2022-2023学年湖北省十堰市柳林中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省十堰市柳林中学高一上学期12月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．命题“，”的否定形式是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【解析】由全称命题的否定为特称命题，将并否定结论即可.
【详解】由全称命题的否定知：“，”的否定为“，”，
故选：D
2．设全集，集合，，则（ ）
A．B．或
C．或D．
【答案】B
【分析】解不等式，再由交集和补集运算求解.
【详解】集合，，或，
，或
或
故选：B．
3．方程的根所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意结合零点存在性定理确定方程的根所在区间即可.
【详解】方程的根所在的区间即函数的零点所在的区间，
由于：，，
，，，
由函数零点存在性定理可得函数零点所在区间为.
故选：C
4．已知幂函数的图像过点，则（ ）
A．B．C．D．4
【答案】B
【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再代入计算可得；
【详解】解：设，依题意，所以，
所以，所以；
故选：B
5．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多
C．甲比乙先到达终点D．甲、乙两人的速度相同
【答案】C
【分析】结合图像逐项求解即可.
【详解】结合已知条件可知，甲乙同时出发且跑的路程都为，故AB错误；
且当甲乙两人跑的路程为时，甲所用时间比乙少，故甲先到达终点且甲的速度较大，
故C正确，D错误.
故选：C.
6．已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是
A．，B．，
C．，D．，
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.
【详解】从题设中提供的图像可以看出，
故得，
故选：D．
【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.
7．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，函数的图像如图所示，则不等式的解集为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】先由题意，以及函数图像，得到时，不等式的解集；再由函数奇偶性，即可求出结果.
【详解】当时，由得；由函数图像可知，；
由函数是定义在上的奇函数，
所以当时，，此时也满足；
综上，不等式的解集为.
故选A
【点睛】本题主要考查由函数奇偶性解不等式，熟记奇函数的性质即可，属于常考题型.
8．已知函数若关于x的方程有三个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．)B．C．D．
【答案】D
【分析】首先根据题意求得，在结合图像，分析的范围，即可求解.
【详解】根据的表达式，作图如下：因为为的根，且均大于，则，则，.因为有三个根，根据图像可得，则此时.则，所以的范围为.
故选：D
二、多选题
9．设正实数x，y满足2x＋y＝1，则（ ）
A．xy的最大值是B．的最小值为9
C．4x2＋y2最小值为D．最大值为2
【答案】BC
【分析】利用基本不等式求的最大值可判断A；将展开，再利用基本不等式求最值可判断B；由结合的最大值可判断C；由结合的最大值可求出的最大值可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A，，，当且仅当即，时等号成立，故A错误；
对于B，，当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，由A可得，又，，当且仅当，时等号成立，故C正确；
对于D，，所以，当且仅当，时等号成立，故D错误；
故选：BC.
10．若，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BD
【分析】构造函数，确定函数单调递增得到，取，可得A错误，根据单调性知BD正确，当，时C错误，得到答案.
【详解】由，得，令，则．
因为，在上都是增函数，所以在上是增函数，故.
取，可得，故A错误；
因为在上单调递增，所以当时，，故B正确；
当，时，，无意义，故C错误；
因为在上是减函数，且，所以，即，故D正确．
故选：BD
11．图，某池塘里的浮萍面积（单位：）与时间（单位：月）的关系式为（且，）.则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．浮萍面积每月的增长率均为100%
C．浮萍面积从蔓延到只需经过5个月
D．若浮萍面积蔓延到，，所经过的时间分别为，，，则
【答案】BCD
【分析】由函数过点和点可求出函数关系式，再根据解析式逐一判断各选项得答案．
【详解】由题意可知，函数过点和点，代入函数关系式：，且；，且，
得，解得，
函数关系式为．
由不是常数，可知浮萍每个月增加的面积不等，且，故浮萍面积每个月是上个月的2倍，每月的增长率为100%，故A错误，B正确；
令时，，令时，得：；所以C正确，
令得：；令得：；令得：，
，故D正确．
故选：BCD
12．已知定义域为R的奇函数，当时，,下列叙述正确的是（ ）
A．存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根
B．当时，有
C．当时，的最小值为1，则
D．若关于x的方程和的所有实数根之和为零，则
【答案】ABC
【分析】A选项，根据函数的奇偶性得到在R上的解析式，画出函数图象，数形结合得到当时，与的图象有7个交点，即方程有7个不相等的实数根，A正确；
由图象可得时，单调递减，从而得到B正确；
由，令，解得：，数形结合得到，C正确；
求出的所有实数根之和为，进而当时，，再结合对称性得到时，方程和的所有实数根之和为零，从而
或，D错误.
【详解】因为为定义域为R的奇函数，
当时，，故，
当时，，故，
当时，，
综上：，
画出函数的图象，如下：
存在实数k，使关于x的方程有7个不相等的实数根，理由如下：
如图1，当时，直线与的图象有5个交点，
联立与，，
由且得：，
且此时与联立，，
其中，
故时，直线与两抛物线刚好相切，故有5个交点，
则当时，与的图象有7个交点，
即关于x的方程有7个不相等的实数根，A正确；
当时，单调递减，故当时，有，B正确；
由图象可知：，令，解得：，
当时，的最小值为1，则，C正确；
令，当时，，设两根为，则，
当时，，解得：，
故的所有实数根之和为，
当时，，
故当时，方程和的所有实数根之和为零，
由对称性可知时，方程和的所有实数根之和为零，
综上：或，D错误.
故选：ABC
【点睛】数形结合在研究函数与方程方面具有重要作用，通常函数零点，方程的根及两函数的交点可互相转化进行求解，本题中实数根个数问题，要转化为两函数与的交点个数问题，再同一平面直角坐标系中画出与的图象，用数形结合的思想求解.
三、填空题
13．函数的定义域为______.
【答案】
【分析】结合分式型，二次根号型函数的定义即可求解.
【详解】由题知，，所以的定义域为，
故答案为：.
14．已知，，．若是的必要不充分条件，且是的充分不必要条件，则实数的取值范围为_____．
【答案】
【分析】可分别求出为真时对应的的集合，利用充分、必要条件结合集合之间的包含关系得参数的不等关系，运算求解.
【详解】命题，则，
，则，
，则，
∵命题是命题的必要不充分条件，且是的充分不必要条件，
∴，且，
可得：，解得：，
所以的取值范围.
故答案为：.
15．已知函数的值域为，则实数的取值范围是_____．
【答案】
【分析】分类讨论和，结合已知和对数函数及一次函数的单调性，得关于的不等式组求解即可．
【详解】解：若，则，则当时，函数，
当时，，
，的值域是，满足条件.
若，则当时，函数，
要使的值域为，则要求当时，是减函数，
且满足，即，得，此时，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
四、双空题
16．已知函数若关于x的方程有4个不相等的实数根a，b，c，d，则的取值范围是___________，的取值范围是___________.
【答案】
【分析】画出的图像，设，由题意即可得，且，由此即可求出与的取值范围.
【详解】函数的图象如图所示，
若方程有4个不相等的实数根a，b，c，d，则，
不妨设，则，
易得，且，则，
因为在上单调递增，
所以，即的取值范围是.，
因为在上单调递减，
所以，即的取值范围是.
故答案为：；.
五、解答题
17．化简与求值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)4
【分析】（1）根据根式与分数指数幂的关系，结合指数运算法则运算即可；
（2）按照对数运算法则和对数换底公式求解即可.
【详解】（1）解：原式；
（2）解：
．
18．已知幂函数的图像过点．
(1)求的解析式，并用定义证明其在定义域内的单调性；
(2)解关于t的不等式．
【答案】(1)；证明见解析
(2)或
【分析】（1）设，代入点可得其解析式，再任取，通过计算的正负来证明的单调性；
（2）先证明是奇函数，再利用奇偶性将不等式进行转化，然后利用单调性去掉，解一元二次不等式即可.
【详解】（1）设，将点代入解析式得，解得，
任取，
，又
，即
的上为增函数
（2），
是奇函数，
所以不等式等价于，
又因为在上为增函数，
所以，即，解得：或，
所以该不等式的解集为或
19．已知是定义在上的奇函数，且当时，．
(1)求的解析式；
(2)画出的图象并写出单调区间．
【答案】(1)
(2)作图见解析，函数的减区间为，增区间为，
【分析】（1）根据函数是定义在上的奇函数，由已知时，，求时函数解析式即可；
（2）直接利用函数解析式画分段函数图象，结合图象即可判断单调区间.
【详解】（1）解：当时，，设，则，
，
又是定义在上的奇函数，，
，
（2）解：由得函数图象如下图：
根据图象得出函数的减区间为，增区间为，．
20．已知函数，且．
(1)求函数的定义域和零点；
(2)若，且，求实数的取值范围．
【答案】(1)定义域是，函数的零点是2；
(2)
【分析】（1）对数型函数的定义域即：真数大于0解不等式.
（2）由得在是增函数，进而由定义域和单调性列式子即可得结果.
【详解】（1）函数的定义域是，
令，则，解得：，
∴函数的零点是2；
（2）∵，∴，
∴，∴函数在是增函数，
∵，
∴，解得：．
故m的范围为.
21．已知全集，集合，.
(1)若，求实数a的取值范围；
(2)若，均有，直接写出实数a的取值范围；
(3)若，且，直接写出实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出集合，由集合的包含关系分类讨论确定参数范围；
（2）由可得；
（3）先求命题的否定，为真时即时的范围，然后再求这个范围在实数集中的补集即得．
【详解】（1）由题意，.
∵，∴
当，即，即时，符合题意；
当，即时，由，得或，得.
综上，实数a的取值范围为.
（2）若，均有，时，满足题意，
时，，解得，所以，
综上，，即的取值范围是；
（3）若，且，它的否定是，，
先求，则时的范围，
这样若，即时，满足题意，
在时，或，或，所以，
综上或，
因此原命题，且，为真时，的范围是即．
22．某种股票类理财产品在过去的一个月内（以30天计，包括第30天），第天每份的交易价格（元）满足，第天的日交易量（万份）的部分数据如下表所示：
(1)给出以下两种函数模型：①，②.请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述该股票类理财产品日交易量（万份）与时间第天的函数关系（简要说明理由），并求出该函数的关系式；
(2)根据（1）的结论求出该股票类理财产品在过去一个月内第天的日交易额的函数关系式，并求其最小值．
【答案】(1)选择②，，理由见解析；
(2)，最小值为元.
【分析】（1）运用待定系数法求出函数解析式再进行选择；
（2）根据题意求出分段函数的表达式，然后进行分类讨论出两部分的最小值，比较之后较小的满足题意.
【详解】（1）对于函数，根据题意，把点，代入可求得，
此时，点、均不在函数的图象上；
对于函数，根据题意，把点，代入可求得，
此时，点、均在函数的图象上；
所以，．
（2）依题意得，
所以，
当时，，
当且仅当时等号成立；
当时，函数单调递减，
此时，
综上所述，当时，该产品在过去一个月内的日交易额最小值为元．
第（天）
1
2
5
10
（万份）
20
15
12
11