2022-2023学年北京市第五十七中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年北京市第五十七中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年北京市第五十七中学高一上学期12月月考数学试题 一、单选题1．设，，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】求得两集合，再利用交集运算得解【详解】故选：C【点睛】利用指数单调性求得集合 ,交集运算口诀“越交越少、公共部分”2．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是．A． B． C． D．【答案】D【详解】选项中，函数是非奇非偶函数，故错误；选项中，函数是偶函数，在上是增函数，在上是减函数，故错误；选项中，函数是非奇非偶函数，故错误；选项中，函数是偶函数，当时，，所以函数在上单调递增，故正确．综上选．3．已知函数，那么的值是（    ）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】利用解析式直接计算即可.【详解】由题意，，∴.故选：C.4．对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐标系内的图象可能是（　　）A． B．C． D．【答案】A【分析】①当0＜a＜1时，对数函数y＝logax为减函数，二次函数开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；②当a＞1时，对数函数y＝logax为增函数，二次函数开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误.【详解】解：由对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）与二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x可知，①当0＜a＜1时，此时a﹣1＜0，对数函数y＝logax为减函数，而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向下，且其对称轴为x＝，故排除C与D；②当a＞1时，此时a﹣1＞0，对数函数y＝logax为增函数，而二次函数y＝（a﹣1）x2﹣x开口向上，且其对称轴为x＝，故B错误，而A符合题意．故选：A．5．已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是A． B． C． D．【答案】C【详解】因为，，所以由根的存在性定理可知：选C.【解析】本小题主要考查函数的零点知识，正确理解零点定义及根的存在性定理是解答好本类题目的关键. 6．已知且，则“”是“”成立的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】，或．化简即可判断出结论．【详解】解：由当时，得，推出，当时，得，推出，则是的充分条件，但当时不一定能推出（比如：，，这时无意义）则是的不必要条件，故选：A.【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．已知函数的最大值为，最小值为，则（    ）A． B． C．5 D．10【答案】B【分析】构造新函数，证明它是奇函数，然后利用奇函数的性质求值．【详解】设，则，∴，是奇函数，又，，∴，．故选：B．8．已知函数，若f(x)在R上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）A．(，1] B．[，] C．(，+∞) D．[1，2]【答案】B【解析】根据函数，f(x)在R上是增函数，则每一段都为增函数，且左侧的函数值不大于右侧的函数值求解.【详解】因为函数，f(x)在R上是增函数，所以，解得，故选：B9．函数在单调递增，且关于对称，若，则的的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函数的对称性可求出函数关于轴对称，再由单调性将转化成不等式求解即可.【详解】解：因为的图像关于直线对称，所以的图像关于轴对称，则有，又在上单调递增，所以由可得，解得，故选：D.10．重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原来的，而太阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失10％，设太阳光原来的紫外线为，通过x块这样的普通玻璃后紫外线为y，则，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃同样的效果，至少通过这样的普通玻璃块数为（    ）（参考数据：）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】由题意得，化简得，两边同时取常用对数得，利用对数的运算性质可得选项.【详解】由题意得，化简得，两边同时取常用对数得，因为，所以，则至少通过11块玻璃.故选：C. 二、填空题11．函数的零点个数是__________．【答案】2【分析】根据，分和时，令即可求解.【详解】当时，由解得，当时，由解得，所以函数的零点个数是2个故答案为：2.12．函数的定义域是__________．【答案】【分析】根据函数表达式,列出不等式组即可解得其定义域.【详解】因为函数,所以解得且，即函数的定义域为.故答案为：.13．已知，则的大小关系是___________________.(用“”连结)【答案】【解析】利用特殊值即可比较大小.【详解】解：，，，故.故答案为：.14．已知函数的图象恒过定点，则定点的坐标为______.【答案】【解析】根据指数函数图象恒过，利用平移变换即可求解.【详解】因为恒过点，将图象向左平移个单位，再向下平移个单位，即可得的图象，则点平移后得到点，所以恒过点，故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟记指数函数的图象恒过点，平移变换左加右减，上加下减即可求出平移后的定点.15．若函数f（x）=的定义域为R，则实数a的取值范围是：_____________.【答案】【解析】根据题意，有在R上恒成立，则，即可得解.【详解】若函数f（x）=的定义域为R，则在R上恒成立，则，解得：，故答案为：.16．对任意正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【分析】采用常数分离法转化为恒成立，只需求的最小值即可.【详解】对任意正实数，不等式恒成立，即恒成立，因为，当且仅当即时取“＝”.所以 故答案为：17．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，若函数有六个零点，分别记为，则的取值范围是______________.【答案】【解析】根据函数的解析式可知函数再定义域内是基函数,由图象可知若函数有六个零点，,根据二次函数可知，，，即,最后整理可得,结合即可求出取值范围.【详解】解:因为函数为奇函数，根据解析式作出函数在上的图象如图：由图可知，，且，即，所以是，因为，故，即，故，根据对勾函数在上单调减，在上单调增，故而在上单调减，则，故答案为：.【点睛】1.确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法：①利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．需要注意的是，满足条件的零点可能不惟一；不满足条件时也可能有零点．②数形结合法：通过画函数图象，观察图象在给定区间上是否有交点来判断．2.函数图象应用广泛，是研究函数性质不可或缺的工具．数形结合应以快、准为前提，充分利用“数”的严谨和“形”的直观，互为补充，互相渗透，以开阔解题思路，提升解题效率．18．若函数满足对于定义域内的任意一个自变量，都有，则称在上封闭．若定义域，则函数①；②；③；④，其中在D上封闭的是_______．（填序号）【答案】②③④【解析】求出各函数的值域可判断，得出结论．【详解】时，；；；．②③④满足题意．故答案为：②③④ 三、解答题19．已知函数.（1）用函数单调性的定义证明在区间上是增函数；（2）解不等式.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）根据在区间上单调递增，得到，即可解出的集合.【详解】解：（1）设任意的且，则 ，且，，，即，即，即对任意的，当时，都有，在区间上是增函数；（2）由（1）知：在区间上是增函数；又，，即，即，解得：，即的解集为：.【点睛】方法点睛：定义法判定函数在区间上的单调性的一般步骤：1.取值：任取，，规定，2.作差：计算，3.定号：确定的正负，4.得出结论：根据同增异减得出结论.20．已知函数为奇函数.（1）函数的解析式；（2）若，求x的范围；（3）求函数的值域.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）先利用奇函数性质知，求出参数，再验证此时确实是奇函数；（2）直接代入函数解不等式得，再利用指数函数性质解不等式即可.（3）对函数分离常数，再利用，逐步计算的范围，即得值域.【详解】解：（1）易见，的定义域为R，故在原点处有定义，又由是奇函数知，，即，故，此时，，对，有，故是奇函数.故函数的解析式为；（2）由，得，解得，又，故，x的范围为；（3），因为，，则，即，，故，所以函数的值域为.【点睛】方法点睛：已知函数奇偶性求参数常见方法：（1）直接利用定义使（或）恒成立，系数对应相等解得参数即可；（2）利用特殊值代入（或）计算参数，再将参数代入验证函数是奇（或偶）函数即可.21．设计一幅宣传画，要求画面面积为，面的上下各空白，左右各留空白，怎样设计画面的高与宽，才能使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是多少？【答案】画面的高为，宽为时可使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是.【分析】设画面的高为厘米，宽为厘米，根据题干条件得到，然后列出纸张的面积的表达式，再利用换元转化成只含一个未知量的表达式，利用基本不等式即可求解.【详解】设画面的高为厘米，宽为厘米，因为画面面积为，所以，所以，纸张的面积的表达式，所以，当且仅当，即，且时等号成立，所以画面的高为，宽为时可使宣传画所用纸张的面积最小，最小面积是22．己知函数．(1)解不等式；(2)若函数，其中为奇函数，为偶函数，解不等式．【答案】(1)(2) 【分析】（1）先将不等式化简为，再令，通过换元转化成一元二次不等式即可求解.（2）先结合题干条件利用方程组法求出函数的解析式，并判断其单调性，然后将不等式利用函数的奇偶性转化为，再利用函数的单调性解不等式即可.【详解】（1）因为，所以，所以可化为，即，令，可化为，即，解得，所以，解得，所以不等式的解集为.（2）因为为奇函数，所以 ，为偶函数，所以，又因为，所以，即，解得，对于，且，有，又因为，所以，，所以，即，所以为增函数.又因为不等式可化为，且为奇函数，，所以，因为为增函数，所以，即，解得，所以不等式的解集为.23．已知函数.（1）设，当时，求函数的定义域，判断并证明函数的奇偶性；（2）是否存在实数，使函数在上单调递减，且最小值为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在【分析】（1）先求得的表达式，根据对数真数大于零列不等式组，解不等式组求得的定义域.利用证得为奇函数.（2）利用复合函数单调性同增异减求得的取值范围，根据在区间上的最小值列式，由此判断出不存在满足要求的实数.【详解】（1）时，依题意，所以，解得.所以的定义域为.定义域关于原点对称，且，所以为奇函数. （2）不存在假设存在实数满足条件，记，因，则在上单调递增，使函数在上单调递减，则，由函数在上最小值为1，则有，不等式组无解，故不存在实数满足题意.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查函数单调性的证明，考查根据函数的单调性和最值求参数，属于基础题.24．若函数f(x)满足：对于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，则称函数f (x)为“T函数”．(I)试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=lg(x+1)是否是“T函数”，并说明理由；(Ⅱ)设f (x)为“T函数”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求证：f (x0) =x0；(Ⅲ)试写出一个“T函数”f(x)，满足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的个数最少．（只需写出结论）【答案】（I）见解析;(II) 见解析;（III）（注：答案不唯一）【详解】试题分析：（Ⅰ）直接利用定义判断函数 与是否是“T函数” 即可；（Ⅱ）设 所以，对于 一定有 即可证明;（Ⅲ）根据 且使集合 中元素的个数最少，以及新定义即可确定．试题解析：（I）对于函数，当时，都有，，又，所以.所以是“T函数”.对于函数，当时，，，因为，所以.所以不是“T函数”. (II)设，，.则所以，对于，，一定有. 因为是“T函数”，，所以.若，则，不符合题意.若，则，不符合题意.所以. （III）（注：答案不唯一）