2022-2023学年湖北省武汉市高一上学期期末模拟（三）数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖北省武汉市高一上学期期末模拟（三）数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年湖北省武汉市高一上学期期末模拟（三）数学试题

一、单选题
1．已知集合，若，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先求出，因为，
根据集合的包含关系，分情况讨论得解.
【详解】，且，
当为空集时，，解得；
当不是空集时，，解得.
综上可知，实数的取值范围是.
故选：C.
2．已知角，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据，结合可得，，进而解得，再代入求解即可.
【详解】，因为角，即和，.
因此可得，，，解得或2（舍去），因此．
故选：B
3．已知正实数a，b，c满足，当取最小值时，下列说法正确的是（    ）
A．a＝4b B．
C．的最大值为 D．的最大值为
【答案】D
【分析】利用基本不等式求出，此时，，判断出AB错误；
再利用的关系得到，配方后求出最大值，判断CD选项.
【详解】因为正实数a，b，c满足，所以，
由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，
即，解得：，故，
的最小值为3，此时，A错误；
，B错误；
，
所以的最大值为，C错误，D正确.
故选：D
4．已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则t的取值范围是（    ）
A． B． C．或 D．或
【答案】B
【解析】先根据幂函数定义解得m，再根据单调性进行取舍，根据任意存在性将问题转化为对应函数值域包含问题，最后根据函数单调性确定对应函数值域，根据值域包含关系列不等式解得结果.
【详解】由题意，则，即，
当时， ，
又当时， ，
∴，解得，
故选：B．
【点睛】对于方程任意或存在性问题，一般转化为对应函数值域包含关系，即
的值域包含于的值域；
的值域与的值域交集非空．
5．已知，设关于的不等式的解集为，若，则实数的取值范围是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由题意得在上，函数的图象应在函数的图象的下方，分类讨论，利用数形结合的方法研究即可求解
【详解】 ，
由题意得在上，函数的图象应在函数的图象的下方．
①当时，显然不满足条件．
②当时，函数的图象是把函数的图象向左平移个单位得到的，函数在上单调递增，图象不满足函数的图象在函数的图象下方．

③当时，如图所示：

在为减，在为增，
的图象由的图象向右平移的单位得到，
当时的图象在的图象下方，
发现只需当时成立即可满足条件，

即 ，
结合 化简得 故 ，
解得，故此时的范围为．
综上可得的范围为．
故选：A．
6．若对任意，总存在，使得成立，则m的最小值是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出，从而得到，
再利用函数的单调性求出的值域为，比较端点值，列出不等式组，
求出m的最小值.
【详解】因为，所以，则为对勾函数，
在处取得最小值，，
又因为，，
所以．
由，得．
又函数在上单调递增，则的值域为，
即的值域为，
则，解得．
故选：B
7．牛顿冷却定律描述一个事物在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，则经过一定时间后的温度满足，其中是环境温度，称为半衰期，现有一杯80℃的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在55℃．经测量室温为25℃，茶水降至75℃大约用时1分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待（    ）（参考数据：，，）
A．4分钟 B．5分钟 C．6分钟 D．7分钟
【答案】C
【分析】根据已知条件代入公式计算得到，再把该值代入，利用对数的运算即可求得结果.
【详解】根据题意，，即
设茶水从降至大约用时t分钟，则，
即，即
两边同时取对数：
解得，所以从泡茶开始大约需要等待分钟
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，解题的关键是熟练运用对数的运算公式，考查学生的审题分析能力与运算求解能力，属于基础题.
8．已知函数，若的零点个数为4个时，实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出函数的大致图象，令，由图可知，当时，无解，当时，有一解，当，或时，有两解，当时，有3解，由题意可得有两不相等的非零实根，设为，，则或或,，再结合二次函数图象分类讨论即可得出结论．
【详解】解：作出函数的大致图象得，

令，由图可知，
当时，无解，
当时，有一解，
当，或时，有两解，
当时，有3解，
∵函数有4个零点，
∴有两不相等的非零实根，设为，，
则或或,，
令，，

①当时，
由图可知，即，解得；
②当时，
由图可知，即，无解；
③当，时，
由图可知，即，解得，
综上：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查复合函数的零点问题，二次方程根的分布问题，数形结合思想的应用，属于难题．

二、多选题
9．若p：，则p成立的一个充分不必要条件是（    ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】解出不等式，然后根据条件p成立的一个充分不必要条件，转化为子集关系，即可得到结果.
【详解】，解得或
又

则p成立的一个充分不必要条件是和
故选:CD.
10．用表示非空集合中的元素个数，定义.已知集合，，若，则实数的取值可能是（    ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】先分析，又由，分析易得或3，即方程有1个根或3个根，分析方程的根的情况，可得可取的值，即可得答案．
【详解】根据题意，已知，，则，
又由，则或3，
即方程有1个根或3个根；
若，则必有或，
若，则或，
当时，，，符合题意；
当时，对应的根为0和；
故①需有两等根且根不为0和，
当△时，，
，此时，，，，符合题意；
，此时，，，，符合题意；
②当是的根时，解得；
，此时，，，，符合题意；
，此时，1，，，符合题意；
综合可得：可取的值为0，，，
故选：ABD
【点睛】本题考查集合的表示方法，关键是依据的意义，分析集合B中元素的个数，进而分析方程的根的情况．
11．已知函数f(x)满足：当时，，下列命题正确的是（    ）
A．若f(x)是偶函数，则当时，
B．若，则在上有3个零点
C．若f(x)是奇函数，则
D．若，方程在上有6个不同的根，则k的范围为
【答案】BC
【分析】解出当时的解析式可判断A；由在上的零点结合对称性可判断B；求得在上的值域，进而可判断C；作出函数在上的简图，由数形结合可判断D.
【详解】对于选项A：若是偶函数，当时，，故A错误；
对于选项B：令得，即，解得或. 由知函数图象关于直线对称，所以，故在上有3个零点. 故B正确；
对于选项C：当时，，所以时，；当时，，故当时，. 若是奇函数，则当时，，又，所以当时，. 故对，.故C正确；
对于选项D：即，所以或. 由知函数的周期为3，作出函数在上的简图，由图可知，有2个根，依题意得必有4个根，由图可知. 故D错误.
故选：BC.

【点睛】关键点点睛：判断选项D的关键点是：作出函数在上的简图，数形结合求得的取值范围.
12．已知函数在区间上的最大值为，最小值为，令，则下列结论中正确的是（    ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为1 D．当时，
【答案】AB
【分析】应用同角平方关系、二倍角余弦公式得，A将代入求区间，根据正弦型函数的性质即可求，B、C讨论与的递增区间的关系，结合已知区间的长度为，分析不同情况下的的取值范围，进而确定最大、小值，D由题设知，或，，结合区间长度即可求t.
【详解】．
A：当时，由，得，此时，
∴，，于是，正确．
由可得，所以函数的单调递增区间为．
当，即时，则有，而，
∴，即．
当，即时，．
∵函数的最小正周期，而区间的长度为，即，
∴由正弦函数的图象与性质可知，的最大值为，最小值为，故B正确，C错误．
D：当时，必有，或，，由于区间的长度为，即，所以，即，错误．
故选：AB
【点睛】关键点点睛：求解最值的关键是想到将区间放到函数的单调递增区间上和函数的关于对称轴对称的区间上考虑；判断D的关键是能够结合的值域和的取值得到，或，，从而得到结果．

三、填空题
13．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．
【详解】解：∵函数的定义域是R，
∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，
即ax＞对于任意实数x恒成立，
当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；
当x＞0时，则a＞＝，
∵x＞0，∴，则≥，
则≤，可得a＞；
当x＜0时，则a＜，
∵x＜0，∴，则＞1，
则＞1，可得a≤1．
综上可得，实数a的取值范围是．
故答案为：．
14．已知函数，，a为常数.若对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，则实数a的取值范围是___________.
【答案】[0，1]##
【分析】可根据已知条件，构造函数，通过分类讨论得到的解析式，然后利用二次函数的对称轴确定其单调性，列式求解即可.
【详解】对于任意x1，x2∈[0，2]，且x1＜x2，都有，即，令，即只需在[0，2]上单调递增即可，
当时，，函数图象恒过；
当时，；
当时，；
要使在区间[0，2]上单调递增，则当时，的对称轴
，即；
当时，的对称轴，即；
且,
综上
故答案为：[0，1].
15．设函数，其中，若且图象的两条对称轴间的最近距离是．若是的三个内角，且，则的取值范围为__________．
【答案】
【分析】利用两角差的余弦函数公式及余弦函数的图象和性质可求，，结合范围，可求，由题意可求周期为，利用周期公式可求，从而可得函数解析式，由题意可得，结合范围，可解得，从而，利用三角函数恒等变换的应用可将化为，结合范围，利用正弦函数的图象和性质即可求其取值范围．
【详解】解：由题知，，
，得，，
，取，得，
函数图象的两条对称轴间的最近距离是，
周期为，得，
得．
由，得，
是的内角，，
，得，
，从而．
由
，
，，
，即，，
因此，的取值范围是．
故答案为：.
【点睛】本题考查了两角差的余弦函数公式，正弦函数、余弦函数的图象和性质，周期公式，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想．

四、双空题
16．已知函数.当时，则的单调递增区间为_____________. 设函数，若是的零点，直线是图象的对称轴，且在区间上无最值，则的最大值为_____________.
【答案】          7
【分析】利用三角恒等变换化简函数，把代入求出单调增区间即得；求出，利用给定条件探讨的关系及范围即可求解作答.
【详解】依题意，，
当时，，由得，
，所以的单调增区间为.
，依题意，，，
则有，而，即有，因在区间上无最值，
则的周期，即，当时，，
而，则，，，当时，，
因此当，即时，取得最小值，不符合题意，
当时，，而，则，，，
当时，，而，因此在上单调，无最值，
所以的最大值为7.
故答案为：；7

五、解答题
17．从①“充分不必要条件”、②“必要不充分条件”两个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，并解答下列问题: 已知集合，．
(1)若，求；
(2)若存在正实数，使得“”是“”成立的 ，求正实数的取值范围．
（注:如果选择两个条件分别解答，按第一个解答记分）
【答案】(1)
(2)答案见解析

【分析】（1）先分别化简两个集合，再利用并集运算求解；
（2）若选①，则是的真子集．若选②，则是的真子集，根据集合的包含关系，列不等式，即可求解的取值范围.
【详解】（1）解：，
因，则．
当时，，
所以．
（2）选①  因“”是“”成立的充分不必要条件，
则是的真子集．
所以．经检验“=”满足．
所以实数的取值范围是．
选②  因为“”是“”成立的必要不充分条件，
所以是的真子集．
所以，经检验“=”满足．
所以实数的取值范围是．
18．已知函数
（1）设，若不等式对于任意的x都成立，求实数b的取值范围；
（2）设，解关于x的不等式组；
【答案】（1）
（2）当时,不等式组的解集为,
当时,不等式组的解集为.
【分析】(1)由当时,恒成立,即恒成立，
即，可得，再求解即可；
(2)当时,,的图象的对称轴为，再分三种情况讨论即可得解.
【详解】解：(1)当时,恒成立,即恒成立，
因为,
所以,解之得,
所以实数 的取值范围；
(2)当时,,的图象的对称轴为，
(ⅰ)当,即时,由,得,
(ⅱ)当,即或时
①当时,由,得,所以,
②当时,由,得,所以或,
(ⅲ)当,即或时,方程的两个根为,,
①当时,由知,所以的解为或,
②当时,由知,所以的解为,
综上所述：
当时,不等式组的解集为,
当时,不等式组的解集为.
【点睛】本题考查了不等式恒成立问题及解二次不等式，重点考查了分类讨论的数学思想方法，属中档题.
19．已知函数的图象关于直线对称.
(1)若的最小正周期为，求的解析式；
(2)若是的零点，且在上单调，求的取值集合.
【答案】(1)；
(2).

【分析】（1）根据给定条件，利用正弦函数性质求出即可作答.
（2）根据函数的零点，及图象的对称轴，求出的表达式，再结合单调性确定范围，讨论验证即可作答.
【详解】（1）因的最小正周期为，则，解得，
因的图象关于直线对称，有，，而，则，，
所以函数的解析式是.
（2）因为函数的零点，为函数图象的对称轴，
则有，，，因此， ，
又，于是得，即为正奇数，
因在上单调，则函数的周期，解得，
当时，，，而，则，，
当时，，显然，即时，取得最大值，
因此函数在上不单调，不符合题意，
当时，，，而，则，，
当时，，而，因此函数在上单调，符合题意，
当时，，，而，则，，
当时，，而，因此函数在上单调，符合题意，
所以的取值集合是.
20．已知函数，.
(1)若的定义域为，值域为R，求a的值；
(2)若，且对任意的，当时，总满足，求a的取值范围.
【答案】(1)0；
(2)

【分析】（1）利用定义域为可得到恒成立，能得到，又因为的值域为R，所以能得到，即可得到答案；
（2）对求导可判断在上为减函数，将问题转化成对任意的恒成立，令，求出的最小值即可得到答案
【详解】（1）因为的定义域为，
所以对任意，恒成立，即恒成立，
因为所以，所以；
因为的取值范围是，
因为的值域为R，所以，
所以，
综上可知，.
（2）由可得，
所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以函数在上为减函数，
当时，满足，
则，
所以，即对任意的恒成立，
设，，
因为对称轴为，
所以函数在上单调递增，
所以，
所以，即a的取值范围是.
【点睛】方法点睛：根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，分离参数后构造的新函数，直接求出最值点的情况，进行求解
21．《湿地公约》第十四届缔约方大会部级高级别会议11月6日在湖北武汉闭幕，会议正式通过“武汉宣言”，呼吁各方采取行动，遏制和扭转全球湿地退化引发的系统性风险.武汉市某企业生产某种环保型产品的年固定成本为2000万元，每生产x千件，需另投入成本（万元）.经计算若年产量x千件低于100千件，则这x千件产品成本；若年产量x千件不低于100千件时，则这x千件产品成本.每千件产品售价为100万元，设该企业生产的产品能全部售完.
(1)写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，企业所获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】(1)；
(2)年产量为105千件，最大利润是1000万元.

【分析】（1）年利润为销售收入减去生产成本，分情况讨论计算即可.
（2）当时，根据二次函数单调性求最大值；当时，根据基本不等式求最大值，继而求出最大值.
【详解】（1）当时，；
当时，，
所以.
（2）当时，，当时，取得最大值950，
当时，，
当且仅当，即时取等号，而，
所以当该企业年产量为105千件时，所获得利润最大，最大利润是1000万元.
22．已知函数．
（1）求的定义域；
（2）若，求的值域；
（3）设，函数，若对于任意，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）；（3）或．
【解析】（1）由，计算即可求得定义域；
（2）由，，进而可求即可求得的值域；
（3）由题意可知在上的值域是函数值域中与一一对应这一部分区域的子集，讨论对称轴与的关系即可求得结果.
【详解】（1）由
∴的定义域为
（2）当时，，，，所以的值域为．
（3）若对于任意，总存在唯一的，使得成立，
则在上的值域是函数值域中与一一对应这一部分区域的子集．
①当时，在时有，，又，
即当时有时与一一对应，
由（2）知：任给，，
则，
与，矛盾，舍去；
②当时，在时有，，
则有与矛盾，舍去．
③当时，在时有，，
则有．
又，故的取值范围是或；
④时，，不成立
综上所述：的取值范围是或．
【点睛】关键点睛：在上的值域是函数值域中与一一对应这一部分区域的子集是解答本题的关键，注意动轴定区间的讨论.