知，因此，.

18．已知函数.

（1）求，的值；

（2）若，求的值.

【答案】（1），；（2），或

【解析】（1）直接代入求值即可；

（2）令，解出即可.

【详解】解：（1），

，

；

（2）令，

即，

解得：，或.

19．已知，且 ，，且或.

(1)若，，求实数的值；

(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)或.

【分析】（1）根据集合的运算可得出关于实数的等式组，由此可解得实数的值；

（2）由题意可知，可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.

【详解】（1）解：因为，或，且，，

所以， ，解得.

（2）解：因为是的充分不必要条件，则，则或，解得或.

20．已知函数，且（1）．

(1)求的值；判断并证明的奇偶性；

(2)判断函数在，上是单调递增还是单调递减？并证明；

(3)求在上的值域．

【答案】(1)，奇函数

(2)单调递增，证明见解析

(3)

【分析】（1）将代入函数解析式，求解即得，利用奇函数的定义判断并证明即可；

（2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；

（3）利用函数的单调性即求．

【详解】（1）根据题意，函数，且（1），

则(1)，解得；

由得，其定义域为，关于原点对称，

又由，

所以是奇函数；

（2）在上是单调递增函数．

证明如下：设，则

，

因为，

所以，，

则，即，

所以在上是单调递增函数．

（3）由上知：在上单调递增，

，

 ，

的值域为．

21．已知二次函数f（x）的最小值为1，且f（0）＝f（2）＝3．

（1）求f（x）的解析式；

（2）若f（x）在区间[2a，a+1]上不单调，求实数a的取值范围；

（3）在区间[﹣1，1]上，y＝f（x）的图象恒在y＝2x+2m+1的图象上方，试确定实数m的取值范围．

【答案】（1）；（2）；（3）.

【分析】（1）根据题意，设，根据，求得，即可得到函数的解析式；

（2）由函数在区间上不单调，利用二次函数的性质，得到，即可求解；

（3）把区间上，的图象恒在的图象上方，转化为不等式在区间上恒成立，令，结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】（1）由题意，函数是二次函数，且，可得函数对称轴为，

又由最小值为1，可设，

又，即，解得，

所以函数的解析式为.

（2）由（1）函数的对称轴为，

要使在区间上不单调，则满足，解得，

即实数的取值范围是.

（3）由在区间上，的图象恒在的图象上方，

可得在区间上恒成立，

化简得在区间上恒成立，

设函数，

则在区间上单调递减

∴在区间上的最小值为，

∴.

【点睛】本题主要考查了二次函数解析式的求解，以及二次函数的图象与性质综合应用，其中解答中熟练应用二次函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.

22．已知均为正实数．

(1)设，，求证：；

(2)若，证明：．

【答案】(1)证明见详解

(2)证明见详解

【分析】（1）运用作差法，然后因式分解，最后证明问题；

（2）根据题意得到，展开化简，然后通过基本不等式证明问题.

【详解】（1）

因为，，

所以，当时等号成立.

所以

（2）

，

当且仅当“”时等号成立，

∴.