2022-2023学年福建省永春第二中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年福建省永春第二中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．，则阴影部分表示的集合为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由Venn图表示的集合求解．

【详解】，

图中阴影部分表示，

故选：C．

2．函数f(x)＝lgx－的零点所在的区间是(　　)

A．(0,1) B．(1,10) C．(10,100) D．(100，＋∞)

【答案】B

【详解】函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）单调递增，

∵，

∴在（1，10）内函数f（x）存在零点，

故选B

点睛：函数零点个数（方程根的个数）的判断方法：①结合零点存在性定理，利用函数的单调性、对称性确定函数零点个数；②利用函数图像交点个数判断方程根的个数或函数零点个数．

3．给出下列结论:

①两个实数,之间,有且只有,,三种关系中的一种;②若,则;③若,;④已知,则.

其中正确结论的个数为(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据不等式的性质逐项分析即可

【详解】两个实数a,b之间,有且只有三种关系中的一种,所以①正确

,则,即或,所以②错误

因为,所以,即,即,所以③正确

因为,所以,所以④正确.

即正确结论的个数为3

故选：C

4．已知函数的反函数是，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由已知函数解析式求得，再把与互换可得原函数的反函数，取得答案．

【详解】解：由，得，

原函数的反函数为，

则．

故选：D．

5．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据复合函数单调性，结合对数型函数的定义域列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】由于的底数为，而函数在上是减函数，根据复合函数单调性同增异减可知，结合对数型函数的定义域得，解得.

故选：C

【点睛】本小题主要考查根据对数型复合函数单调性求参数的取值范围，属于基础题.

6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个图象如图，其对应的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由图象知函数的定义域排除选项选项A、D，再根据不成立排除选项C，即可得正确选项.

【详解】由图知的定义域为，排除选项A、D，

又因为当时，，不符合图象，所以排除选项C，

故选：B.

7．设，，，则下列不等关系成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】分别构造指数函数、幂函数、对数函数，利用函数单调性，引入中量比较大小即可.

【详解】因为在上递减，所以，

又因为在上单调递增，所以，

因为在上单调递减，所以，

所以.

故选：D

8．人们通常以分贝（符号是）为单位来表示声音强度的等级．一般地，如果强度为的声音对应的等级为，则有﹒生活在深海的抹香鲸是一种拥有高分贝声音的动物，其声音约为，而人类说话时，声音约为则抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】利用函数表达式以及声音的分贝数求出声音强度，求比值即可.

【详解】当声音约为时，则，解得，

当声音约为时，则，解得，

所以抹香鲸声音强度与人类说话时声音强度之比为.

故选：C

二、多选题

9．下列各组函数是同一函数的是（    ）

A．与；

B．与；

C．与；

D．与.

【答案】CD

【分析】根据同一函数的定义，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，函数与的对应法则不同，所以不是同一函数；

对于B中，函数与的对应法则不同，所以不是同一函数；

对于C中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；

对于D中，函数与的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数.

故选：CD.

10．下列不等式不一定成立的是（    ）

A．（） B．（）

C．（） D．（）

【答案】ABD

【分析】利用特殊值判断A和B；利用完全平方式判断C；根据不等式的性质判断D.

【详解】解：A中，当时，，即，所以A不一定成立；

B中，当时，，所以B不一定成立；

C中，不等式，即恒成立，所以C一定成立；

D中，因为，所以，所以D不成立.

故选：ABD

11．若实数m，，满足，以下选项中正确的有（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最小值为5 D．的最小值为

【答案】AD

【分析】直接利用均值不等式判断A；根据“1”的代换的方法判断B；整理为 ，然后，根据“1”的代换的方法判断C；对，结合均值不等式判断D

【详解】利用基本不等式对每项分析即可得答案.

解：，即，

当且仅当时等号成立，故A正确；

，

当且仅当即，时等号成立，故B错误；

因为，所以，

，

当且仅当即，时等号成立，

又实数，，可知等号不成立，故C错误；

因为，，

所以，

当且仅当时等号成立，故D正确；

故选：AD.

12．下列说法正确的序号是（    ）

A．已知集合，若，则

B．若函数是偶函数，则实数的值为1

C．已知函数的定义域为，则的定义域为

D．已知单调函数，对任意的都有，则

【答案】BCD

【分析】A.，，则或者，根据集合元素的互异性进行排除即可；

B.由题意得到进而求出参数值即可；

C.据题意得到，即可得到结果；

D.设，得到，进而得到函数表达式，和 .

【详解】A.已知集合，,则或者，

当时，不满足集合元素的互异性，故舍去这种情况；

当时，时由以上分析知不成立，

当时集合元素为，符合题意，故最终，故A错误；

B.函数是偶函数，根据偶函数的定义得到

代入函数表达式得到

化简得到故B正确；

C.函数的定义域为，的定义为，

函数的定义域为，最终得到的定义域为，故C正确；

D.设，，且，令，则，，即，则（2），故D正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．若函数则_______________________．

【答案】

【分析】根据分段函数的解析式，先求的值，再的值.

【详解】由题意，得，又，

所以.

故答案为:

14．函数的零点为__________.

【答案】10

【分析】令，解方程进而可以求出结果.

【详解】令，即，所以，因此，

所以函数的零点为，

故答案为：.

15．函数的值域为_____．

【答案】

【解析】首先求出的范围，然后结合指数函数的图象可得答案.

【详解】因为，所以

故答案为：

16．若函数（，）的图象经过定点，则函数的单调增区间为____________.

【答案】

【分析】根据指数的运算性质，结合对数型函数单调性的性质进行求解即可.

【详解】令，得，此时，故定点，

则，，

，

令，时，为减函数，

又为减函数，

由得，

故定义域为：，

故所求增区间为.

故答案为:.

四、解答题

17．（1）计算

（2）计算.

【答案】（1）0；（2）3

【分析】（1）利用有理数指数幂性质以及运算法则求解；

（2）利用对数性质及运算法则求解.

【详解】（1）

.

（2）

.

18．已知集合，.

(1)求；

(2)若集合，且“”是“”的充分不必要条件，求m的取值范围.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）求出集合M，再根据补集和并集的定义求解；

（2）由题意得，再根据包含关系列不等式求解.

【详解】（1）由已知，

所以，

则或.

（2）由题意得，

则，解得.

故m的取值范围是.

19．已知函数，

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性，并给予证明；

（3）求不等式的解集.

【答案】（1）；（2）函数为奇函数；（3）.

【分析】（1）真数位置大于0，得到的取值范围；（2）得到，然后判断与的关系，从而得到函数的奇偶性；（3）根据题意得到关于的不等式，从而得到的解集.

【详解】解：（1）真数部分大于零，即解不等式，

解得,

函数的定义域为.

（2）函数为奇函数，

证明：由第一问函数的定义域为，

，

所以函数为奇函数.

（3）解不等式，

即

即，

从而有，

所以.

不等式的解集为.

【点睛】本题考查函数的定义域，奇偶性，根据函数的性质解不等式，属于简单题.

20．函数是定义在上的奇函数，且．

(1)确定的解析式

(2)判断 在上的单调性，并利用函数单调性的定义证明；

(3)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据奇偶性的定义与性质求解

（2）由函数的单调性的定义证明

（3）由函数奇偶性和单调性，转化不等式后再求解

【详解】（1）根据题意，函数是定义在上的奇函数，

则，解可得；

又由，则有，解可得；

则

（2）由（1）的结论，，在区间上为增函数；

证明：设，

则

又由，

则，，，，

则，即

则函数在上为增函数.

（3）由（1）（2）知为奇函数且在上为增函数.

，

解可得：，

即不等式的解集为.

21．已知是定义在R上的奇函数，当时，

(1)求的解析式；

(2)画出简图并根据图像写出的单调增区间.

(3)若方程有2个实根，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）图见解析，增区间为.(3)

【分析】（1）根据奇函数的对称性，即可求出解析式；

（2）由解析式作出图像，根据图像求出单调增区间；

（3）方程有2个实根，转化为与有两个交点，根据图像即可求出的取值范围.

【详解】（1）是定义在R上的奇函数，

当时，

当

当

（2）画出简图

的单调增区间为

（3）由，得，

设，方程有2个实根，

则函数与有两个交点，

【点睛】本题考查函数的奇偶性求解析式，函数的图像以及方程的解，考查数形结合思想，属于中档题.

22．已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里／小时）（0≤v≤3）的以下数据：

为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0．5v＋a，Q＝klogav＋b．

（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．

【答案】（1）选择函数模型，函数解析式为；（2）以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元.

【分析】（1）对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确的选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；

（2）根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果.

【详解】（1）若选择函数模型，则该函数在上为单调减函数，

这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．

若选择函数模型，须，这与试验数据在时有意义矛盾，

所以不选择该函数模型．

从而只能选择函数模型，由试验数据得，

，即，解得

故所求函数解析式为：．

（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元），

则所需时间为（小时），其中，

结合（1）知，

所以当时，．

答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2．1万元．

【点睛】该题考查的是有关函数的应用题，涉及到的知识点有函数模型的正确选择，等量关系式的建立，配方法求二次式的最值，属于简单题目.