2022-2023学年江苏省南京市田家炳高级中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南京市田家炳高级中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】先解出集合A、B，再求.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

2．已知集合共有8个子集，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先判断出集合的元素的个数，由此列不等式来求得的取值范围.

【详解】由于集合有个子集，所以集合有个元素，即，

所以，即.

所以的取值范围是.

故选：C

3．已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用基本不等式判断A、C、D，利用特殊值判断B；

【详解】解：对于A：因为，为非零实数，所以，则，

即，当且仅当时取等号，故A正确；

对于B：当、异号时，故B错误；

对于C：，当且仅当，即时取等号，故C正确；

对于D：，当且仅当时取等号，故D正确；

故选：B

4．若命题“”的否定是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】写出命题的否定，则，从而可得出答案.

【详解】:解：命题“”的否定为“”为真命题，

所以，解得，

即实数a的取值范围是.

故选：B.

5．下列选项中，是“是集合的真子集”成立的必要不充分条件的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】由题意可知，即方程有实数解，当时，符合题意，当时，由解得的范围即为“是集合的真子集”成立的充要条件，即为所选选项的真子集，进而可得正确选项.

【详解】若“是集合的真子集”

所以，

所以方程有实数解，

当时，由可得，符合题意，

当时，由可得，

所以且，

综上所述：的充要条件为；

即“是集合的真子集”成立充要条件为；

所选集合是的必要不充分条件，则应是所选集合的真子集，

由选项判断A，B，C都不正确，选项D正确；

故选：D.

6．已知正数a，b满足，则（    ）

A．8 B．6 C．4 D．2

【答案】D

【分析】利用指数和对数的运算性质求解即可.

【详解】由已知得，所以，所以，

所以

故选：D

7．核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阀值时，DNA的数量X与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量，p为扩增效率.已知某被测标本DNA扩增12次后，数量变为原来的1000倍，则扩增效率p约为（    ）（参考数据：）

A．22.2% B．43.8% C．56.2% D．77.8%

【答案】D

【分析】由题意，代入关系式，根据对数的运算性质及指数与对数的关系计算可得．

【详解】解：由题意知，，

即，

即，

所以，解得．

故选：D．

8．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先利用对数函数单调性求出，从而确定，，作差法判断出，从而求出答案.

【详解】，

因为，所以，

所以，

，故，

，故，

令

所以.

故选：D

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．是的既不充分也不必要条件

B．“”是“”的既不充分也不必要条件

C．若a，，则“”是“a，b不全为0”的充要条件

D．“”是“”的充要条件

【答案】ABC

【分析】根据不能互相推出的情况判断A，举例说明可判断B，根据互相推出判断C；举例说明可判断D.

【详解】因为不能推不出，比如，而时，也不能推出，比如，所以是成立的既不充分也不必要条件，故A正确；

因为不能推出，比如，但是；不能推出，比如，，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B正确；

因为，能推出a，b不全为0，a，b不全为0也能推出，所以“”是“a，b不全为0”的充要条件，故C正确；

D．不能推出，比如，满足，但是不满足，所以必要性不满足，故D错误；

故选：ABC

10．下列说法正确的是(    )

A．已知0＜x，则x(1﹣2x)的最大值为

B．当时，的最大值是1

C．若，，则的取值范围是

D．若，，则

【答案】AB

【分析】利用基本不等式可判断AB，利用不等式的性质可判断C，利用作差法可判断D．

【详解】对于选项A，若，则1－2x＞0，2x＞0，

则，

当且仅当，即时，等号成立，即x(1﹣2x)的最大值为，故A正确；

对于选项B，当时，，

∴，

当且仅当，即时，等号成立，即的最大值是1，故B正确；

对于选项C：∵，，∴，，

∴，故C错误；

对于选项D，∵，，

∴，

∴，故D错误；

故选：AB.

11．已知，，则的值不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】利用对数运算的公式计算即可.

【详解】由换底公式得：，，，

其中，，故

故选：ABD.

12．已知正数、满足，则下列说法中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【分析】把指数式化成相应的对数式，运用对数的运算法则及换底公式和基本不等式可求得结果.

【详解】，令，则，，.

，故A正确；

，故B正确；

，故C正确；

，，因为，所以，即，故D错误.

故选：ABC.

三、填空题

13．已知集合，若，则实数___________.

【答案】或3##3或-2

【分析】利用子集关系可知，或，求出再验证即得结果.

【详解】，

∴或，

解得或或，

将的值代入集合、验证，知不符合集合的互异性，

故或3.

故答案为：或3.

14．对于任意实数a，b，c，有以下命题：

①“a＝b”是“ac＝bc”的充要条件；

②“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；

③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的充分条件；

④“a＜5”是“a＜3”的必要条件.

其中正确命题的序号是__.

【答案】②④

【分析】本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断及不等式的性质，我们根据充要条件的定义对题目中的四个答案逐一进行分析即可得到答案.

【详解】解：∵①中“a＝b”⇒“ac＝bc”为真命题，

但当c＝0时，“ac＝bc”⇒“a＝b”为假命题，

故“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件，故①为假命题；

∵②中“a+5是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，

“a是无理数”⇒“a+5是无理数”也为真命题，

故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故②为真命题；

∵③“（x﹣a）（x﹣b）＝0”是“x＝a”的必要条件，故③为假命题；

∵④中{a|a＜3}比{a|a＜5}范围小 ，故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故④为真命题.

故真命题的个数为2

故答案为：②④

15．已知，，则的值为________．

【答案】2022

【分析】化简计算得，即得解.

【详解】解：.

.

所以

故答案为：2022

16．已知正数满足，则的最小值为__________．

【答案】

【分析】把平方得到，代入结论构造基本不等式，再分析计算可求出最小值.

【详解】解：由，得，

则

，

当且仅当，即，，即时取“等号”，

所以当时，

的最小值为．

故答案为：

四、解答题

17．计算：

(1)；

(2)

【答案】(1)1

(2)1

【分析】（1）根据分数指数幂的运算法则运算求解即可；

（2）根据对数运算法则，换底公式运算求解即可.

【详解】（1）解：

（2）解：

18．解下列不等式：

(1)；

(2)；

(3).

【答案】(1)或

(2)

(3)或或

【分析】（1）原不等式等价于解不等式组可得答案；

（2）作差然后通分再解不等式可得答案；

（3）分讨论去绝对值可得答案.

【详解】（1）原不等式等价于，即，

即，所以，

所以或，所以原不等式的解集或；

（2）由，可得，

所以，解得，

所以原不等式的解集为；

（3）原不等式等价于或，

分别解这两个不等式组，得或或或，

故原不等式的解集为或或.

19．已知集合 ，.

(1)命题p：x∈A，命题q: x∈B，且p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围:

(2)若A∩B≠求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)要使p是q的必要不充分条件，则 B  A即可；

(2)求时m的取值范围，然后求其补集.

【详解】（1）因为p是q的必要不充分条件，所以B  A，

B集合：，所以B不可能为空集，

因为，

所以，

集合，

所以或，分别解不等式组，取并集后可得.

（2）由（1）知，

当时：或，

解之得：或，

则时，.

20．已知.

(1)求不等式的解集；

(2)设的最小值为，，，，求的最小值.

【答案】(1)或

(2)

【分析】（1）根据题意可得，分类讨论求解；（2）根据（1）易得，注意由，得，再利用基本不等式求解．

【详解】（1）根据题意可得：

当时，，得

当时，，得

当时，，得

综上所述：不等式的解集为或

（2）由（1）知，∴.

即，∴，

∴

，

当且仅当，时，取等号.

所以的最小值为.

21．设函数．

(1)若对于，恒成立，求的取值范围；

(2)若对于，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据已知可得对于恒成立，分离参数，构造函数，求解函数的最小值即可；

（2）根据已知可得对于，恒成立，构造关于的函数，由即可求解的取值范围.

【详解】（1）解：若对于，恒成立，即对于恒成立，

即对于恒成立．

令，，则，故，

所以的取值范围为．

（2）解：对于，恒成立，即恒成立，故恒成立，

令，则，解得，

所以的取值范围为．

22．党中央国务院对节能减排高度重视，各地区各部门认真贯彻党中央国务院关于“十三五”节能排的决策部署，把节能减排作为转换发展方式，经济提质增效，建设生态文明的重要抓手，取得重要进展.新能源汽车环保节能以电代油，减少排放，既符合我国国情，也代表了汽车产业发展的方向为了响应国家节能减排的号召，2021年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析：全年需投入固定成本2500万元.每生产x（百辆）新能源汽车，需另投入成本Cx万元，且，由市场调研知，每辆车售价9万元，且生产的车辆当年能全部销售完.

(1)请写出2021年的利润Lx（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（利润=销售－成本）

(2)当2021年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)2021年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元

【分析】（1）由所给函数模型写出函数式，需分段求解；

（2）分别由二次函数的性质和基本不等式求得最大值后比较可得．

【详解】（1）当时，；

当时，；

所以

（2）当时，，

当时，；

当时，

（当且仅当即时，“”成立）

因为

所以，当时，即2021年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元.

答：（1）2021年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为.

（2）当时，即2021年生产80百辆时，该企业获得利润最大，且最大利润为3640万元.