2022-2023学年广东省清远市四校高一上学期联合学业质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省清远市四校高一上学期联合学业质量检测数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据集合的交运算即可求解.

【详解】由得，所以，

故选：D

2．已知命题p：“，有成立”，则命题p的否定为（    ）

A．，有成立 B．，有成立

C．，有成立 D．，有成立

【答案】B

【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得出结果.

【详解】解：根据特称命题的否定是全称命题即可得命题p：“，有成立”的否定是“，有成立”，

故选：B

3．若不等式成立的充分条件为，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据充分条件转化为子集关系即可由不等式求解.

【详解】由得 ，

由题意得 ，进而 且，解得，

故选：A

4．已知（且，且），则函数与的图像可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先由求得，再将转化为，再利用反函数的性质即可得到正确选项B

【详解】由（且，且），

可得，则，则

则，又，则与互为反函数，

则与单调性一致，且两图像关于直线轴对称

故选：B

5．区块链作为一种新型技术，被应用于许多领域.在区块链技术中，若某个密码的长度设定为1024，则密码一共有种可能，为了破解该密码，计算机在一般状态下，最多需要进行次运算.现在有一台计算机，每秒能进行次运算，那么该计算机在一般状态下破译该密码所需的最长时间大约为（    ）（参考数据：）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由对数和指数的运算法则即可求解.

【详解】设计算机在一般状态下破译该密码所需的时间为秒，则有，

两边取常用对数，得

，

所以.

故选：A.

6．偶函数的定义域为，且对于任意，均有成立，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题知在单调递减，在单调递增，由，得，将两边平方，解得即可.

【详解】解：偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，

所以在单调递减，则在单调递增，

因为，所以，所以，

化简得，解得或，即.

故选：B.

7．已知幂函数的图像经过点与点，若，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据幂函数的性质待定系数得，再借助中间量比较大小即可.

【详解】解：设，因为幂函数的图像经过点与点，

所以，，解得，

所以，

所以.

故选:C.

8．已知，若方程有四个不同的实数根，，，，则的取值范围是（    ）

A．（3，4） B．（2，4） C．[0，4） D．[3，4）

【答案】D

【分析】利用数形结合可得，结合条件可得，，，且，再利用二次函数的性质即得.

【详解】由方程有四个不同的实数根，

得函数的图象与直线有四个不同的交点，分别作出函数的图象与直线．

由函数的图象可知，当两图象有四个不同的交点时，．

设与交点的横坐标为，，设，则，，

由得，

所以，即．

设与的交点的横坐标为，，

设，则，，且，

所以，

则．

故选：D.

二、多选题

9．已知不等式的解集为，则以下选项正确的有（    ）

A． B．

C．的解集为 D．的解集为或

【答案】AD

【分析】依题意可以判断，，利用根和系数的关系求出，代入求解即可.

【详解】不等式的解集为

根据一元二次不等式解法可知，且，

故由上可知A正确，B错误；

由，可知：将，代入

由可得：，解得：或

故的解集为或，C错误，D正确；

故选：AD

10．下列说法正确的有（    ）

A．若，则的最大值是

B．若都是正数，且，则的最小值是3

C．若，则的最小值是2

D．若，则的最小值是4

【答案】ABD

【分析】由结合基本不等式求最值判断A；由，令则原式等价于结合基本不等式求最值判断B；由结合基本不等式求最值判断C；由题设，再应用“1”的代换求的最值，即可判断D；注意最值取值条件.

【详解】由题设，则，当且仅当，即时等号成立，A正确；

由，则，且，

令，则，，

所以原式为，当且仅当，即时等号成立，B正确；

由且，则，故，当且仅当时等号成立，

所以的最小值是4，C错误；

由题设，而，

又，当且仅当时等号成立，

所以，D正确.

故选：ABD

11．给定函数，，表示，中的较小者，记为，则（    ）

A． B．函数的定义域为

C．函数的值域为 D．函数的单调区间有3个

【答案】ABD

【分析】根据题意，先作出与的图像，从而得到的图像，结合图像对选项逐一分析即可.

【详解】对于A，当时，，，故，故A正确；

对于B，作出函数，的图象，可得到的图象如图（实线部分）所示，

显然函数的定义域为，故B正确；

对于C，由图像易知函数的值域为，故C错误；

对于D，由图像易知函数的单调区间有，，，故D正确.

故选：ABD．

12．已知函数的定义域是，且，当时，，，则下列说法正确的是（    ）

A．

B．函数在上是减函数

C．

D．不等式的解集为

【答案】ABD

【分析】利用赋值法求得，判断A；根据函数的单调性定义结合抽象函数的性质，可判断函数的单调性，判断B;利用，可求得C中式子的值，判断C；求出，将转化为，即可解不等式组求出其解集，判断D.

【详解】对于A，令 ，得，所以，故A正确；

对于B，令，得，所以，

任取，且，则，

因为，所以，所以，

所以在上是减函数，故B正确；

对于C，

，故C错误；

对于D，因为，且，所以，

所以，

所以等价于，

又在上是减函数，且，所以 ，

解得，故D正确,

故选:ABD．

三、填空题

13．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则___________．

【答案】

【分析】利用函数的奇偶性求解析式的求法求解即可.

【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以；

因为当时，；

当时，，，

又，所以当时，；

综上：．

故答案为：．

14．函数的单调递增区间为___________.

【答案】

【分析】求出函数的定义域，根据复合函数的单调性规律可求出结果.

【详解】由得或，即函数的定义域为，

因为，且在上为增函数，

所以函数的单调递增区间为.

故答案为：

【点睛】易错点点睛：容易忽视函数的定义域导致错误.

15．已知．若的值域为，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据的值域为，可得有解，再利用根的判别式即可得解.

【详解】解：因为的值域为，

所以有解，

则，解得，

所以实数的取值范围是.

故答案为：.

16．设函数的定义域为，若函数满足条件：存在，使在 上的值域是，则称为“倍缩函数”．若函数为 “倍缩函数”，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【分析】由题意得，函数是增函数，构造出方程组，求出t的取值范围.

【详解】因为函数为“倍缩函数”，即满足存在，使在上的值域是，

由复合函数单调性可知函数在上是增函数

所以，则，即

所以方程有两个不等的实根，

令，则，所以方程变为：.

则，解得

所以实数的取值范围是.

故答案为：

四、解答题

17．（1）计算；

（2）若，求的值．

【答案】（1）1；（2）

【分析】（1）化成同底数指数幂的形式，底数不变指数相加减，即可求出结果.

（2）通过方程求出x的值，代入表达式即可.

【详解】（1）原式．

（2）∵，

∴，

∴．

18．已知集合，或，全集．

(1)若，求，；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）将代入集合中确定出，求出与的交集，求出的补集，求出与补集的交集即可；

（2）根据交集的定义可得答案.

【详解】（1）将代入集合中的不等式得：，

∵或，

∴，，

则；

（2）∵，或，

因为，所以不是空集，

因为，所以，

解得，

所以实数的取值范围为.

19．已知函数，且为奇函数．

(1)求b，然后判断函数的单调性并用定义加以证明；

(2)若恒成立，求实数k的取值范围．

【答案】(1)，增函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）由奇函数的性质求解，由单调性的定义证明，

（2）由函数的单调性与奇偶性转化后求解，

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，；

经检验时是奇函数．

设，，且，

则．

因为，所以，，，

所以，所以，所以在上是增函数；

（2）依题意为奇函数，又由（1）知在上是增函数，由，得，

所以，即，解得．

所以实数k的取值范围是．

20．函数．

(1)若的最小值为0，求a的值；

(2)对于集合，若任意的，总存在，使得成立，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由函数的最小值，知函数的判别式，求解即可；

（2）由题意可知，函数对称轴为直线，分类讨论当，，和时，求函数的最值列不等式组，求解即可.

【详解】（1）∵函数的值域，

所以，解得．

（2）由题意可知

函数图象开口向上，对称轴为直线．

①当时，函数在上为增函数，

则，，

故，此时；

②当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，

，，

故，此时；

③当时，函数在区间上为减函数，在上为增函数，

，，

故，此时；

④当时，在上减函数，

∴，，

故，此时．

综上所述，实数a的取值范围是．

【点睛】方法点睛：研究二次函数在区间上的最值，通常分为四种情况：（1）轴定区间定；（2）轴定区间动；（3）轴动区间定；（4）轴动区间动；这四种情况都需要按三个方向来研究函数的最值：对称轴在区间的左侧、中间、右侧，从而知道函数的单调性，即可求出函数的最值.

21．随着网络经济的到来，购买商品的方式和策略也是多种多样，当然不同的购物策略所获得的优惠也各不一样．小明同学做了一个数学实验，两次购买同一种学习用品，采取两种不同的策略，实验一是不考虑物品价格的升降，每次购买这种学习用品的数量一定；实验二是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．请你协助小明完成实验的结论：哪种购物方式比较经济？请写出推理，证明过程．

【答案】答案见解析

【分析】由已知，实验一，可设第一次购物时的价格为，购买数量为n，第二次购物时的价格为，购买数量为n，则两次购物的平均价格为；实验二，两次购买的金额均为m，则两次购物的平均价格为，然后通过作差比较两次试验平均价格的大小即可得到结论.

【详解】实验一：

设第一次购物时的价格为，购买数量为n，第二次购物时的价格为，购买数量为n，两次购物的平均价格为；

实验二：

第一次购买的金额为m，购买物品的数量为，第二次购买的金额为m，购买物品的数量为，两次购物的平均价格为．

又．

所以实验一的平均价格大于或等于实验二的平均价格，因而用第二种策略比较经济，一般地，如果是多次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济．

22．已知函数，其反函数为．

(1)定义在的函数，求的最小值；

(2)设函数的定义域为D，若有，且满足，我们称函数为“奇点函数”．已知函数为其定义域上的“奇点函数”，求实数m的取值范围．

【答案】(1)-1

(2)

【分析】（1）利用反函数得到，进而得到，，利用换元法求解．

（2）分在，和 利用 “奇点函数”的性质求解.

【详解】（1）解：由题意得，

所以，．

令，，设，，

则为开口向上，对称轴为的抛物线，

在上单调递减，在上单调递增，

所以的最小值为．

（2）①设在上存在满足“奇点函数”性质，

则．

令，则，

当且仅当时取等号，又，

所以，即，

所以，

所以，

所以；

②设在存在满足“奇点函数”性质，则，

即有解，

因为在上单调递减，

所以；

同理当在存在满足“奇点函数”性质时，

解得；

所以实数m的取值范围．