2022-2023学年江苏省南通市启东中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年江苏省南通市启东中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．对于全集的子集，，若是的真子集，则下列集合中必为空集的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据题目给出的全集是，，是全集的子集，是的真子集画出集合图形，由图形表示出三个集合间的关系，从而看出是空集的选项．

【详解】解：集合，，的关系如图，

由图形看出，只有是空集．

故选：B．

【点睛】本题考查了交、并、补集的混合运算，是基础题.本题解题的关键在于根据题意，给出集合的图形表示法，数形结合解．

2．已知集合，且，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】结合元素与集合的关系得到，解不等式即可求出结果.

【详解】由题意可得，解得，

故选：C

3．已知实数，满足，，则的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】令，，可得，再根据的范围求解即可.

【详解】令，，则，所以．因为，所以．因为，所以，所以.

故选：B

4．因工作需求，张先生的汽车一周需两次加同一种汽油．现张先生本周按照以下两种方案加油（两次加油时油价不一样），甲方案：每次购买汽油的量一定；乙方案：每次加油的钱数一定．问哪种加油的方案更经济？（    ）

A．甲方案 B．乙方案 C．一样 D．无法确定

【答案】B

【分析】设两次加油的油价分别为，（，且），分别计算两种方案的平均油价，然后比较即得.

【详解】设两次加油的油价分别为，（，且），甲方案每次加油的量为；乙方案每次加油的钱数为，

则甲方案的平均油价为：，乙方案的平均油价为：，

因为，

所以，即乙方案更经济．

故选：B．

5．若a为实数，则“”是“为奇函数的”（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据函数的的偶性的定义及判定方法，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】当时,函数的定义域为关于原点对称，

且，即，

此时函数为奇函数，所以充分性成立；

反之：当，则满足，即，

即，解得，所以必要性不成立.

综上可得，是函数为奇函数的充分不必要条件.

故选：A.

6．若函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ）

A．， B． C．， D．

【答案】D

【分析】由题意是上的增函数，所以分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，列出不等式组求出的取值范围即可.

【详解】根据题意，任意实数都有成立，

所以函数是上的增函数，则分段函数的每一段单调递增且分界点处单调递增，

所以，解得：，

所以实数的取值范围是：,.

故选：D.

7．已知是定义域为的奇函数，是定义域为的偶函数，且与的图象关于轴对称，则（    ）

A．是奇函数 B．是偶函数

C．关于点对称 D．关于直线对称

【答案】A

【分析】根据函数，的奇偶性可推出以及的对称性，结合与的图象关于轴对称，推出的奇偶性以及对称性，判断A,C;同理推得的奇偶性以及对称性，判断B,D.

【详解】由于是定义域为的奇函数，则的图象关于成中心对称，

是定义域为的偶函数，则的图象关于对称，

因为与的图象关于轴对称，则的图象关于对称，

又的图象关于成中心对称，则的图象关于成中心对称，

故为奇函数，A正确；

因为为奇函数，故，

由与的图象关于轴对称，可得，

故 ，故为奇函数，B错误；

由A的分析可知的图象关于对称，故C错误；

由A的分析可知的图象关于成中心对称，为奇函数，

则的图象也关于成中心对称，

而与的图象关于轴对称，

则的图象关于成中心对称，故D错误，

故选：A

【点睛】本题综合考查了函数的奇偶性以及对称性的应用，对抽象函数的性质的考查能较好地反映学生的思维能力和数学素养，解答时要注意综合应用函数性质的相关知识解答.

8．已知函数的定义域为区间[m，n]，其中，若f（x）的值域为[-4，4]，则的取值范围是（    ）

A．[4，4] B．[2，8] C．[4，8] D．[4，8]

【答案】C

【分析】先讨论，再结合二次函数的图象与性质分析时，的最大值与最小值，同理可得时的情况即可得解.

【详解】若，，函数为增函数，时，则，所以，

当时，作图如下，

为使取最大，应使尽量大，尽量小，此时，

由，

即，

所以，

所以，即，

当时，即时，此时在对称轴同侧时最小，由抛物线的对称性，不妨设都在对称轴右侧，

则由，

解得，

，

当且仅当 ,即时取等号，但，等号取不到，

，

时，同理，当时，，当时，，

综上，的取值范围是，

故选：C

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．若，则“”是“”的必要不充分条件

B．“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件

C．“”是“”的充分不必要条件

D．若“”是“或“”的充分不必要条件，则的最小值为2022

【答案】BD

【分析】根据充分、必要条件逐个分析判断.

【详解】对A：若，则，即

若，比如：，则不成立

∴“”是“”的充分不必要条件，A错误；

对B：若，则，即二次方程有两个不等实根

若二次方程有两个不等实根，等价于

比如：满足，但不成立

∴“”是“二次方程有两个不等实根”的充分不必要条件，B正确；

对C：∵且

则

∴“”是“”的充要条件，C错误；

对D：根据题意可得：，则的最小值为2022，D正确；

故选：BD.

10．设矩形（）的周长为定值，把沿向折叠，折过去后交于点，如图，则下列说法正确的是（    ）

A．矩形的面积有最大值 B．的周长为定值

C．的面积有最大值 D．线段有最大值

【答案】BC

【分析】根据基本不等式的性质，结合图形折叠的性质，结合对钩函数的性质逐一判断即可.

【详解】设，则，因为，所以．

矩形的面积，

因为，所以无最大值．故A错．

根据图形折叠可知与全等，

所以周长为．故B正确．

设，则，有，即，得，，当时，取最大值．故C正确．，

因为函数在上单调递减，在上单调递增，

所以当，当时函数有最小值，无最大值．故D错误．

故选：BC．

【点睛】关键点睛：利用基本不等式的性质、对钩函数的性质是解题的关键.

11．已知，，则的值不可能是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABD

【分析】利用对数运算的公式计算即可.

【详解】由换底公式得：，，，

其中，，故

故选：ABD.

12．已知关于x的不等式的解集是，其中，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】由一元二次不等式的解集可得判断A、D，再将题设转化为，结合二次函数的性质，应用数形结合的方法判断B、C.

【详解】由题设，的解集为，

∴，则，

∴，，则A、D正确；

原不等式可化为的解集为，而的零点分别为且开口向下，又，如下图示，

∴由图知：，，故B错误，C正确.

故选：ACD.

【点睛】关键点点睛：由根与系数关系得，结合二次函数的性质及数形结合思想判断各选项的正误.

三、填空题

13．已知“”的必要不充分条件是“或”，则实数a的最大值为______．

【答案】1

【分析】首先解出不等式，再根据题意得到，即可求出的取值范围，从而得解；

【详解】解：由，得或，

因为的必要不充分条件是“或”，

所以，解得，所以实数a的最大值为1；

故答案为：

14．已知，，下面四个结论:

①；②；③若，则；

④若，则的最小值为；

其中正确结论的序号是______.(把你认为正确的结论的序号都填上)

【答案】①③④

【分析】①可以由得，然后变形可得是正确的，②可以由得，然后变形可得是错误的，③可以由不等式的性质推导出来，④是将展开由基本不等式推导出来.

【详解】因为，所以

即

所以，故①正确

因为

所以

所以，故②错误

因为，所以

因为，所以，故③正确

因为

，当且仅当即时

取得最小值

因为，所以

即，故④正确

故答案为：①③④

【点睛】，时有

15．关于的不等式恰有2个整数解，则实数的取值范围是__．

【答案】．

【分析】先将原不等式转化为，再对分类讨论分别求出原不等式的解集，然后根据其解集中恰有两个整数求出实数的取值范围．

【详解】不等式可化为，

①当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；

②当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；

③当时，原不等式等价于，其解集为，

其解集中恰有2个整数，，解得：；

④当时，原不等式等价于，其解集为，不满足题意；

⑤当时，原不等式等价于，其解集为，

其解集中恰有2个整数，，解得：，

综合以上，可得：.

故答案为：．

【点睛】关键点睛：解决本题的关键一是正确的分类讨论，二是要注意在处理满足整数解时等号的取舍．

四、双空题

16．已知函数，那么___________若存在实数，使得，则的个数是___________.

【答案】         

【分析】求出的值，再计算的值；设，则，可求得或，再解方程或，可求得的值即可求解.

【详解】因为，所以，

所以，

设，则，

当时，，可得，

当时，，可得，

所以或，

当时，由或可得或；

当时，或，

可得或（舍）或或，

综上所述：，，，，，有个符合题意，

故答案为：；.

五、解答题

17．计算下列各式：

(1)；

(2)

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）、利用指数幂的运算性质求解即可；

（2）、利用对数的运算性质求解.

【详解】（1）.

（2）

18．设集合，，或．

(1)若，求实数m的取值范围；

(2)若中只有一个整数，求实数m的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据集合交集的性质，可得两集合之间的关系，分类讨论是否为空集，列出不等式，可得答案；

（2）由题意，明确交集中的唯一的整数，结合这个整数，列出不等式，可得答案.

【详解】（1）因为，所以．

①当时，由，得，解得；

②当，即时，成立．

综上，实数m的取值范围是．

（2）因为中只有一个整数，所以，且，解得，

所以实数m的取值范围是．

19．已知命题，；命题，

(1)若命题为真命题，求实数的取值范围；

(2)若命题与均为假命题，求实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）根据题意，可知命题为真命题，则且，即可求出的取值范围；

（2）根据题意，分别求出和，由命题与均为假命题，可知和都是真命题，由是真命题，得或，由是真命题，得或，化简计算后， 可得出实数的取值范围.

【详解】（1）解：因为命题，，

若命题为真命题，则且，

即，解得：，

所以实数的取值范围是.

（2）解：因为命题，；命题，，

则，，，，

若命题与均为假命题，则和都是真命题，

由是真命题，得或，解得：，

由是真命题，得或，解得：，

联立，得，

所以实数的取值范围为.

20．十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划，年某企业计划引进新能源汽车生产设备看，通过市场分析，全年需投入固定成本万元，每生产（百辆）需另投入成本（万元），且.由市场调研知，每辆车售价万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完.

(1)求出年的利润（万元）关于年产量（百辆）的函数关系式；（利润=销售额—成本）

(2)当年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润.

【答案】(1)

(2)百辆，最大利润为万

【分析】（1）根据题意分情况列式即可；

（2）根据分段函数的性质分别计算最值.

【详解】（1）由题意得当时，，

当时，，

所以,

（2）由（1）得当时，，

当时，，

当时，

，当且仅当，即时等号成立，

，时，，，

时，即年产量为百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为万元.

21．设函数（且），是定义域为R的奇函数：，

（1）求k的值，

（2）判断并证明当时，函数在R上的单调性；

（3）已知，若对于时恒成立．请求出最大的整数．

【答案】（1）；（2）在R上为增函数；证明见解析；（3）10．

【分析】（1）由，解得，再检验其成立；

（2）利用定义法证明单调性；

（3）用分离参数法求出，即可得到的最大整数值．

【详解】（1）∵（且）是定义域为R的奇函数，

∴，解得．

此时，对任意，有，

即是R上的奇函数，符合题意．故．

（2）由（1）得．判断该函数为增函数.下面证明：

设，且，

则

∵，且，∴，又

∴，即，

∴在R上为增函数．

（3）由（1），不等式对于时恒成立，

即，亦即不等式恒成立．

令，则，

问题转化为关于t的不等式对任意恒成立，

亦即不等式，对任意恒成立．

当时，，

，则的最大整数为10．

【点睛】（1）函数奇偶性的应用:①一般用或;②有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或.

（2）分离参数法是求参数范围的一种非常常用的方法.

22．已知二次函数满足对任意实数x，不等式恒成立.

（1）求的值；

（2）若该二次函数与x轴有两个不同的交点，其横坐标分别为､.

①求a的取值范围；

②证明：为定值.

【答案】（1）2；（2）①；②证明见解析.

【分析】(1)由取可求，(2)由恒成立，结合(1)可得a，b，c的关系，再由与x轴有两个不同的交点可求a的范围，并证明为定值.

【详解】解：（1）对任意实数x，不等式恒成立.令得x=1

令x=1，得2≤a+b+c≤2，∴a+b+c=2.

（2）①当a+b+c=2时，，即恒成立，

所以，

所以.

因为二次函数有两个不同的零点，所以，解得

∴a的取值范围为

②由韦达定理得，∴为定值.