2022-2023学年江苏省百校大联考高一上学期12月阶段测试数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省百校大联考高一上学期12月阶段测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】解一元二次不等式得集合，根据补集的概念结合绝对值不等式的解法可得，根据集合间的关系以及集合的运算即可得结果.

【详解】由，可得，所以，

由，可得，所以，

所以是的真子集，所以.

故选：C.

2．使不等式成立的一个充分不必要条件可以为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据充分不必要条件以及不等式的解法即可判断求解.

【详解】由题可得

不等式可化为，解集为.

对于A，与无包含关系，

所以是使不等式成立的既不充分也不必要条件，

故A错误；

对于B，是使不等式成立的充要条件，

故B错误；

对于C，与无包含关系，

所以是使不等式成立的既不充分也不必要条件，

故C错误；

对于D，因为真包含于，

所以使不等式成立的一个充分不必要条件可以为，

故D正确.

故选:D.

3．函数的单调递增区间是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先求出函数的定义域，进而根据“同增异减”求得答案.

【详解】由，得，则的定义域为.

令，则在上单调递减，而当时，为增函数，当时，为减函数，故的单调递增区间是

故选：C

4．已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的大致图象是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】先求出函数的解析式，再求出函数的定义域和奇偶性得解.

【详解】解：设幂函数的解析式为，因为该幂函数的图象经过点，

所以，即，解得，即函数，也即，

设，

则函数的定义域为所以排除选项BC.

又，

所以函数为偶函数，图象关于轴对称，所以排除选项A.

故选：D

5．世纪，在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”.已知，设，则所在的区间为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可.

【详解】因为.6644，所以.

故选：C

6．设是满足的实数，那么（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】利用特殊值法，结合完全平方公式逐一判断即可.

【详解】对于，满足，则，故A不正确.

对于B，因为，所以，所以，所以，所以B正确.

对于C，，满足，则，此时，故C不正确.

对于，满足，则，此时，故不正确.

故选：B

7．黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小､密度大､吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”.任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数､奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据“数字黑洞”的定义，任取一个数字串,确定“数字黑洞”，根据三角函数的诱导公式计算，可得答案.

【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过第一步之后为314，

经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即，

则,

故选:A.

8．设函数若关于的方程有四个实根，且，则的最小值为（    ）

A． B．8 C． D．16

【答案】B

【分析】由分段函数画出图象，可确定，，即，借鉴基本不等式和放缩即可求得.

【详解】作出的大致图象，如图所示.

易得，其中.

因为，即，其中，

所以，

当且仅当时，等号成立，此时.

又因为，，

当且仅当时，等号成立，此时，

所以的最小值是8.

故选：B

二、多选题

9．下列命题为真命题的是（    ）

A．不论取何实数，命题“”为真命题

B．不论取何实数，命题：“二次函数的图象关于轴对称”为真命题

C．“四边形的对角线垂直且相等”是“四边形是正方形”的充分不必要条件

D．“”是“”的既不充分也不必要条件

【答案】ABD

【分析】结合一元二次函数和一元二次不等式的性质可判断AB；根据充分条件、必要条件的概念可判断CD.

【详解】对于，关于的一元二次方程满足，

即有不等实根，显然，即，

因此不等式的解集为，

当时，，故A正确.

对于，二次函数图象的对称轴为直线，即轴，故B正确.

对于，对角线垂直且相等的四边形不一定是正方形可能为菱形，反之成立.故错误.

对于，令，则，即充分性不成立，

令，则，而，故必要性也不成立，

即“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确.

故选：ABD.

10．一般地，对任意角，在平面直角坐标系中，设的终边上异于原点的任意一点的坐标为，它与原点的距离是.我们规定：比值分别叫作角的余切､余割､正割，分别记作，把分别叫作余切函数､余割函数､正割函数.下列叙述正确的有（    ）

A．

B．

C．的定义域为

D．

【答案】ACD

【分析】根据题目对余切､余割､正割的定义，结合三角函数同角三角函数的关系、诱导公式、函数的性质即可求解.

【详解】对于，故A正确；

对于，故B错误；

对于C，，

其定义域为，故C正确；

对于D，

，当时，等号成立，故D正确.

故选：ACD.

11．下列说法正确的是（    ）

A．函数且的图象恒过定点

B．若关于的不等式的解集为或，则

C．函数的最小值为6

D．若，则

【答案】BD

【分析】根据指数幂的运算性质，结合一元二次不等式的性质、基本不等式、不等式的性质逐一判断即可.

【详解】对于A，函数且的图象恒过定点，故错误.

对于，关于的不等式的解集为或，故必有

，进而得到，故B正确.

对于，当且仅当时取等号，

方程无解，等号不成立，故C错误.

对于，所以，故D正确.

故选：BD

【点睛】关键点睛：判断运用基本不等式时要考虑等号成立的条件是解题的关键.

12．设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也叫取整函数.令函数，以下结论正确的有（    ）

A．

B．为奇函数

C．

D．的值域为

【答案】AC

【分析】根据题中定义，结合奇函数的性质、函数的周期的性质逐一判断即可.

【详解】对于，故正确.

对于，取.1，则，而，故，所以不为奇函数，故B错误.

对于，故C正确.

对于，由可知，为周期函数，且周期为1，

当时，，当时，，

当时，；

当时，，则的值域为，故D错误，

故选：AC

【点睛】关键点睛：根据题中定义进行求解是解题的关键.

三、填空题

13．请写出能够说明“存在两个不相等的正数，使得”是真命题的一组有序数对：为__________.（答案不唯一）

【答案】（答案不唯一）

【分析】对已知等式进行变形，利用代入法进行求解即可.

【详解】因为，所以由，显然，

当时，，

故这样的有序实数对可以是（），

故答案为：

14．已知，则__________.

【答案】

【分析】先利用诱导公式得到，从而代入即可得解.

【详解】因为，，

所以.

故答案为：.

15．已知正实数，则的最小值为__________.

【答案】

【分析】利用不等式进行求解即可.

【详解】，

当且仅当且时，取等号，

即当且仅当时，等号成立，

故答案为：

四、双空题

16．对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”.若函数，则的“不动点”为__________，将的“稳定点”的集合记为，即，则集合__________.

【答案】     ；     .

【分析】根据不动点、稳定点的定义，通过解方程进行求解即可.

【详解】空一：令，得或.

空二：由，且，得，即，也即，解得.

故答案为：；

五、解答题

17．已知，且满足__________.从①；②；③这三个条件中选择合适的一个，补充在上面的问题中，然后作答.

(1)求的值；

(2)若角的终边与角的终边关于轴对称，求的值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）先仔细审题，抓住题目中的关键信息，选一个条件，所以我们学生只需选择一个条件即可，现在我们三种情形都运用同角三角比之间的关系解一下；（2）角的终边与角的终边关于轴对称，则这两个角的正弦值相等，余弦值互为相反数，代入消去后可得答案.

【详解】（1）若选择①.因为，所以，

则.

若选择②.因为，所以，即，

则，所以.

若选择③.因为，所以，又，所以.

又因为，所以，

所以.

（2）角与角均以轴的正半轴为始边，它们的终边关于轴对称，

则，即，

所以.

由（1）得，

所以.

18．已知函数.

(1)解关于的不等式；

(2)若关于的不等式的解集为，求的最小值.

【答案】(1)答案见解析

(2)36

【分析】（1）先利用因式分解得到，再分类讨论解含参二次不等式即可；

（2）由二次不等式解的性质，结合韦达定理及判别式得到与，再利用基本不等式“1”的妙用即可求得的最小值.

【详解】（1）因为，

所以，即，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

（2）因为，即的解集为，

所以关于的方程有两个不等的正根，

所以，解得，

则，

所以，

因为，所以，

当且仅当且，即时，等号成立，

此时，符合条件，则，

综上，当且仅当，时，取得最小值36.

19．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国在控制住疫情后，一方面防止境外疫情输人，另一方面逐步复工复产，减少经济衰退对企业和民众带来的损失.为了进一步增强市场竞争力，某企业计划在2023年利用新技术生产某款手机.经过市场分析，生产此款手机全年需投人固定成本250万，每生产（单位：千部）手机，需另投人可变成本万元，且由市场调研知，每部手机售价万元，且全年生产的手机当年能全部销售完.（利润=销售额一固定成本一可变成本）

(1)求2023年的利润（单位：万元）关于年产量（单位：千部）的函数关系式.

(2)2023年的年产量为多少（单位：千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)2023年的年产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润是8070万元

【分析】（1）根据利润=销售额一固定成本一可变成本，分类讨论进行求解即可；

（2）根据二次函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.

【详解】（1））.

①当时，；

②当时，.

故

（2）若，

当时，.

若，

当且仅当时取等号，

即当且仅当时，等号成立.

当时，

故2023年的年产量为90千部时，企业所获利润最大，最大利润是8070万元.

20．已知函数对一切实数，都有成立，且，函数.

(1)求的解析式；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)根据令即可求解；(2)分别求出的值域和的值域，根据值域之间的包含关系求解.

【详解】（1）令，则由已知得，

所以，

则，

此时，

，

既满足，

所以.

（2）当时，.

当时，，设，

因为，所以，当且仅当时，等号成立，

所以.

综上，的值域为.

令，

记的值域为，则.

，

得，

所以解得.

故的取值范围为.

21．已知是二次函数，且满足.

(1)求的解析式.

(2)已知函数满足以下两个条件：①的图象恒在图象的下方；②对任意恒成立.求的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】对于（1），由待定系数法可得答案.

对于（2），由题可得，令，得.

又由任意恒成立，可得关系.最后用表示出，可得答案.

【详解】（1）设，由，得.

由，

得，

整理得，

所以，解得

所以.

（2）由题可得，

令，则，故.

对任意，即恒成立，则且

所以，又，得.

则，

当且仅当时，等号成立，

此时成立，即的图象恒在图象的下方，符合题意.

所以的最大值为.

【点睛】关键点点睛：本题主要涉及二次函数，（1）问较为基础，要解决（2）问，关键在于消元，首先是通过令，得，再由分解因式知识得.

22．已知函数.

(1)若方程有4个不相等的实数根.求证：.

(2)是否存在实数，使得在区间上单调，且的取值范围为？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)证明见解析

(2)存在，

【分析】（1）令，根据其为单调递增函数，由方程有4个不相等的实数根，得到有4个不相等的实数根求解；

（2）易得在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，根据题意，分， ， ，时求解.

【详解】（1）证明：令，方程有4个不相等的实数根，

即有4个不相等的实数根，其中，

即，所以，

即或，

因为方程有4个不相等的实根，

所以由根与系数的关系得，

所以，

得.

（2）解：如图，可知在上单调递减，在上单调递增，

在上单调递减，在上单调递增.

①当时，在上单调递减，则

化简得，

因为，所以上式不成立，即无解，所以不存在.

②当时，在上单调递增，则

所以关于的方程，即在内有两个不等的实根.

令，则，

结合图象可知，.

③当时，在上单调递减，

则，化简得，所以，即.

由

即关于的方程在内有两个不等的实根，

也即在内有两个不等的实根，

所以，即.

④当时，在上单调递增，则

关于的方程，即在内有两个不等的实根.

令，则，

函数在上单调递增，没有两解，不符合题意.

综上所述，的取值范围为.