2022-2023学年黑龙江省双鸭山市宝清县第二高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年黑龙江省双鸭山市宝清县第二高级中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】解不等式求出集合，再进行并集运算即可求解.
【详解】，
，
所以，
故选：D.
2．命题“”的否定是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】利用存在量词命题的否定的结构形式可得正确的选项.
【详解】命题“”的否定为：“”，
故选：C.
3．记，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据指数函数与对数函数的单调性得到的范围，利用中间值比大小.
【详解】，，，
故.
故选：A
4．若正实数满足，则的最小值为（ ）
A．10B．12C．16D．24
【答案】C
【分析】利用“1”的妙用和基本不等式即可求解
【详解】由题可知，且，
所以，
当且仅当即时，取等号，
所以的最小值16，
故选：C
5．函数的零点所在区间为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据对数函数性质判断函数在上是增函数，再通过计算又，，，，发现，即可得到零点所在区间.
【详解】在上是增函数，
又，，，，，
根据零点存在性定理可知，函数的零点所在的大致区间是
故选：C
6．函数（且）的图象如图所示，其中为常数.下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由函数单调性和在轴截距可判断出的范围.
【详解】函数图象单调递增
又函数在轴截距在之间
故选：
【点睛】本题考查根据指数型函数的图象判断参数范围的问题，关键是能够熟练应用函数的单调性和截距来得到参数所满足的不等关系.
7．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】依次判断函数的单调性和奇偶性得到答案.
【详解】是偶函数，A错误；在上单调递减，B错误；
，
函数在上单调递增，故在单调递减，C错误；
在上单调递增，且，为奇函数，D正确.
故选：D.
8．已知函数，且，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】判断出函数的奇偶性和单调性，则可将化为，根据对数函数的单调性解不等式，可得答案.
【详解】根据题意，，
则，故为偶函数；
且当时，为单调增函数，
故即，则，
所以或，解得或，
故实数的取值范围为，
故选：D
二、多选题
9．已知函数是偶函数，且当时，，关于的方程的根，下列说法正确的有（ ）
A．当时，方程有4个不等实根
B．当时，方程有6个不等实根
C．当时，方程有4个不等实根
D．当时，方程有6个不等实根
【答案】BC
【分析】结合函数奇偶性以及时解析式，作出函数图象，将关于的方程的根的问题转化为函数图象的交点问题，数形结合，求得答案.
【详解】由题意函数是偶函数，且当时，，
可作出函数的图象如图示：
则关于的方程的根，即转化为函数的图象与直线的交点问题，
当时，即与的图象有三个交点，方程有3个不等实根，A错误；
当时，与的图象有6个交点，方程有6个不等实根，B正确；
当时，与的图象有4个交点，方程有4个不等实根，C正确；
当时，与的图象有4个或2个或0个交点，方程有有4个或2个或0个实根，D错误；
故选：BC.
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的以及分段函数的应用，考查了方程的根的个数的确定，解答时要注意函数图象的应用以及数形结合的思想方法，解答的关键是将方程的根的问题转化为函数图象的交点问题.
10．已知函数，若，则的可能取值为（ ）
A．8B．6C．D．
【答案】ACD
【分析】分和两种情况，然后分别求解方程即可得出结果.
【详解】若，则，即，即，所以，符合题意，
若，则，即，即或，符合题意，因此或或，
故选：ACD.
11．下列命题中正确的是（ ）
A．函数与是同一个函数
B．若定义在上的函数的值域是，则函数的值域为
C．是连续函数在闭区间上有零点的充分不必要条件
D．函数在定义域上单调递减
【答案】BC
【分析】根据同一函数的判定方法，可判定A不正确；根据函数的图象变换，可判定B正确；根据零点的存在定理和举出反例法，以及充分条件、必要条件的判定方法，可判定C正确；根据初等函数的性质，可判定D不正确.
【详解】对于A中，函数与的对应法则不同，所以不是同一个函数；
对于B中，由定义在上的函数的值域是，将函数的图象上的各点向左平移1个单位，得到函数，此时函数的值域不变，所以函数的值域为，所以B正确；
对于C中，由是连续函数，根据零点的存在定理，可得在闭区间上有零点，即充分性成立，反之：例如函数，可得，所以函数在存在零点，但，所以必要性不成立，
所以是连续函数在闭区间上有零点的充分不必要条件，所以是正确的；
对于D中，函数在上是单调递增函数，所以函数在定义域上单调递减是不正确的.
故选：BC.
12．下列说法正确的是（ ）
A．偶函数的定义域为，则
B．一次函数满足，则函数的解析式为
C．奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则
D．若集合中至多有一个元素，则
【答案】AC
【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称判断A，设一次函数的解析式为，代入解析式求解参数a、b可判断B，根据奇函数有可判断C；分方程为一元一次方程、一元二次方程进行讨论求参数a，判断D.
【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，则，解得，A正确；
设一次函数的解析式为，则，即，所以或，
所以或，B错误；
因为函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为-1，
所以，又为奇函数，所以，则，C正确；
若，则，解得，即满足题意；
若，则当二次方程至多有一个解时，，解得.
所以若集合中至多有一个元素，则或，D错误.
故选：AC
三、填空题
13．已知函数且的图象经过定点，则点坐标为__________.
【答案】##
【分析】根据对数函数的性质即可得出答案.
【详解】解：令，则，，
所以点坐标为.
故答案为：.
14．设函数，若，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】分和两种情况求解即可.
【详解】当时，由，得，
即，得，，
所以，
当时，由，得，，
所以，
综上，，即实数的取值范围是，
故答案为：.
15．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元.为公司从一下函数模型中选择恰当的奖励模型，计算某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为__________（万元）.
【答案】1024
【分析】函数过，自变量增长速度较快，函数值增长速度较缓慢，用平滑曲线连接，满足对数型函数，即可解决.
【详解】由题知，函数过，自变量增长速度较快，函数值增长速度较缓慢，用平滑曲线连接得
因为
，增长速度相对平稳，
，增长速度越来越快，
，增长速度越来越慢，
又公司是为了业务发展制定的激励销售人员的奖励方案，增长速度应越来越慢，差距不能太大，
所以函数模型应选，
所以，即，解得，
所以，
当时，，解得，
故答案为：1024
16．若偶函数在区间上为增函数，且，则不等式的解集为________．
【答案】
【分析】根据偶函数对称性可得单调性，并将所求不等式化为或，结合可得不等式解集.
【详解】在上为增函数，为偶函数，在上单调递减；
，
当或时，；当或时，；
为偶函数，，；
或，不等式的解集为.
故答案为：.
四、解答题
17．从①；②；③三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解．
问题：已知集合______，集合
(1)当时，求；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)当时，，将集合化为最简形式，然后求出即可.（2）若，则，进而可得实数的取值范围.
【详解】（1）若选择①，则，
当时，，故.
若选择②，则，
当时，，故.
若选择③，则，
当时，，故.
故当时，
（2）由（1）可知，
若，则，解得，即实数的取值范围为.
故若，则实数的取值范围.
18．进入六月，青海湖特有物种湟鱼自湖中逆流而上，进行产卵.经研究发现湟鱼的游速可以表示为函数，单位是，是表示鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条湟鱼的耗氧量是500个单位时，求它的游速是多少？
(2)某条湟鱼想把游速提高，求它的耗氧量的单位数是原来的多少倍？
【答案】(1)约为1.17m/s；
(2)4.
【分析】（1）将代入函数的解析式解得即可；
（2）根据现在和以前的游速之差为1列出等式，进而解得即可.
【详解】（1）由题意，游速为.
（2）设原来和现在耗氧量的单位数分别为，所以，所以耗氧量的单位数是原来的4倍.
19．已知：，，：，，
（1）若是真命题，求实数的取值范围；
（2）若、均为真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）条件可转化为方程有实根，然后可求出答案；
（2）先求出为真命题的答案，然后结合（1）可得出实数的取值范围．
【详解】（1）因为：，为真命题，
所以方程有实根，所以判别式，
得实数的取值范围为．
（2）可化为，
若：，为真命题，则对任意的恒成立，
当时，不等式可化为，显然不恒成立；
当时，有，∴．由（1）知，若为真命题，则，
又、均为真命题，所以实数需满足，解得，
所以实数的取值范围为．
【点睛】本题考查的是命题和命题否定的真假性的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题.
20．函数是定义在区间上的增函数，且为奇函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若，求解析式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将所求不等式变形为，利用函数的定义域、单调性可得出关于的不等式组，由此可解得的取值范围，即可得解；
（2）由奇函数的性质得出，可求得的值，再由可得出的值，由此可得函数的解析式，然后利用函数单调性与奇偶性的定义验证函数在上的单调性与奇偶性即可.
【详解】（1）解：因为函数是定义在区间上的增函数，且为奇函数，
由可得，
所以，，解得，
故不等式的解集为.
（2）解：因为函数是定义在上的奇函数，则，
且，解得，所以，.
下面先证明函数为上的奇函数：
任取，则，
故函数为上的奇函数.
接下来证明出函数在上为增函数，
任取、且，则，
即，故函数在上为增函数，
综上所述，.
21．已知函数，.
（1）求函数在区间上的最大值与最小值；
（2）求函数的零点；
（3）求函数在区间上的值域.
【答案】（1）最小值，最大值；（2）和；（3）.
【解析】（1）利用对数函数的单调性求最值即可；
（2）令求解即可；
（3）换元后利用二次函数单调性求解.
【详解】（1）因为对数函数是增函数，在区间上，
时，有最小值，时，有最大值
（2）令，
解得或
由解得，
由解得，
因此函数的零点为和
（3），
令，
则
由，
所以时，有最小值
所以当时， ，当时， ，
所以，
因此，函数的值域为
22．已知函数的图象关于轴对称.
(1)求的值；
(2)若关于的方程无实数解，求实数的取值范围；
(3)若函数，则是否存在实数，使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)存在，
【分析】（1）根据题意得到函数为偶函数，从而得到，求出；
（2）方程转化为无实数解，由得到，求出；
（3）化简得到，，分，，三种情况，得到函数的最小值，列出方程，求出的值.
【详解】（1）由题意得，即，
即，其中，
所以，解得：
（2）变形为，
即无实数解，即无实数解，
其中，所以，解得：，
故实数的取值范围是；
（3）由（1）得：，
故，，
故，
因为，所以，
当，即时，在上单调递增，
令，解得：，满足要求，
当，即时，在上单调递减，
令，解得：，不合要求，
当即时，在上单调递减，在上单调递增，
故，解得：，不合要求，
综上：.