2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一上学期12月阶段性测试数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京师范大学附属中学高一上学期12月阶段性测试数学试题

一、单选题

1．设是大于0的实数，角的终边经过点，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据任意角的三角函数的定义求解即可.

【详解】因为是大于0的实数，角的终边经过点，

所以，

故选：B.

2．若函数，则函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由可解得的定义域为，的定义域即不等式的解集.

【详解】，则的定义域为，

令，得，即的定义域为.

故选：C.

3．已知函数是定义在R上的偶函数，若在区间上单调递增，则下列关系式中成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数性质可知，若在区间上单调递増，则在区间上单调递减，所以对称轴处取最大值，离对称轴越近函数值也越大.

【详解】因为函数是定义在R上的偶函数，所以关于轴对称；

且在区间上单调递増，

所以在区间上单调递减，即在对称轴处取最大值；

所以，自变量的值离对称轴越近，其函数值也越大，

因为，所以.

故选：D.

4．己知对任意，函数满足，当时，.则的值是（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【分析】根据题意可知，将的值根据转化到上，代入即可求得函数值

【详解】由对数的四则运算可知，

，根据可得

此时，所以，

即.

故选：A.

5．设a为实数，若关于x的不等式在区间上有实数解，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】参变分离，再根据对勾函数的性质，结合能成立问题求最值即可.

【详解】由题意，因为，故在区间上有实数解，则，又在上单调递减，在上单调递增，且，，故.故在区间上有实数解则.

故选：A

6．设m是不为0的实数，已知函数，若函数有7个零点，则m的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】作出的图象，然后由，得或，由图象可知有3个零点，所以就有4个零点，再结合图象可求出结果.

【详解】的图象如图所示

由，得或，

当时，有3个零点，

当时，，即与有4个交点，

所以，解得，

故选：C.

二、多选题

7．设函数的定义域为A，若对于A内任意两个值，，都有，则称具有T性质.下列函数中具有T性质的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据函数的凹凸性判断即可.

【详解】由题意，T性质满足，则函数为上凸或直线类的函数，A为直线，满足条件；B为下凹函数不满足，CD均为上凸的函数，满足条件.

故选：ACD.

8．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则（    ）

A．的最小值为 B．在上单调递减

C．的解集为 D．存在实数满足

【答案】BCD

【分析】根据函数是定义在R上的奇函数，可以写出函数的解析式，进而判断函数单调性即可判断AB；画出函数的图形即可判断C，特殊值代入即可得D.

【详解】由题意可知当时，

即

所以，函数的图像如下：

显然，函数没有最小值，故A错误；

根据函数图像可得在上单调递减，故B正确；

令得，故C正确；

由图可知，令得，故D正确.

故选：BCD.

9．设为正实数，且，已知函数，使得函数在R上单调递减成立的充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】先求出使在R上单调递减时的取值范围，然后根据充分不必要条件的定义逐个分析判断即可.

【详解】因为函数在R上单调递减，

所以，解得，

对于A，因为当成立，不一定成立，所以不是在R上单调递减成立的充分不必要条件，所以A错误，

对于B，因为当成立，一定成立，所以是在R上单调递减成立的充分不必要条件，所以B正确，

对于C，因为当成立，一定成立，所以是在R上单调递减成立的充分不必要条件，所以C正确，

对于D，是在R上单调递减成立的充分必要条件，所以D错误，

故选：BC.

10．已知，，则下列结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【分析】对于A，由已知等式可判断，从而可判断出的范围，对于BC，由已知条件结合可求出，从而可求出的值，对于D，将的值代入计算即可.

【详解】对于A，由题设，故A正确；

对于BC，因为，，

所以，化简得，

解得或，

当时，，则

当时，，则，

所以B，C错误；

对于D，由前面的解析可知，当时，，

当时，，

综上，所以D正确，

故选：AD.

三、填空题

11．已知扇形的面积为4，则该扇形的周长的最小值为______.

【答案】8

【分析】根据扇形的面积公式、弧长公式、周长公式、基本不等式求解即可.

【详解】设扇形所在圆的半径为，弧所对的圆心角为，弧长为，面积为，

则，，即，

所以扇形的周长，当且仅当时取等号，

所以扇形的周长的最小值为8.

故答案为：8.

12．己知函数，则满足不等式的的取值范围是______.

【答案】

【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，然后利用奇偶性的性质和单调性解不等式即可.

【详解】函数的定义域为，

因为，

所以为偶函数，

当时，，

因为和在上均单调递减，

所以在上单调递减，

因为，

所以，可化为，

所以，

所以，则或，

所以或，

所以不等式的解集为，

故答案为：.

13．设，，，则a，b，c的大小关系为______.（用“<”连接）

【答案】

【分析】易知，的大小借助指数和对数的运算性质放缩可得，详见解析.

【详解】，

，再比较与的大小，同时四次方：

，则

.

故答案为：.

14．设是定义在R上的奇函数，且.若对于任意，且，都有，则满足不等式的解集是______.

【答案】

【分析】先设，根据题干条件得到在上单调递增，再由是定义在R上的奇函数，求出在R上为偶函数，从而得到在上单调递减，由求出，进而利用单调性解不等式，求出答案.

【详解】设，则，，

故在上单调递增，

又是定义在R上的奇函数，故，

故，又定义域为R，

所以在R上为偶函数，所以在上单调递减，

表达为，

因为，所以，

又在R上为偶函数，所以，

故，故，

因为恒成立，所以，

解得：

故答案为：.

四、解答题

15．已知是第三象限角，且.

(1)求的值；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由，求出，从而可求出的值；

（2）利用诱导公式化简后，再代值计算即可.

【详解】（1）由是第三象限角且得，

所以；

（2）原式.

16．设m为实数，己知函数

(1)判断的奇偶性，并给出证明；

(2)设函数，当时，求的最大值；

(3)若函数的最小值为，求m的值.

【答案】(1)为偶函数，证明见解析

(2)

(3)

【分析】（1）利用奇偶性的定义即可证明.

（2）利用基本不等式即可求得最值.

（3）借助换元法即可求得m的值.

【详解】（1）由已知定义域为，定义域关于原点对称，

，即为偶函数

（2），当且仅当时，取到等号，即的最大值为

（3）令，则

，令

所以与有相同的最小值

当时，，解得

当时，，解得，舍去

综上所述，m的值为

17．设a为实数，给定区间I，对于函数满足性质P：存在，使得成立.记集合.

(1)设，，求证：；

(2)设，，若，求a的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）根据函数满足性质P的定义取值证明即可；

（2）根据函数满足性质P的定义列不等式求解即可.

【详解】（1）证明：取，则，

故

（2）解：因为，，

所以，

所以，

令，

令，

因为，所以

所以，

所以

所以的取值范围.

18．设为正整数，已知函数.

(1)判断函数的单调性，并用定义证明；

(2)求关于x不等式的解集；

(3)若函数在区间单调递减，比较与的大小关系，并说明理由.

【答案】(1)在单调递减，在单调递减，证明见解析

(2)

(3)，理由见解析

【分析】（1）根据函数单调性的定义，按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤即可证明（2）根据函数在是单调递减的，即可解不等式；（3）首先计算出的表达式，利用函数的单调性即可比较大小.

【详解】（1）为奇函数，定义域为

设任意，且，则，，

，

所以；

即在单调递减，又为奇函数，所以在单调递减.

（2）由可得

又因为，且在单调递减；

所以，即

所以，不等式的解集为

（3）在上单调递减，即

又因为，所以

即.