2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一中学校高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市第一中学校高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知，定义且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据定义求即可.

【详解】因为，，所以.

故选：C.

2．已知集合，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求函数的定义域求得集合，求函数的值域求得集合，由此确定正确答案.

【详解】，所以，

，所以，

所以，，，所以B选项正确，其它选项错误.

故选：B

3．设集合，集合，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分别解出集合和集合，再根据交集的定义即可得到答案.

【详解】由题得则，

，

故选：C．

4．已知，则的解析式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】将已知解析式配方，可得，再通过换元法求得解析式．

【详解】因为

令，所以

所以

故选：C.

5．已知是一次函数，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设出函数的解析式，再根据给定条件列出方程组，求解作答.

【详解】依题意，设，则有，解得，

所以.

故选：D

6．若关于的不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将不等式移项，化为一元二次不等式，然后分与讨论，即可得到的范围.

【详解】关于的不等式对一切实数恒成立，

即对一切实数恒成立

当时，，成立，符合要求

当时，，解得

综上，

故选:C.

7．用一架两臂不等长的天平称黄金，先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡，则两次共称得的黄金（    ）

A．大于 B．等于 C．小于 D．无法确定

【答案】A

【分析】由杠杆原理与基本不等式求解

【详解】设左右两臂的长度为，两次取的黄金重量为克，显然，

则，化简得，由基本不等式得

故选：A

8．已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　）

A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8

【答案】D

【分析】由条件结合基本不等式可求的范围，化简不等式可得，利用二次函数性质求的最大值，由此可求m的取值范围.

【详解】不等式可化为，又，，

所以，

令，则，

因为，，所以，当且仅当时等号成立，

又已知在上恒成立，所以

因为，当且仅当时等号成立，

所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，

所以m的取值范围是，

故选：D.

9．下列说法正确的是（    ）

A．若且，则至少有一个大于2

B．

C．若，则

D．若，则

【答案】A

【分析】结合反证法、全称量词命题、不等式、函数解析式的求法等知识求得正确答案.

【详解】A选项，依题意，且，若都不大于，即，

则，与已知矛盾，所以至少有一个大于，A选项正确.

B选项，当时，，所以B选项错误.

C选项，由于，所以，

所以，所以C选项错误.

D选项，依题意，①，

以替换得②，

由①②解得，所以D选项错误.

故选：A

二、多选题

10．有以下判断，其中是正确判断的有（      ）

A． 与 表示同一函数；

B．函数 的图象与直线 的交点最多有 1 个

C．函数 的最小值为 2

D．若 ，则

【答案】BD

【分析】利用两个函数的定义域可判断A；根据函数的定义可判断B；利用均值不等式等号成立的条件可判断C；将函数值代入可判断D

【详解】选项A，函数定义域，函数定义域为R，故两个函数不是同一个函数，不正确；

选项B，由函数定义，定义域中的每个只有唯一的与之对应，正确；

选项C，，等号成立的条件是

即，无解，所以等号不成立，不正确；

选项D，，正确.

故选：BD

11．下列说法正确的是（    ）

A．若的定义域为，则的定义域为

B．函数的值域为

C．函数的值域为

D．函数在上的值域为

【答案】AC

【分析】根据抽象函数的定义域的求解判断A；利用分离常数化简函数解析式，结合反比型函数的值域判断B；利用换元法，结合二次函数的性质求得其值域，判断C；利用配方法，结合二次函数的性质判断D.

【详解】对于A，因为的定义域为，所以，

解得，即的定义域为，故A正确；

对于B，，

所以，即函数的值域为，故B不正确；

对于C，令，则，，

所以，，

所以当时，该函数取得最大值，最大值为，

所以函数的值域为，故C正确；

对于D，，其图象的对称轴为直线，且，，

所以函数在上的值域为，故D不正确．

故选：AC．

12．已知，，且，则（    ）

A．的取值范围 B．的取值范围是

C． D．的最小值是

【答案】CD

【分析】对A利用基本不等式构造，解出范围即可，同时注意的前提，对B构造得到最小值，同时注意，对C把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式情形即可，对D依然把原式变为单变量，再分离常数构造基本不等式情形即可求出最值.

【详解】因为,且,所以，

当且仅当时取等号，注意到，则解得,

即,所以的取值范围为，故A错误;

又,且仅当时取等号,

解得，又，故B错误，

由,得,

所以，，

所以，

当且仅当，即或，无法取到，故，故C正确；

，

,当且仅当,即时取等号,

此时取得最小值，故D正确.

故选：CD.

【点睛】本题对基本不等式需要达到灵活运用，利用基本不等式构建一元二次不等式求范围，分离常数构造满足基本不等式的情形求解最值，同时一定要注意取等条件是否能达到.

三、填空题

13．已知集合有两个子集，则m的值是__________．

【答案】0或4

【分析】由题意得只有一个元素，对分类讨论求解

【详解】当时，，满足题意

当时，由题意得，

综上，或

故答案为：0或4

14．已知，则___________.

【答案】##

【分析】利用换元法，令，求出函数解析式，再由可求出的值.

【详解】，

设，解得，

，

，

解得.

故答案为：.

15．已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是_________.

【答案】

【分析】依题意和为方程的两根，利用韦达定理得到方程即可求出和的值，再代入解一元二次不等式即可；

【详解】因为关于x的不等式的解集为

所以和为方程的两根，

由韦达定理可得，即，解得，

故不等式即，

解得或

故答案为：

16．已知正实数满足，则的最小值为___________.

【答案】##1.8

【分析】由得，然后由“1”的代换，利用基本不等式求得最小值．

【详解】正实数满足，所以，

则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.

故答案为：．

四、解答题

17．已知集合.

(1)若，求实数的取值范围

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二次函数的性质先求出，根据两个集合的关系，判断他们没有公共部分时候的范围；

（2）可得出，根据集合的包含关系求出参数范围.

【详解】（1）根据二次函数的性质：，故，又，显然，故只有，故；

（2）根据可得，显然，于是.

18．已知关于的不等式的解集为．

(1)求，的值；

(2)当，且满足时，有恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）首先根据题意得到，为方程的根，且，再利用根系关系求解即可.

（2）首先根据题意得到，再利用基本不等式求出的最小值即可.

【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，

所以，为方程的根，且.

所以，解得，.

（2）因为恒成立，

所以即可.

因为，所以，

当且仅当，即时取等号.

所以，解得.

19．全国文明城市称号是反映中国大陆城市整体文明水平的最高荣誉称号．太原市某社区响应市委号召，在全面开展“创城”的基础上，对一块空闲地进行改造，计划建一面积为矩形休闲广场，要求既要占地最少，又要美观实用．初步决定在休闲广场的东西边缘都留有宽为2m的草坪，南北边缘都留有5m的空地栽植花木．

(1)设占用空地的面积为S（单位：），矩形休闲广场东西距离为x（单位：m，），试用x表示为S的函数；

(2)当x为多少时，占用空地的面积最少？并求最小值．

【答案】(1)；

(2)当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为．

【分析】（1）首先根据题意得到矩形广场的南北距离为，再结合矩形面积公式即可得到答案；

（2）利用基本不等式求解即可.

【详解】（1）因为广场面积须为，所以矩形广场的南北距离为，

所以；

（2）（2）由（1）知，

当且仅当，即时，等号成立．

答：当休闲广场东西距离为40m时，用地最小值为．