2022-2023学年湖北省武汉市武钢三中高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市武钢三中高一上学期12月月考数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖北省武汉市武钢三中高一上学期12月月考数学试题 一、单选题1．已知，若集合中恰有3个元素，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，可以确定集合中的元素，进而可以求出的取值范围．【详解】解：因为，且集合中恰有3个元素，所以集合，所以，故选C．【点睛】本题主要考查由集合中的元素个数求参数的取值范围，属于基础题．2．若，则下列命题不一定正确的是（    ）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】D【分析】根据不等式的性质一一判断即可求解.【详解】对于A, 因为,所以,故A一定正确;对于B,因为 ,所以,所以,故B一定正确;对于C, 因为,所以,所以,所以,故C一定正确;对于D,因为,所以,所以,所以,若则不等式成立,但若,则,故D不一定成立.故选:D.3．已知，则的充分不必要条件是A． B． C． D．【答案】B【分析】结合对数式比大小及充分条件，对四个选项一一判断，即可得结论.【详解】对于A、C选项，因为m、n与1的大小不定，所以不能判断a、b的正负，排除A、C选项；又B中，当时，,,所以成立，反之，当时，不一定有，还可以m、n都大于1，所以是的充分不必要条件，所以B可以，则D不成立，故选B.【点睛】本题考查了对数式比大小及充分条件的判断，考查了对数函数的值域问题，属于中档题.4．已知，，，则的最小值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值．【详解】已知，，，则，当且仅当 时，即当，且，等号成立，故的最小值为，故选：．【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题．5．设，则的大小关系是（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】易得，再由，利用幂函数的单调性判断.【详解】因为，且， 在上递增，所以，即，综上：故选：A6．函数与的图象关于直线对称，则的单调递增区间是（    ）A． B．C． D．【答案】B【详解】由条件求得，利用复合函数的单调性同增异减即可得解.【解答】由题意可得函数，则令，求得，故的定义域为，根据复合函数的单调性同增异减可知，即转化为求函数在上的减区间.所以由二次函数的性质可得函数在上的减区间为，故选：B.7．已知函数，且在区间上单调递减，则的取值范围是A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用复合函数单调性，分析单调性，分−1>0, ，三种情况讨论的单调性，结合函数在区间有定义，分析即得解【详解】令函数，由两个函数复合而成，由于为定义域上的增函数，故函数的单调性与的单调性相同，当−1>0,即>1时, 为减函数，故为减函数结合函数在区间有定义，则需3−×10，此时1<3；当时, 为增函数，此时，故为减函数结合函数在区间有定义，则需3−×10，此时；当时, 为减函数，此时，故为增函数不成立；综上所述,所求实数的取值范围是(−∞,0)∪(1,3].故选：D8．已知函数，设，，，则，，的大小关系为（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】先判断函数的奇偶性，再得到其单调性，然后确定，，的范围，即可得出结果.【详解】因为，所以，又定义域关于原点对称，所以为偶函数，且易知函数在上单调递增，又，，，所以，所以.故选：C.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，属于中档题. 二、多选题9．若，，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由题意，，利用对数运算逐一判断.【详解】解：由题意，，则A对；，则B对，C错；，故D对.故选：ABD.10．（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　）A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是C．的最大值是 D．的最小值是【答案】ACD【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，判断AB；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD.【详解】设，，则是增函数，且，又函数在上单调递增，在上单调递减，因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误；，故C正确；，，因此的最小值是，故D正确．故选:ACD．11．已知函数若函数恰有3个零点，则的取值可能为A． B．1 C．2 D．【答案】BC【解析】函数恰好有3个零点，等价于函数图像有三个交点，作出函数图像，结合图像即可得出答案.【详解】解：函数恰好有3个零点，等价于有三个不等实根，作出的图象如下：可得当时，的图象与有三个交点．故选：BC【点睛】根据函数零点的情况求参数有三种常用方法：（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（2）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.12．若，则（    ）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据题意结合指数幂运算和对数运算，可得，再对，，三种情况进行分类讨论，即可得到结果.【详解】由题意，原式，可变换为，即；当时，，所以，即，与相矛盾，故不符合题意；当时，，所以，所以，即；当时，，所以，所以，即，与相矛盾，故不符合题意；综上：.故选：BC. 三、填空题13．函数的零点，对区间利用两次“二分法”，可确定所在的区间为______．【答案】##【分析】根据零点存在的条件计算判断即可．【详解】解： ，，而，∴ 函数的零点在区间．又，，∴ 函数的零点在．故答案为：．14．已知函数，若，且，则的取值范围是_________．【答案】【解析】作出函数的图象，可得出，利用双勾函数的单调性可求得的取值范围.【详解】作出函数的图象如下图所示：由于，且，由图象可知，且，则，，，对于双勾函数，任取、，且，即，，，则，，，所以，双勾函数在区间上单调递减，当时，.因此，的取值范围是.故答案为：.【点睛】解本题的关键在于分析出，并将问题转化为利用双勾函数的单调性求值域，考查学生的计算能力.15．已知函数，若关于的方程有四个根，则实数的取值范围为______．【答案】【分析】分离变量，画出特定函数的图像即可.【详解】由，得令，画出图像由图可知，当时，方程有四解，即方程有四个根.故答案为:16．已知函数，若存在，使得，则的取值范围是_________．【答案】【解析】根据解析式画出图象，数形结合可得时，存在，使得，根据解析式可以求出，，所以可化成，再结合范围即可求出取值范围．【详解】解：可得函数图象如下所示由图可知，当时，存在，使得，不妨令此时，则对于、满足方程，即，所以；对于、满足方程，即，所以，则有，，其中，则，即故答案为： ．【点睛】本题考查函数的图象，函数与方程的结合，数形结合是关键，属于中档题． 四、解答题17．（1）求值：；（2）设，且，求的值.【答案】（1）19；（2）.【分析】（1）根据指数、对数的运算法则、性质化简即可；（2）根据换底公式和对数的运算性质计算即可.【详解】（1）原式；（2）∵，∴，；，∴.18．已知函数，.(1)若，求的值域；(2)若函数的最小值为，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）代入，根据指数函数与二次函数复合求值域；（2）分类讨论函数的最值情况求解.【详解】（1）解：当时，，设，得，，，，所以的值域为；（2）解：，，设，得，.当时，，解得，不符合舍；当时，，所以（不符合舍去）或当时，，解得，不符合舍；综上所述，实数的值为.19．某地方政府为鼓励全民创业，拟对本地产值在50万元到500万元的新增小微企业进行奖励，奖励方案遵循以下原则：奖金y(单位：万元)随年产值x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的15%.(1)若某企业产值100万元，核定可得9万元奖金，试分析函数y＝lg x＋kx＋5(k为常数)是否为符合政府要求的奖励函数模型，并说明原因(已知lg 2≈0.3，lg 5≈0.7)．(2)若采用函数f(x)＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．【答案】(1)不符合要求，原因见解析(2)315 【分析】（1）根据公司要选择的函数模型所要满足的条件，逐一分析，即可得出结论；（2）根据奖金（单位：万元）随年产值（单位：万元）的增加而增加，且奖金不低于7万元，同时奖金不超过年产值的，确定的范围，即可确定最小的正整数的值．【详解】（1）解：对于函数模型 为常数，时，，代入解得，所以．当，时，是增函数，但时，，即奖金不超过年产值的不成立，故该函数模型不符合要求；（2）解：对于函数模型，为正整数，函数在，递增；，解得，要使对，恒成立，即对，恒成立，所以，综上所述，，所以满足条件的最小的正整数的值为315．20．设函数.(1)求不等式的解集；(2)若函数的最大值为，正实数p，q满足，求的最小值.【答案】(1)或(2). 【分析】（1）通过分类讨论去绝对值再求解不等式即可；（2）先求出，得，即，构造基本不等式，再利用基本不等式即可求解.【详解】（1）不等式等价于或，所以或解得或，故不等式的解集为或.（2）∵，可知当时，函数单调递增，当时，函数单调递减∴，∴，∴， ，，∴，∴，当且仅当，即，时取等号.∴的最小值为.21．已知函数.（1）若为奇函数，求a的值；（2）在（1）的条件下，若在上的值域为，求m，n的值.【答案】（1）（2），【解析】（1）根据为奇函数，利用列方程，解方程求得的值.（2）求得的的定义域，判断出在定义域内为减函数，结合函数在上的值域为求得的值.【详解】（1）为奇函数，，即，，解得（舍去）.（2）由（1）知，则，即或解得，即其定义域为.时，为减函数，而在定义域内为增函数，在其定义域内是减函数.又在上的值域为，，无意义，，.即，.【点睛】本小题主要考查函数的单调性、奇偶性，考查运算求解能力，属于基础题.22．已知函数.其中，且.(1)求函数的单调区间；(2)求函数在上的最小值.【答案】(1)函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；(2)当时，；当时， . 【分析】（1）将函数的解析式去掉绝对值，转化为分段函数，求单调区间时分别在时结合二次函数求解其单调区间；（2）结合（1）中的单调区间确定函数在区间上的单调性，从而求得函数的最小值.【详解】（1）解：由题知，函数，其中当时，则函数在区间单调递减，在区间单调递增；当时，，则函数在区间递增 ∴综上，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.（2）解：因为，所以当即时，函数在递增，在递减 且 ，，若，即时，，若，即时，，当即时，函数在递增，在递减，在递增，且， ，而时，，即，所以时，，∴综上所述，当时，；当时， .