2022-2023学年湖南省常德市鼎城区第一中学高一实验班上学期12月月考数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年湖南省常德市鼎城区第一中学高一实验班上学期12月月考数学试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据集合的新定义确定集合中的元素.
【详解】因为，，，
所以，
故集合中的元素个数为3，
故选：C.
2．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据命题是真命题，由，恒成立求解.
【详解】因为命题“，”是真命题，
所以，恒成立，
所以，
结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是，
故选：B
3．已知，且是方程的两实数根，则，，m，n的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图像特点，结合图像平移变换即可得到答案.
【详解】∵，为方程的两实数根，∴，为函数的图像与x轴交点的横坐标，
令，∴m，n为函数的图像与x轴交点的横坐标，易知函数的图像可由的图像向上平移2022个单位长度得到，
所以.
故选:C.
4．若函数 在区间内没有最值，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意可得函数在区间内单调，故可先求出函数的单调区间，再根据区间为单调区间的子集得到关于的不等式组，解不等式组可得所求．
【详解】解：函数的单调区间为，
由，
得．
函数 在区间内没有最值，
函数 在区间内单调，，

解得由，得．
当时，得，
当时，得，又，故，
综上得的取值范围是
故选A
5．已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据偶函数的性质及区间单调性可得上单调递增且，进而确定的区间符号，讨论、求解集即可.
【详解】由题设，上单调递增且，
所以、上，上，
对于，
当，即或，可得；
当，即，可得；
综上，解集为.
故选：A
6．对于函数，如果存在区间，同时满足下列条件：
①在内是单调的；②当定义域是时，的值域也是，则称是该函数的“和谐区间”若函数存在“和谐区间”，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】函数在区间是单调的，由，可得、是方程的两个同号的不等实数根，由，解不等式即可.
【详解】由题意可得若函数在区间是单调的，
所以，或，，
则，，
故、是方程的两个同号的不等实数根，
即方程有两个同号的不等实数根，注意到，
故只需，解得，
结合，可得.
故选：D
7．已知锐角终边上一点A的坐标为，则角的弧度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先根据定义得正切值，再根据诱导公式求解
【详解】，
又，为锐角，
∴ ，
故选：A.
8．设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由最多有2个根，可得至少有4个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.
【详解】最多有2个根，所以至少有4个根，
由可得，
由可得，
（1）时，当时，有4个零点，即；
当，有5个零点，即；
当，有6个零点，即；
（2）当时，，
，
当时，，无零点；
当时，，有1个零点；
当时，令，则，此时有2个零点；
所以若时，有1个零点.
综上，要使在区间内恰有6个零点，则应满足
或或，
则可解得a的取值范围是.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.
二、多选题
9．下列选项中，正确的有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ACD
【分析】根据对数运算法则和对数函数的单调性，结合基本不等式、对勾函数的单调性判断．
【详解】，所以，A正确；
因为，所以，即，B错误；
，C正确；
由于对勾函数在上是减函数，，
所以，即，D正确．
故选：ACD．
10．已知，关于x的不等式的解集可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】分，利用一元二次不等式的解法求解.
【详解】当时，不等式等价于，解得；
当时，不等式的解集是；
当时，不等式等价于，解得或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式等价于，解得或．
故选:BCD．
11．已知函数，，则下列结论正确的是（ ）
A．，恒成立，则实数a的取值范围是
B．，恒成立，则实数a的取值范围是
C．，，则实数a的取值范围是
D．，，
【答案】AC
【分析】对于选项A，B，C求出函数和的最值，即可判断出正误；对于选项D，根据函数和函数值域间的包含关系判断正误．
【详解】解：对于A选项，，恒成立，又为减函数，
所以，A选项正确；
对于B选项，，恒成立，即，又为减函数，所以，B选项不正确；
对于C选项，函数的图像为开口向上的抛物线，所以在对称轴处取最小值，在离对称轴最远处取最大值，所以，若，，则实数a的取值范围是，C选项正确；
对于D选项，，，即要求的值域是值域的子集，而的值域为，值域为，不满足要求，D选项不正确；
故选：AC.
12．如图，已知函数（其中，，）的图象与轴交于点，与轴交于点，，，.则下列说法正确的有（ ）
A．的最小正周期为12B．
C．的最大值为D．在区间上单调递增
【答案】ACD
【分析】由题意可得：，，可得，，，的坐标，根据，可得方程，进而解出，，．判断出结论．
【详解】由题意可得：，，，
，，，，，
，，把代入上式可得：，.解得，，可得周期，，，解得.可知：不对，，，解得，函数，可知正确.
时，，可得：函数在单调递增.
综上可得：ACD正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题的关键是表示点的坐标，并利用两点间距离表示等量关系后，求解各点的坐标，问题迎刃而解.
三、填空题
13．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数a的取值范围为______.
【答案】####
【分析】先由题意得到“，”为真命题，讨论和两种情况，即可求出结果.
【详解】命题“，”为假命题，则其否定“，”为真命题.
当时，集合，符合.
当时，因为，
所以由，，得对于任意恒成立，
又，所以.
综上，实数a的取值范围为.
故答案为：.
14．已知函数的定义域是R，则实数a的取值范围是___．
【答案】
【分析】问题转化为ax＞对于任意实数x恒成立，然后对x分类，再由配方法求最值，即可求得实数a的取值范围．
【详解】解：∵函数的定义域是R，
∴+ax＞0对于任意实数x恒成立，
即ax＞对于任意实数x恒成立，
当x＝0时，上式化为0＞﹣1，此式对任意实数a都成立；
当x＞0时，则a＞＝，
∵x＞0，∴，则≥，
则≤，可得a＞；
当x＜0时，则a＜，
∵x＜0，∴，则＞1，
则＞1，可得a≤1．
综上可得，实数a的取值范围是．
故答案为：．
15．已知函数，则使不等式成立的的取值范围是_______________
【答案】
【分析】由奇偶性定义可判断出为偶函数，结合复合函数单调性的判断可得到在上单调递增，由偶函数性质知其在上单调递减，利用函数单调性解不等式即可求得结果.
【详解】由，解得：或，故函数的定义域为，
又，
为上的偶函数；
当时，单调递增，
设，，
在上单调递增，在上单调递增，
在上单调递增，又为偶函数，在上单调递减；
由可知，解得．
故答案为：.
【点睛】方法点睛：本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，解决此类问题中，奇偶性和单调性的作用如下：
（1）奇偶性：统一不等式两侧符号，同时根据奇偶函数的对称性确定对称区间的单调性；
（2）单调性：将函数值的大小关系转化为自变量之间的大小关系.
16．若定义域为的函数满足：对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，也能构成三角形三边长，则m的最大值为______．（是自然对数的底）
【答案】##
【分析】不妨设三边的大小关系为：，利用函数的单调性，得出，，的大小关系，作为三角形三边则有任意两边之和大于第三边，再利用基本不等式求出边的范围得出的最大值即可.
【详解】在上严格增，所以 ，不妨设，
因为对任意能构成三角形三边长的实数，均有，，
也能构成三角形三边长，所以，
因为，所以，
因为对任意都成立，所以，所以，所以，
所以，所以m的最大值为．
故答案为：.
四、解答题
17．已知，求下列各式的值：
（1） ；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用同角的三角函数关系，将两边同时平方先求出，再求出；
（2）利用（1）的结论，结合立方差公式求；
（3）由和（1）的结论联立求出和，求出，将原式弦化切后再代入求值．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
又，
∴，，
∴；
（2）由（1）可知，，
∴；
（3）∵，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查同角的三角函数关系以及齐次式的化简求值，考查计算能力，属于基础题．
18．已知函数=lgax，=lga(2x+m2)，其中x∈[1,3]，a>0且a≠1，m∈R.
（1）若m=6且函数F=+的最大值为2，求实数a的值.
（2）当a>1时，不等式<2在x∈[1,3]时有解，求实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题设可得，讨论、，结合已知最大值求参数a，注意判断a值是否符合题设.
（2）由对数函数的性质可得，再由对数函数的单调性可得，利用二次函数的性质求不等式右边的最小值，即可得m的取值范围.
【详解】（1），，则，.
当时，，所以；
当时，，所以，不合题意.
综上，.
（2）要使在上有意义，则，解得.
由，即，又，
∴，即，得.
令，，记，对称轴，
∴，故.
综上，.
19．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）2．
【分析】（1）根据幂函数的定义求得，由单调性和偶函数求得得解析式；
（2）由偶函数定义变形不等式，再由单调性去掉函数符号“”，然后求解；
（3）由基本不等式求得最小值．
【详解】解析：（1）．，
，
（）
即或
在上单调递增，为偶函数
即
（2）
，，，
∴
（3）由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
20．2020年春节前后，一场突如其来的新冠肺炎疫情在武汉出现并很快地传染开来（已有证据表明2019年10月、11月国外已经存在新冠肺炎病毒），对人类生命形成巨大危害．在中共中央、国务院强有力的组织领导下，全国人民万众一心抗击、防控新冠肺炎，疫情早在3月底已经得到了非常好的控制（累计病亡人数人），然而国外因国家体制、思想观念的不同，防控不力，新冠肺炎疫情越来越严重．疫情期间造成医用防护用品短缺，某厂家生产医用防护用品需投入年固定成本为万元，每生产万件，需另投入成本为．当年产量不足万件时，（万元）；当年产量不小于万件时，（万元）．通过市场分析，若每件售价为元时，该厂年内生产的商品能全部售完．（利润销售收入总成本）
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式；
（2）年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大?并求出利润的最大值．
【答案】（1）；（2）年产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，利润的最大值为万元．
【分析】(1)由利润销售收入总成本写出分段函数的解析式即可；
（2）利用配方法和基本不等式分别求出各段的最大值，再取两个中最大的即可.
【详解】（1）当，时，
．
当，时，
．
．
（2）当，时，，
当时，取得最大值（万元）
当，时，
当且仅当，即时等号成立．
即时，取得最大值万元．
综上，所以即生产量为万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大为万元．
21．已知，函数，其中.
（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；
（2）求函数的最大值（可以用表示）；
（3）若对区间内的任意，，若有，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）；（3）.
【分析】（1）由题设得，则，代入可得.
（2）由（1）知，的最大值即为的最大值，讨论、、时在上的单调性，即可得对应的最大值.
（3）将问题转化为，结合（2）所得单调性，求的范围.
【详解】（1）由题意，，而，则，
∴，显然，则，且，
∴，；
（2）的最大值，即的最大值.
①时，在递减，；
②时，在递增，；
③时，在递增，递减，；
综上，
（3）由题意，，即，；
①时，在递减，
则：；
②时，在递增，
则：；
③时，在递增，递减，，
则：：
综上，.
【点睛】关键点点睛：第二问，要求的最大值，即求的最大值，讨论参数a结合的区间单调性写出最大值；第三问，将问题转化为，结合所得单调性求参数范围即可.
22．对于函数，若其定义域内存在实数满足，则称为“伪奇函数”．
（1）已知函数，试问是否为“伪奇函数”？说明理由；
（2）若幂函数使得为定义在上的“伪奇函数”，试求实数的取值范围；
（3）是否存在实数，使得是定义在上的“伪奇函数”，若存在，试求实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）不是；（2）；（3）．
【分析】（1）先假设为“伪奇函数”，然后推出矛盾即可说明；
（2）先根据幂函数确定出的解析式，然后将问题转化为“在上有解”，根据指数函数的值域以及对勾函数的单调性求解出的取值范围；
（3）将问题转化为“在上有解”，通过换元法结合二次函数的零点分布求解出的取值范围.
【详解】（1）假设为“伪奇函数”，存在满足，
有解，化为，无解，
不是“伪奇函数”；
（2）为幂函数，，，
，
为定义在的“伪奇函数”，
在上有解，
在上有解，
令，在上有解，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
且时，，时，，
，的值域为，
，；
（3）设存在满足，即在上有解，
在上有解，
在上有解，
令，取等号时，
在上有解，
在上有解（*），
，解得，
记，且对称轴，
当时，在上递增，
若（*）有解，则，，
当时，在上递减，在上递增，
若（*）有解，则，即，此式恒成立，，
综上可知，.
【点睛】关键点点睛：解答本题（2）（3）问题的关键在于转化思想的运用，通过理解“伪奇函数”的定义，将问题转化为方程有解的问题，利用换元的思想简化运算并完成计算.