2022-2023学年湖南省株洲市攸县第三中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年湖南省株洲市攸县第三中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，则M∩N＝（    ）

A．{0，－1} B．{1} C．{0} D．{－1，1}

【答案】B

【分析】利用集合之间的交集运算即得结果.

【详解】因为集合M＝{－1，1}，N＝{－2，1，0}，所以M∩N＝{1}.

故选：B.

【点睛】本题考查了集合之间的交集运算，属于简单题.

2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】依次判断每个选项中两个函数的定义域和解析式是否完全相同，由此可得结果.

【详解】对于A，与定义域均为，，与为相等函数，A正确；

对于B，定义域为，定义域为，与不是相等函数，B错误；

对于C，定义域为，定义域为，与不是相等函数，C错误；

对于D，定义域为，定义域为，与不是相等函数，D错误.

故选：A.

3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．

【详解】由题意得：，解得：，

由，解得：，

故函数的定义域是，

故选：B．

4．设x>0，且1<bx<ax，则（    ）

A．0<b<a<1 B．0<a<b<1

C．1<b<a D．1<a<b

【答案】C

【分析】利用指数函数的性质，结合x>0，即可得出结论.

【详解】∵x>0时，1<bx，

∴b>1.

又x>0时，bx<ax，

∴x>0时，.

∴，

∴a>b，

∴1<b<a.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了指数函数的性质.属于容易题.

5．已知函数在[-2，1]上具有单调性，则实数k的取值范围是（）

A．k≤-8 B．k≥4 C．k≤-8或k≥4 D．-8≤k≤4

【答案】C

【解析】根据二次函数的单调性和对称轴之间的关系，建立条件求解即可.

【详解】函数对称轴为，

要使在区间[-2，1]上具有单调性，则

或，∴或

综上所述的范围是：k≤-8或k≥4.

故选：C.

6．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的解集可得不等式对应的方程的解，从而可求出的值，故不等式即为，从而可求其解，从而得到正确的选项．

【详解】∵不等式的解集是，

∴是方程的两根，

∴，解得.

∴不等式为，

解得，

∴不等式的解集为.

故选：A.

【点睛】本题考查一元二次不等式的解、三个二次的关系，这个关系是：不等式对应的解的端点是对应方程的根，是二次函数的图像与轴交点的横坐标.本题属于基础题．

7．已知，函数，，若的最大值为M，最小值为N，则（    ）

A．0 B．2 C． D．1

【答案】B

【分析】根据构造函数为奇函数，得到与的关系即可求得结果．

【详解】设函数，

则，故为奇函数，

∴在上的最大值与最小值之和为0，

∵，

∴．

故选：B．

8．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据题意对二次项系数分类，结合二次函数图像的特征列出关系式，求解即可.

【详解】解：当时，对一切实数都成立，故符合题意；

当时，要使不等式对一切实数都成立，

则，

综上可得，即；

故选：C.

二、多选题

9．，且，则m可能的取值为（    ）

A．0 B． C． D．

【答案】ABC

【分析】由题可得，然后讨论集合B是否为空集，求解即得.

【详解】由得或，

所以，

∵，

∴，

①时，，满足；

②时，，又，

所以或，

∴或．

综上，实数m的值可以为0或或.

故选：ABC．

10．下列各选项给出的两个函数中，表示相同函数的有（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】BC

【解析】分别求出四个答案中两个函数的定义域和对应法则是否一致，若定义域和对应法则都一致即是相同函数.

【详解】对于：，两个函数的对应法则不一致，所以不是相同函数，故选项不正确；

对于：与定义域和对应关系都相同，所以是相同函数，故选项正确；

对于：与定义域都是，，所以两个函数是相同函数，故选项正确

对于：定义域是，定义域是，两个函数定义域不同，所以不是相等函数，故故选项不正确；

故选：

【点睛】本题主要考查了判断两个函数是否为相同函数，判断的依据是两个函数的定义域和对应法则是否一致，属于基础题.

11．下列说法正确的是（    ）

A．函数（且）的图像恒过定点

B．若不等式的解集为或，则

C．函数的最小值为6

D．函数的单调增区间为

【答案】BD

【分析】选项A，根据指数函数的性质即可判断；

选项B，根据一元二次不等式的性质即可判断；

选项C，根据基本不等式的性质，验证等号成立的条件，即可判断；

选项D，根据复合函数的单调性即可判断.

【详解】选项A，函数（且）的图像恒过定点为，与不符，故A错；

选项B，不等式的解集为或，故必有，

解得，进而得到，故B正确；

选项C，，当且仅当，方程无解，故等号不可成立，故C错误；

选项D，函数是复合函数，由和，以及，三个函数复合而成，故所求函数的单调增区间为函数的单调递减区间，且要求，而函数的单调递减区间为，又因为，故，解得，得，综上，函数的单调增区间为，故D正确

故选：BD

12．下列命题中为真命题的是（    ）

A．设,若,则

B．若,则

C．若正数满足,且,则

D．若,则

【答案】BCD

【分析】对于A,取一个反例即可,对于B,分情况讨论大小即可,对于C,根据等式化简,根据不等式找范围,求值,对于D,将写成的形式,然后分别用基本不等式,注意取等条件.

【详解】解:由题知,对于选项A,当时,满足,

但是,所以选项A错误;

对于选项B,当时,可化为,即,所以成立,

当时,不等式成立,也成立,

当时,不等式不成立,舍,

当时,不等式可化为,

即,即,所以成立,

当时,要想成立,,此时成立,

当时,要想成立,,此时成立,

综上,成立,所以选项B正确;

对于选项C,

,

,

,

即,

即,此时若想成立,,故选项C正确;

对于选项D,

,

当且仅当,即时取等,

当且仅当,即时取等,

,

当且仅当,即时取等,

故,选项D正确,

故选:BCD.

三、填空题

13．______．

【答案】0

【分析】直接由对数和指数的运算性质计算即可.

【详解】.

故答案为：0.

【点睛】本题主要考查了对数和指数的运算，属于基础题.

14．若二次函数满足，且图象过原点，则的解析式为__________________.

【答案】

【分析】利用待定系数法，可得结果.

【详解】设，由题可知

所以，则

故答案为：

【点睛】本题考查函数的解析式的求法，对这种题型，要熟悉基本方法，比如：待定系数法，换元法，方程组法等，属基础题.

15．若偶函数在，上为增函数，则不等式的解集__________.

【答案】（﹣3，）

【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论.

【详解】解：偶函数在上为增函数，

在上为减函数，

则不等式等价为，

即，

平方得，

解得，

故答案为：

【点睛】本题主要考查不等式的求解，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化是解决本题的关键，属于中档题.

四、双空题

16．使命题“若，则”为假命题的一组，的值分别为__________，_________.

【答案】     1     （答案不唯一）

【分析】只要，，原命题都是假命题.

【详解】若命题“若，则”为假命题，

则可使，，命题为假命题,

可设.

故答案为：1，（答案不唯一）

五、解答题

17．已知集合 ，集合．

(1)求，；

(2)求的所有子集，并求出它的非空真子集的个数．

【答案】(1)；

(2)子集为，，，，非空真子集有2个

【分析】（1）确定集合A的元素，根据集合的交集和并集运算求得答案;

（2）根据的元素，即可写出其子集，进而确定真子集的个数.

【详解】（1）由题意得，，

所以，；

（2）因为，所以其子集有：，，，，

非空真子集有2个.

18．已知函数，且

(1)求解析式；

(2)判断并证明函数在区间的单调性.

【答案】(1)；

(2)单调递增，证明见解析.

【分析】（1）由题得且，解方程组即得解；

（2）利用单调性的定义判断证明即可.

【详解】（1）解：且，解得.

所以函数的解析式为.

（2）解：

∵.

∵，

，所以，

所以，所以函数在单调递增.

19．已知．

(1)若m＝0，求x+y的最小值；

(2)若，求xy的最小值．

【答案】(1)16

(2)64

【分析】（1）根据题意整理可得，根据基本不等式中“1”的灵活运用运算求解；（2）根据题意整理可得，结合不等式运算求解.

【详解】（1）若m＝0，则，即，

则，

当且仅当，即时等号成立，

故x+y的最小值为16.

（2）若，则，即，

∵，则，

又∵，当且仅当时等号成立，即，

整理得：，解得或（舍去），

故xy的最小值为64.

20．已知函数（其中且），其中，为实数.

(1)若函数的图象过点，.求的值域；

(2)若函数的定义域和值域都是，求的值

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数的图象经过点和，列出方程组，求得的值，得到，进而得到，结合指数函数与二次函数的性质，即可求解.

（2）根据指数型函数的单调性，分类讨论，根据题意列出方程组，求得的值，即可求解.

【详解】（1）解：由题意，函数的图象经过点，，

可得，解得，，所以，

则，即，

因为，

当，即时，函数取得最小值，最小值为

所以的值域为.

（2）解：①当时，可得在上单调递增，

所以，即，解得，，所以.

②当时，可得在上单调递减，

所以，即，解得，（舍去），

综上可得，的值为.

21．高邮市清水潭旅游景点国庆期间，团队收费方案如下：不超过40人时，人均收费100元；超过40人且不超过()人时，每增加人，人均收费降低元；超过人时，人均收费都按照人时的标准．设景点接待有名游客的某团队，收取总费用为元．

（1）求关于的函数表达式；

（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求的取值范围．

【答案】（1）；（2）见解析

【分析】(1)根据收费标准，分，分别求出与的关系即可；(2)由（1) 当时，，，随增大而增大． 当时，当时，，随增大而增大，根据二次函数的性质，即可解决问题.

【详解】（1）当时，；        

当时，；

当时，．

（2）当时，，随增大而增大，

当时，．

，随增大而增大．

当时，

，  

当时，随增大而增大；当时，随增大而减小

，

当时，，随增大而增大．

综上所述，当时，景点收取的总费用随着团队中人数增加而增加

【点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).

22．已知二次函数)满足，且.

(1)求函数的解析式；

(2) 令，求函数在∈[0，2]上的最小值．

【答案】（1），（2）

【详解】试题分析：（1）据二次函数的形式设出f（x）的解析式，将已知条件代入，列出方程，令方程两边的对应系数相等解得．

（2）函数g（x）的图象是开口朝上，且以x=m为对称轴的抛物线，分当m≤0时，当0＜m＜2时，当m≥2时三种情况分别求出函数的最小值，可得答案．

试题解析：

（1）设二次函数一般式（），代入条件化简，根据恒等条件得，，解得，，再根据，求.（2）①根据二次函数对称轴必在定义区间外得实数的取值范围；②根据对称轴与定义区间位置关系，分三种情况讨论函数最小值取法.

试题解析：

（1）设二次函数（），

则

∴，，∴，

又，∴.

∴

（2）①∵

∴.

又在上是单调函数，∴对称轴在区间的左侧或右侧，∴或

②，，对称轴，

当时，；

当时，；

当时，

综上所述，