2022-2023学年江苏省连云港市高一上学期期末模拟（一）数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省连云港市高一上学期期末模拟（一）数学试题

一、单选题

1．已知集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出集合A，再求交集.

【详解】由

又

故选：A

【点睛】本题考查解二次不等式和集合的交集运算，属于基础题.

2．命题“，”的否定为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】根据特称命题的否定格式改写即可.

【详解】特称命题的否定格式：首先特称量词改为全称量词，结论改为原结论的反面，

故原命题的否定为：，

故选:C

3．是成立的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】利用充分条件和必要条件的定义即可判断，进而得出正确答案.

【详解】由即，等价于，解得:或，

由或，得不出，

由可得出或，

所以或是的必要不充分条件，

即是成立的必要不充分条件，

故选：B.

4．已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　）

A． B． C．2 D．

【答案】B

【分析】先根据幂函数定义得，再确定的图像所经过的定点为，代入解得的值.

【详解】由于为幂函数，则，解得：，则；

函数，当 时，，

故的图像所经过的定点为，

所以，即，解得：,

故选：B.

5．已知，，，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】利用与和比较大小，可得的大小关系.

【详解】，，，

所以可得.

故选：A.

6．函数的定义域为（    ）

A． B．

C．且 D．且

【答案】D

【分析】根据函数解析式有意义的要求列不等式求函数定义域.

【详解】由函数解析式有意义可得

且，

所以函数的定义域是且，

故选：D.

7．已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由求得，．可得函数的一个减区间为，．再由，求得的范围．

【详解】函数在上单调递减，

设函数的周期，．

再由函数满足，，

求得，．

取，可得，

故函数的一个减区间为，．

再由，求得，

故选：．

【点睛】函数的单调区间的求法：若,把看作是一个整体，由求得函数的减区间，由求得增区间

8．已知，且，那么（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据，且得，再根据同角三角函数关系求解即可得答案.

【详解】解：因为，，

故， ，

又，

解得：

故选：B

【点睛】本题考查同角三角函数关系求函数值，考查运算能力，是基础题.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若且，则 B．若且，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】BD

【解析】举出反例判断A和C，利用不等式的性质判断B和D即可.

【详解】对于A：当，时，无法得到，故A错误；

对于B：若，则，，，又，

所以，所以，故B正确；

对于C：当，，时，，无法得到，故C错误；

对于D：若，则，又，所以，所以，故D正确.

故选：BD.

【点睛】方法点睛：不等式大小比较的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果，（2）作商（常用于分数指数幂的代数式），（3）平方法，（4）有理化，（5）利用函数的单调性，（6）寻找中间量或放缩法，（7）图象法.

10．给出如下命题，下列说法正确的是（    ）

A．是的必要不充分条件；

B．且是的充分不必要条件；

C．是的充分不必要条件；

D．是的充分不必要条件.

【答案】BD

【分析】利用充分性和必要性的定义逐一判断即可．

【详解】解：可以推出，但是不能推出，比如是负数时，所以是的充分不必要条件，故A错误；

且可以推出，但是不能推出且，比如时，所以且是的充分不必要条件，故B正确；

不能推出，比如时，但是可以推出，所以是的必要不充分条件，故C错误；

是可以推出，但是不能推出，所以是的充分不必要条件，故D正确．

故选：BD．

【点睛】本题考查充分性和必要性的定义和判断，是基础题．

11．对于定义在R上的函数，下列说法正确的是（    ）

A．若，则在R上不是减函数

B．若为奇函数，且满足对，，，则在R上是增函数

C．若，则函数是偶函数

D．若函数是奇函数，则一定成立

【答案】AB

【解析】根据函数单调性的定义可知，A正确；根据函数单调性的定义结合奇函数的性质即可知，B正确；根据函数奇偶性的定义可知，C D错误．

【详解】对A，根据函数单调性的定义可知，对任意的，若，有，则函数在上是增函数；若，有，则函数在上是减函数，因为，而，所以在R上不是减函数，A正确；

对B，对任意的，，所以，即，而，所以，即，由单调性的定义可知，在R上是增函数，B正确；

对C，根据奇偶性的定义，对定义域中的任意实数，满足，则函数是偶函数；满足，则函数是奇函数，所以仅凭，不能判断函数一定是偶函数，C 错误；

对D，若函数是奇函数，则，所以当函数在以及处有定义且满足时，成立，D错误．

故选：AB．

12．下列说法中正确的是（    ）

A．正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是

B．余弦函数当且仅当时，取得最大值1

C．正弦函数在上都是减函数

D．余弦函数在上都是减函数

【答案】ABC

【分析】根据正余弦函数的基本性质，直接判断即可.

【详解】对A：正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是，故A正确；

对B：余弦函数当且仅当时，取得最大值1，故B正确；

对C：正弦函数在上都是减函数，故C正确；

对D：余弦函数在上都是增函数，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．函数的最小值等于____________.

【答案】

【分析】利用基本不等式求解.

【详解】因为，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以函数的最小值是.

故答案为：

14．函数的零点为___________.

【答案】

【分析】解方程，即可得出函数的零点.

【详解】令，即，得，解得，

因此，函数的零点为.

故答案为：.

【点睛】本题考查函数零点的求解，熟悉函数零点的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.

15．已知实数a，b满足，，则_______.

【答案】6

【解析】先将化为，令，得到，根据函数的单调性，结合题中条件，即可得出结果.

【详解】由可得，则，

所以，则；

又，令，则，

因为函数与都是单调递增函数，所以显然是单调递增函数，

所以，因此.

故答案为：.

四、双空题

16．已知幂函数为偶函数，则_____，若，则的值域为_______.

【答案】     3    

【解析】根据幂函数定义，由题中条件，得到求出，再由函数奇偶性，即可得出结果；利用指数函数与幂函数单调性，即可求出的值域.

【详解】因为为幂函数，

所以，解得或；

当时，显然为奇函数，不满足题意；

当时，显然为偶函数，满足题意；

所以；

则，令，则，又指数函数是减函数，

所以时，，即的值域为.

故答案为：；.

五、解答题

17．已知集合，．

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围．

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)解一元二次不等式，利用集合并集的运算方法可求解;(2)根据若，结合数轴观察求解.

【详解】（1）由得解得，

所以，

因为，所以，即，解得，

所以，

所以.

（2）由(1)得，

由得

解得，所以，

因为，所以或，

解得或.

18．计算：（）．

（）．

【答案】（）；（）．

【详解】试题分析：（1）根据指数运算法则 ，化简求值（2）根据对数运算法则，化简求值

试题解析：（） ．

（）原式 ．

19．已知.

（1）求在区间上的最小值；

（2）将的图象向右平移个单位，得到的图象，求满足的x的取值范围.

【答案】（1）最小值为；（2）.

【解析】（1）利用降次公式、诱导公式、辅助角公式化简解析式.根据三角函数最值的求法，求得在区间上的最小值.

（2）求得的解析式，化简不等式得到，解三角不等式求得满足的x的取值范围.

【详解】（1）

，

因为，，

所以，当时，的最小值为.

（2），

由可得，则，

所以，，

即对应的x取值的集合是.

【点睛】要解决三角函数最值、值域、单调区间、最小正周期、对称轴等问题，首先要将函数转化为的形式.

20．函数.

（1）求函数的单调递增区间和最小正周期；

（2）请用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（先在所给的表格中填上所需的数值，再画图）；

（3）求函数在上的最大值和最小值，并指出相应的的值.

【答案】（1）单调递增区间是，；最小正周期；（2）填表见解析；作图见解析；（3）最大值为2，最小值为－1，时取得最小值，时取得最大值.

【解析】（1）根据正弦函数的图象与性质求出函数的单调递增区间和最小正周期；

（2）列表，描点、连线，画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图；

（3）求出时函数的最大值和最小值，以及对应的值.

【详解】解：（1）函数，

令，；

解得，；

即，；

所以函数的单调递增区间是，；

最小正周期；

（2）填写表格如下；

用“五点法”画出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图为；

（3）时，，，

所以函数在上取得最大值为2，最小值为－1，

且时取得最小值，时取得最大值.

【点睛】本题考查正弦型函数的性质以及“五点法”作图，本题要掌握基础函数的性质以及整体法的应用，同时熟悉“五点法”作图，考查分析能力以及作图能力，属中档题.

21．已知二次函数，其中．

（Ⅰ）若函数的定义域和值域均为，求实数的值；

（Ⅱ）若函数在区间上单调递减，且对任意的，，总有成立，求实数的取值范围．

【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）求出的单调性，求出函数的最值，得到关于的方程，解出即可；

（Ⅱ）根据在区间上是减函数，得出的一个取值范围；再对任意的，，，又可求出的一个取值范围；最后两者取交集，则问题解决．

【详解】（Ⅰ），开口向上，对称轴是

∴在递减，则，即，故；

（Ⅱ）因为在区间上是减函数，所以．

因此任意的，，总有，只需即可

解得：，又

因此．

【点睛】本题主要考查了已知二次函数单调区间求参数的范围以及根据二次函数的值域求参数的值，属于中档题.

22．第一机床厂投资生产线500万元，每万元可创造利润1.5万元．该厂通过引进先进技术，在生产线的投资减少了万元，且每万元创造的利润变为原来的倍．现将在生产线少投资万元全部投入生产线，且每万元创造的利润为万元，其中．

（1）若技术改进后生产线的利润不低于原来生产线的利润，求的取值范围；

（2）若生产线的利润始终不高于技术改进后生产线的利润，求的最大值．

【答案】（1）；（2）5.5．

【分析】（1）由题意，生产线原利润、改进后利润分别为万元，万元，根据它们的不等关系即可求的取值范围；（2）生产线的利润为万元，根据已知不等关系结合（1）有恒成立，应用基本不等式求的最大值.

【详解】解:（1）由题意，得，整理得，解得，又，故．

（2）由题意知，生产线的利润为万元，技术改进后，生产线的利润为万元，则恒成立，又，

∴恒成立，又，当且仅当时等号成立，

∴，即的最大值为5.5．

【点睛】本题考查了不等式的实际应用，根据实际题设中的不等关系列不等式求参数范围，属于基础题.