2022-2023学年吉林省长春市协作校高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年吉林省长春市协作校高一上学期期中考试数学试题（解析版），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省长春市协作校高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】解一元二次不等式化简集合，再利用集合交集的定义求解即可.【详解】由解得，所以，所以，故选：A.2．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（    ）A． B．C． D．，且【答案】B【分析】根据指对幂函数的单调性与奇偶性依次讨论个选项即可得答案.【详解】解：对于A选项，，为偶函数，故错误；对于B选项，，为奇函数，且函数均为减函数，故为减函数，故正确；对于C选项，指数函数没有奇偶性，故错误；对于D选项，函数为奇函数，在定义域上没有单调性，故错误.故选：B3．已知，则（    ）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为，，即，所以．故选：C. 4．下列命题中真命题的个数有（   ）①；②；③命题“，”是真命题；④是奇函数.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】配方得到，①正确，取计算得到②正确，恒成立，③错误，计算知是奇函数，④正确，得到答案.【详解】对于①，恒成立，所以①正确；对于②，当时，，所以成立，所以②正确；对于③，恒成立，③错误；对于④，令，则，所以是奇函数，所以④正确.故选：C5．设，则的大小关系是（  ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意利用指数函数的性质和对数函数的性质确定a,b,c的范围即可比较其大小关系.【详解】由题意可知：，则：.故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质，指数函数的性质，实数比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．函数的零点所在的大致区间的A． B． C． D．【答案】B【分析】函数是单调递增函数，则只需时，函数在区间（a，b）上存在零点.【详解】函数 ,在x>0上单调递增， ， 函数f（x）零点所在的大致区间是；故选B【点睛】本题考查利用函数零点存在性定义定理求解函数的零点的范围，属于基础题；解题的关键是首先要判断函数的单调性，再根据零点存在的条件：已知函数在（a，b）连续，若 确定零点所在的区间.7．已知是奇函数，在区间上是增函数，又，那么的解集是（    ）A．或 B．或C．或 D．或【答案】D【分析】由奇函数的性质结合已知条件可得在内也是增函数，，然后分，和三种情况求解即可【详解】解：是奇函数，，且在内是增函数，，且在内是增函数，因为，所以①当时，原不等式可化为，又在内是增函数，所以，②当时，原不等式可化为，又在区间上是增函数，所以③当时，，与矛盾，所以不是不等式的解，综上，的解集是或.故选：D.8．已知函数f(x)是偶函数，且f(x)在上是增函数，若，则不等式的解集为（    ）A．{x|x>2} B． C．{或x>2} D．{或x>2}【答案】C【分析】利用函数的奇偶性和单调性将不等式等价为，进而可求得结果.【详解】依题意，不等式，又在上是增函数，所以，即或，解得或.故选：C. 二、多选题9．下列函数中，与函数是同一函数的是（    ）A． B．y=t+1 C． D．【答案】BD【分析】函数的定义域是.选项AC函数与已知函数的定义域不同，所以不是同一函数，选项BD满足同一函数的定义，所以是同一函数.【详解】解：两个函数只有定义域和对应关系分别相同，两个函数才是同一函数.函数的定义域是.的定义域为与的定义域不同，所以不是同一函数；与的对应关系、定义域都相同，所以两个函数为同一函数；与的定义域不同，所以两个函数不是同一函数；与的对应关系、定义域都相同，所以函数为同一函数.故选：BD．10．已知函数，若，则实数的值（    ）A． B．3 C．2 D．【答案】ABC【分析】根据分段函数的解析式分别进行求解即可.【详解】若，由得，得，符合题意；若，由得，得或（不符合，舍去），故符合题意；若，由得，得，，符合题意.故实数的值为或2或3.故选：ABC.11．若函数（，且）的图像不经过第二象限，则需同时满足（    ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】根据指数型函数的图像分布，列式可解得.【详解】因为函数 (,且)的图像不经过第二象限，即可知图像过第 一、三、四象限，或过第一，三象限及原点，所以其大致图像如图所示：由图像可知函数为增函数，所以，当时，，故选：AD.【点睛】本题考查了指数函数的图像，考查数形结合思想，属于基础题.12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他的阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名了“高斯函数”．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数．例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的有（    ）A．是偶函数 B．是奇函数C．的值域是 D．是上的减函数【答案】AC【分析】利用奇偶性定义判断奇偶性，且，讨论、得到的解析式，进而判断的奇偶性、值域、单调性.【详解】显然，是偶函数，由，当，即或时，，，当，即时，，，∴，∴为偶函数，的值域为．故选：． 三、填空题13．函数的图像恒过一定点______．【答案】【分析】根据对数函数的性质可得结论．【详解】由函数图像的平移公式，我们可得：将函数的图像向右平移2个单位，再向上平移3个单位即可得到函数的图像．又函数的图象恒过点，由平移向量公式，易得函数的图像恒过点故答案为：14．已知幂函数在上单调递减，则___________.【答案】【分析】由系数为1解出的值，再由单调性确定结论．【详解】由题意，解得或，若，则函数为，在上递增，不合题意．若，则函数为，满足题意．故答案为：．15．已知函数，若在上单调递减，则的取值范围为______．【答案】【分析】由题意可得，解不等式组即可得出答案.【详解】由题意得,即，解得：．所以的取值范围为.故答案为：.16．已知，若方程有四个根且，则的取值范围是______.【答案】【分析】作出函数的图象，结合图象得出，，得到，结合指数函数的性质，即可求解.【详解】由题意，作出函数的图象，如图所示，因为方程有四个根且，由图象可知，，可得，则，设，所以，因为，所以，所以，所以，即，即的取值范围是.故答案为：.【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中作出函数的图象，结合图象和指数函数的性质求解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及推理与运算能力. 四、解答题17．计算：(1)；(2)．【答案】(1)；(2)3. 【分析】（1）根据指数的运算法则与性质求解；（2）根据对数的运算法则与性质求解.【详解】（1）原式.（2）原式.18．（1）已知，求的最小值；（2）已知x，y是正实数，且，求：①的最小值；②的最小值．【答案】（1）7；（2）①；②.【分析】（1）由基本不等式，利用凑分母的方法，可得答案；（2）根据基本不等式的“1”的妙用，可得答案.【详解】解：（1）因为，所以，由基本不等式可得：，当且仅当即时取得等号．（2）①因为，所以当且仅当时，即时取等号．②当且仅当即时取号．19．已知函数是定义在R上的增函数，并且满足(1)求的值.(2)判断函数的奇偶性.(3)若，求x的取值范围.【答案】(1)0;(2)奇函数;(3). 【分析】(1) 令,即可得答案；(2) 令y=－x,结合(1)的结论即可判断；(3)由题意可得，，则原不等式等价于，由是定义在R上的增函数求解即可.【详解】（1）解：令, 得，解得；（2）解：因为函数的定义域为R， 令y=－x,则有，即，∴，∴函数为奇函数，∴为奇函数；（3）解：因为，所以，又因为，即有，即，又因为为增函数， 解得，故x的取值范围为.20．已知指数函数的图像经过点.(1)求的值；(2)当时，求函数的值域.【答案】(1)(2) 【分析】（1）将点代入指数函数中求出的值（2）换元法令，将函数化为二次函数，利用二次函数性质求出函数的值域【详解】（1）∵函数的图像经过点，∴，得.（2）令，，则，∵，∴，所以在上单调递增，故当时，，当时，，故当时，的值域为.21．已知函数是偶函数．当时，．(1)求函数的解析式；(2)若函数在区间上单调，求实数的取值范围；(3)当时，记在区间上的最小值为，求的表达式．【答案】(1)(2)或．(3) 【分析】（1）设，则，求得，结合函数为偶函数，即可求解；（2）由的图象可得的单调区间，可得或根据包含关系列不等式即可求解；（3）分和结合的图象以及单调性求的最小值即可求解.【详解】（1）设，则，可得，又由为偶函数，所以，所以当时，所以.（2）作出函数的图象如图：可得的增区间为，，减区间是，，又函数在区间上具有单调性，所以或，即或，解得：或，故实数的取值范围是或．（3）当时，，此时，当时，在区间上单调递增，所，所以.22．已知函数（，）（1）当时，求函数的定义域；（2）当时，求关于的不等式的解集；（3）当时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）；（3）.【分析】（1）由ax-1＞0，得ax＞1 下面分类讨论：当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0即可求得f（x）的定义域（2）根据函数的单调性解答即可；（3）令，可知在[1，3]上是单调增函数，只需求出最小值即可．【详解】本题考查恒成立问题．（1）当时，，故：，解得：，故函数的定义域为；（2）由题意知，（），定义域为，用定义法易知为上的增函数，由，知：，∴.（3）设，，设，，故，，故：，又∵对任意实数恒成立，故：.【点睛】本题主要考查对数函数有关的定义域、单调性、值域的问题，属于中档题．