2022-2023学年湖北省仙桃市重点中学高一上学期12月月考数学试题（Word版含答案）

这是一份2022-2023学年湖北省仙桃市重点中学高一上学期12月月考数学试题（Word版含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，，则（ ）
A.B.C.D.
2.“”是“幂函数在上是减函数”的一个（ ）条件
A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要
3.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A.B.
C.D.
4.已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A.B.C.D.
5.已知（且，且），则函数与的图像可能是（ ）
A.B.
C.D.
6.已知函数（且）的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x，y的方程，则的最小值为（ ）
A.8B.24C.4D.6
7.设是定义域为的奇函数，且.若，则（ ）
A.B.C.D.
8.已知函数，，，用表示，中的较大者，记为，若的最小值为，则实数的值为（ ）
A.0B.C.D.
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，得全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.若函数的图像在上连续不断，且满足，，，则下列说法错误的是（ ）
A.在区间上一定有零点，在区间上一定没有零点
B.在区间上一定没有零点，在区间上一定有零点
C.在区间上一定有零点，在区间上可能有零点
D.在区间上可能有零点，在区间上一定有零点
10.下列说法正确的是（ ）
A.命题“，”的否定是“，”
B.函数与的图象关于对称
C.为奇函数
D.函数单调递增区间为，
11.关于函数，下列结论中正确的是（ ）
A.当时，是增函数B.当时，的值域为
C.当时，是奇函数D.若的定义域为，则
12.定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（ ）
A.方程有且仅有三个解B.方程有且仅有三个解
C.方程有且仅有九个解D.方程有且仅有一个解
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13.方程的一根大于1，一根小于1，则实数的取值范围是__________.
14.若，且，则实数的值为______.
15.已知函数为上奇函数，当时，，则时，__________.
16.已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数a的取值范围是______.
四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）计算：
（2）已知，求的值.
18已知集合，.
（1）若，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的____________，求正实数的取值范围.
从“①充分不必要条件，②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答.
19.设且，函数的图象过点.
（1）求的值及的定义域；
（2）求在上的单调区间和最值.
20.已知定义在上的函数是奇函数.
（1）求，的值：
（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
21.某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元.设使用该设备前年的总盈利额为万元.
（1）写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由.
22.已知为偶函数，为奇函数，且满足.
（1）求、；
（2）若方程有解，求实数的取值范围；
（3）若，且方程有三个解，求实数取值范围.
仙桃市重点中学2022-2023学年高一上学期12月月考
数学答案
1.【详解】∵，∴.故选：C.
2.【详解】由题意，当时，在上是减函数，故充分性成立；若幂函数在上是减函数，则，解得或，故必要性不成立.因此“”是“幂函数在上是减函数”的一个充分不必要条件.故选：A
3.【详解】由题意得：，解得：，由，解得：，
故函数的定义域是，故选：B.
4.【详解】解：因为函数为减函数，所以，
又因为，所以.故选：A.
5.【详解】，即为，即有.
当时，，函数与均为减函数，四个图像均不满足
当时，，函数与均为增函数，排除ACD
在同一坐标系中的图像可能是B，故选：B.
6.【详解】因为函数图象恒过定点
又点的坐标满足关于，的方程，
所以，即
所以，
当且仅当即时取等号；
所以的最小值为4.故选：C.
7.【详解】由题意可得：，
而，故.故选：C.
8.【详解】依题意，先作两个函数，，的草图，
因为，故草图如下：
可知在交点出取得最小值，
令，得，
故，代入直线，得，故.故选：B.
9.【详解】由题知，所以根据函数零点存在定理可得在区间上一定有零点，又，无法判断在区间上是否有零点，在区间上可能有零点.故选：ABD
10.【详解】因为命题“，”的否定是“，”，故A错误；
函数与互为反函数，故其图象关于对称，故B正确；
因为，可知定义域为关于原点对称，又，
故函数为奇函数，故C正确；因为，所以函数的单调递增区间为，，故D正确.故选：BCD.
11.【详解】当时，，由函数单调递增，函数在上单调递增，所以在上单调递增，故A正确；
因为，，，所以，故B错误；
当时，定义域为，而，
所以是奇函数，故C正确；
若的定义域为，则恒成立，即，
因为，当且仅当，即时取等号，所以，故D正确.故选：ACD.
12.【详解】解：对于A中，设，则由，即，
由图象知方程有三个不同的解，设其解为，，，
由于是减函数，则直线与函数只有1个交点，
所以方程，，分别有且仅有一个解，所以有三个解，故A正确；
对于B中，设，则由，即，
由图象可得有且仅有一个解，设其解为，可知，
则直线与函数只有2个交点，所以方程只有两个解，所以方程有两个
解，故B错误；对于C中，设，若，即，方程有三个不同的解，
设其解为，，，设，则由函数图象，可知，，
由图可知，直线和直线分别与函数有3个交点，
直线与函数只有1个交点，
所以或或共有7个解，所以共有七个解，故C错误；
对于D中，设，若，即，
由图象可得有且仅有一个解，设其解为，可知，
因为是减函数，则直线与函数只有1个交点，
所以方程只有1解，所以方程只有一个解，故D正确.故选：AD.
【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：
（1）确定内层函数和外层函数；
（2）确定外层函数的零点；
（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为，则函数的零点个数为.
13.【详解】∵方程的一根大于1，另一根小于1，
令，则，解得.
故答案为：.
14.【详解】由题设，，，所以，
则.故答案为：18.
15.【详解】当时，，则，
因为函数为奇函数，所以，即.
所以当时，.
故答案为：.
16.【详解】解：设函数，的值域为，函数，的值域为B，
因为对任意，都存在唯一的，满足，
则，且B中若有元素与A中元素对应，则只有一个.
当时，，
因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，
当时，，
①当时，，，
此时，∴，解得，
②当时，，此时在上是减函数，取值范围是，
在上是增函数，取值范围是，
∴，解得，
综合得.故答案为：.
17.【详解】（1）原式
；
（2）因为，所以，所以，
所以.
18.【小问1详解】
因，则.
当时，，所以.
【小问2详解】选①因“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集.
所以.经检验“=”满足.所以实数的取值范围是.
选②因为“”是“”成立的必要不充分条件，所以B是A的真子集.
所以，经检验“=”满足.所以实数的取值范围是.
【小问1详解】∵函数的图象过点，
∴，∴，即，又且，∴，
要使有意义，则，
∴的定义域为；
【小问2详解】，令
∵，∴的最大值为4，此时，且在单调递增，单调递减
∴在上的单调增区间为，单调减区间为，最大值为2.
19.【小问1详解】∵函数的图象过点，
∴，∴，即，又且，∴，
要使有意义，则，∴的定义域为；
【小问2详解】，令
则的单调增区间为，单调减区间为，
由的最大值为4，此时，则的最大值为，
则的最小值为.
20【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，
可得，解得，所以，
又由，可得，解得，所以函数的解析式为.
（2）不等式恒成立，即恒成立，
因为，可得，所以，
令，则，且.
所以恒成立，令，则函数在区间上是减函数，
因为，所以.即实数的取值范围.
21.【小问1详解】由题意可得
，
由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利.
【小问2详解】方案二更合理，理由如下：
方案一：由（1）知，总盈利额，
当时，取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为万元；
方案二：由（1）可得，平均盈利额为，
当且仅当，即时等号成立；
即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元.
综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适.
22.【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，
即，所以，，解得；
（2）由可得，
令，当且仅当时，等号成立，则，故有，其中，令，其中，则函数在上有零点，
①当时，即当时，则在上单调递增，所以，，不合乎题意；
②当时，即当时，则有，解得，此时.
综上所述，实数的取值范围是；
（3），
作出函数的图象如下图所示：
由可得，
由图可知，方程有两个不等的实根，
由题意可知，方程有且只有一个根，故或，解得或.
因此，实数的取值范围是.