2022-2023学年广东省深圳市宝安区燕川中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年广东省深圳市宝安区燕川中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．如图，已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合是（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先判断图中阴影部分表示的集合是，再利用已知集合直接求解补集即可.

【详解】易见，图中阴影部分表示的集合是，

∵全集，集合，

∴.

故选：A.

2．已知命题，2x2+1>0，则￢p是（    ）

A．，2x2+1≤0 B．，

C．， D．，

【答案】D

【分析】由含有一个量词的命题的否定的定义求解.

【详解】因为命题，2x2+1>0是全称量词命题，

所以￢p是存在量词命题，即，，

故选：D

3．如下图可作为函数的图象的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】根据函数的概念，进行判定，即可求解.

【详解】根据函数的概念，可知对任意的值，有唯一的值相对应，

结合选项，可得只有选项D可作为函数的图象.

故选：D.

4．“”是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分必要条件的定义进行判断即可.

【详解】当时，成立，即充分性成立；

当时，不一定成立，即必要性不成立，

所以是的充分不必要条件.

故选：A.

5．下列函数中是偶函数，且在上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性，逐一判断是否符合题意即可.

【详解】解：对于A，为偶函数，由幂函数的性质可知在上单调递增，符合题意；

对于B，为奇函数，不符合题意；

对于C，中，，即为奇函数，不符合题意；

对于D，为偶函数，由幂函数的性质可知在上单调递减，不符合题意.

故选：A.

6．函数的定义域为

A． B．

C． D．

【答案】A

【详解】由题意，要使有意义，需满足，即．因此的定义域为．故选A．

7．偶函数的定义域为，且对于任意，均有成立，若，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题知在单调递减，在单调递增，由，得，将两边平方，解得即可.

【详解】解：偶函数的定义域为，且对于任意均有成立，

所以在单调递减，则在单调递增，

因为，所以，所以，

化简得，解得或，即.

故选：B.

8．若函数f(x)是奇函数，且在(－∞，0)上是增函数，又f(－2)＝0，则x·f(x)<0的解集是（    ）

A．(－2，0)∪(0，2) B．(－∞，－2)∪ (0，2)

C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－2，0)∪(2，＋∞)

【答案】A

【分析】根据的奇偶性和单调性画出的图象，由此求得的解集.

【详解】依题意是奇函数，在上递增，在上递增，

，由此画出的大致图象如下图所示，

由图可知，不等式的解集为.

故选：A

二、多选题

9．已知幂函数（）的图象过点，下列说法正确的是（    ）

A．函数的图象过原点 B．函数是偶函数

C．函数是单调减函数 D．函数的值域为R

【答案】AD

【分析】将点代入函数得到，再判断函数的奇偶性，单调性和值域得到答案.

【详解】函数（）的图象过点，即，解得，；

当时，，函数的图象过原点，A正确；

，，函数是奇函数，B错误；

函数是单调增函数，C错误；

函数的值域为R，D正确.

故选：AD.

10．下列运算结果中，一定正确的是　　

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】根据有理数指数幂的运算法则计算．

【详解】解：选项，正确；

选项，错误；

选项当时，，当时，，错误；

选项，正确．

故选：．

【点睛】本题考查了有理数指数幂的运算，属于基础题．

11．已知，则下列函数的最小值为2的有

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】利用基本不等式或函数单调性分别求函数的最小值，确定选项.

【详解】因为，所以（当且仅当时取等号）；

因为函数在递增，所以；

因为函数在递增，所以；

因为，所以（当且仅当取等号），故选ACD.

【点睛】本题考查基本不等式的应用，函数的单调性应用，考查计算能力属于中档题.

12．我们用符号示两个数中较小的数，若，，则（    ）

A．最大值为1 B．无最大值 C．最小值为 D．无最小值

【答案】AD

【分析】在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象，结合图象及新定义确定函数解析式及其最值.

【详解】在同一平面直角坐标系中画出函数，的图象，如图：

根据题意，图中实线部分即为函数的图象.

由，解得，，

所以，

当时，取得最大值，且，

由图象可知无最小值，

故选：AD.

三、填空题

13．已知函数，则____________．

【答案】0

【分析】根据分段函数函数值的求法直接求解.

【详解】由题意可知，，

又因为，所以.

故答案为:0.

14．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为__________．

【答案】

【详解】分析：不等式的解集为，则方程的根为，利用韦达定理求参数，再解不等式即可．

详解：不等式的解集为，则方程的根为，由韦达定理可知：，，所以不等式为，所以解集为

点睛：二次函数，二次方程，一元二次不等式三个二次的相互转换是解决一元二次不等式

问题的常用方法．

15．若关于x的不等式在内有解，则实数a的取值范围是______．

【答案】

【分析】分离常数，结合二次函数的性质来求得的取值范围.

【详解】，，

，所以当时，，

所以.

故答案为：

16．若已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围为____________．

【答案】

【分析】利用分段函数为单调递减函数建立不等式组即可求解.

【详解】由题可知 解得，

故答案为: .

四、解答题

17．已知集合.

(1)当时，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）可求出集合，时求出集合，然后进行并集的运算即可；

（2）由集合间的包含关系得，讨论和，综合可得解.

【详解】（1）因为

当时，，；

（2）因为，所以，

①当，即，即时，满足题意，

②当时，由，有，解得，

综合①②得实数a的取值范围为：或

18．计算下列各式，式中字母均为正数．

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据指数式的乘法运算律即可求解；(2) 根据指数式的乘法运算律和指数幂的运算律即可求解；

【详解】（1）原式；

（2）原式．

19．设，，，其中为参数.

（1）当时，求的最小值；

（2）当时，求的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）变形得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值；

（2）由已知条件得出，变形可得出，利用基本不等式可求得的最小值.

【详解】（1）当时，，，，则，

，

当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为；

（2），由可得，，

，，由可得，

，

当且仅当，即当时，等号成立，

因此，最小值为.

【点睛】本题考查利用基本不等式求代数式的最值，解题的关键就是要对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于中等题.

20．已知函数.

(1)将函数写出分段函数的形式，并画出图象.

(2)利用图象回答：当为何值时，方程有一解？有两解？有三解？

【答案】(1)，图象答案见解析

(2)当或时，有一解；当或时，有两解；当时，有三解

【分析】（1）要根据绝对值的定义，利用零点分段法，分当时和当时两种情况，化简函数的解析式，最后可将函数写出分段函数的形式，进而根据分段函数图象分段画的原则，结合二次函数的图象和性质，可得答案．

（2）根据（1）中函数的图象，结合函数值，可得方程有一解，有两解和有三解时，的取值范围．

【详解】（1）当时，

当时，

综上.

其函数图象如图所示：

（2）由（1）中函数的图象可得：且，

当或时，方程有一解.

当或时，方程有两解.

当时，方程有三解.

21．2016年，某厂计划生产25吨至45吨的某种产品，已知生产该产品的总成本y（万元）与总产量x（吨）之间的关系可表示为.

(1)若该产品的出厂价为每吨6万元，求该厂2016获得利润的最大值.

(2)求该产品每吨的最低生产成本；

【答案】(1)70

(2)4

【分析】（1）根据利润=总收入-总成本，可得利润，根根二次函数的性质即可求解；

（2）根据每吨成本=总成本总产量，可得平均成本，根据基本不等式即可求解

【详解】（1）设利润为，则

，

 当时，.

（2）设每吨平均成本为，

当且仅当，即时等号成立.

∴该产品每吨的最低生产成本为.

22．已知函数.

（1）若对于任意，恒有成立，求实数a的取值范围；

（2）若，求函数在区间[0, 2]上的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）将变形为，然后求出右边的最大值即可；

（2）分、两种情况讨论即可.

【详解】（1）对任意的，恒有，即，

 整理得对任意的恒成立，

因此，实数a的取值范围是.    

（2）.

当，即时，函数在上单调递增，

在上单调递减，此时；

当，即时，在[0, 2]上单调递增，

此时

综上所述，