2022-2023学年江苏省扬州市宝应中学高一上学期期中数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年江苏省扬州市宝应中学高一上学期期中数学试题（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省扬州市宝应中学高一上学期期中数学试题 一、单选题1．已知集合，则A． B． C． D．【答案】C【分析】先求，再求．【详解】由已知得，所以，故选C．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2．命题：“，”，若命题是真命题，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得，，进而即得.【详解】由题可知，，所以，，又，所以.故选：B.3．设，则的最大值为（    ）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】利用基本不等式求出函数得最大值.【详解】因为，所以，当且仅当，即时取等号，所以，即的最大值为.故选：C.4．函数的定义域为(    )A． B． C． D．【答案】D【分析】根据表达式有意义列出不等式组求解即可【详解】由题知,解得且即函数的定义域为故选：D5．某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据已知条件及排除法即可求解.【详解】当时，距离单位最远，不可能是，排除A，C，先快速走，后中速，则随的变化慢，排除B，故选：D．6．已知函数若在单调递减，则实数m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用分段函数的单调性求参数m的取值范围.【详解】由在单调递减，可得，解得.故选:D.7．已知函数 ．若，则实数的取值范围是（    ）．A． B．C． D．【答案】D【分析】解不等式得，将问题转化为，进而作出函数的图像，数形结合求解即可.【详解】解：当时，，解得，当时，，解得，所以，当时，，令时，或；令时，；令时，或， 所以，作出函数的图像如图，当时，实数的取值范围是.故选：D8．德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，以下关于狄利克雷函数的五个结论中，正确的个数是个.①函数偶函数；②函数的值域是；③若且为有理数，则对任意的恒成立；④在图象上存在不同的三个点，，，使得为等边角形.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】当时，，当时，，函数为偶函数，①正确，函数的值域是，②正确，为有理数，则当时，，当时，，故，③正确，，，构成等边三角形，故④正确，得到答案.【详解】当时，，当时，，故，函数为偶函数，①正确；函数的值域是，②正确；为有理数，则当时，，当时，，故，③正确；，，，故，，构成等边三角形，故④正确；故选：D.【点睛】本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的理解能力和对于函数性质的灵活运用. 二、多选题9．下列命题正确的是（    ）A．“”是“”的充分不必要条件B．“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件C．若集合是的真子集，则“”是“”的必要不充分条件D．“关于x的不等式在上恒成立”的充要条件是“”【答案】BC【分析】A选项，根据，但得到A错误；B选项，等边三角形是特殊的等腰三角形，从而得到“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件；C选项，由是的真子集得到，但，从而C正确；D选项，关于x的不等式在上恒成立，分为，两种情况进行求解.【详解】因为，但，故“”是“”的必要不充分条件，A错误；三角形是等腰三角形不一定是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形，故“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件，B正确；若集合是的真子集，则，但，所以“”是“”的必要不充分条件，C正确；关于x的不等式在上恒成立，当，时，满足要求，若，则需要满足，故D错误.故选：BC10．已知关于的不等式的解集是，则下列结论正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根据一元二次不等式与相应的一元二次方程的关系，利用根与系数的关系即可判断出结论．【详解】关于的不等式的解集是，所以，且是一元二次方程即的两根，所以，选项A正确；，选项B正确；，选项D正确；由，可得：是错误的，即选项C错误．故选：ABD．11．已知函数，则（    ）A．B．若，则或C．的解集为D．，，则【答案】BCD【分析】对于A，根据解析式先求，再求，对于B，分和两种情况求解，对于C，分和两种情况解不等式，对于D，求出函数的最大值判断.【详解】对于A，因为，所以，所以A错误，对于B，当时，由，得，得，当时，则，得，，得或（舍去），综上或，所以B正确，对于C，当时，由，得，解得，当时，由，得，解得，综上，的解集为，所以C正确，对于D，当时，，当时，，所以的值域为，因为，，所以，所以D正确，故选：BCD12．已知，若对任意的，不等式恒成立，则（    ）A． B．C．的最小值为12 D．的最小值为【答案】ACD【分析】由已知可得，由于，所以可得当时，，当时，，从而可得，，则，然后代入各选项的式子中结合基本不等式和函数的性质分析判断.【详解】由，得，所以，因为，所以当时，，当时，，因为对任意的，不等式恒成立，所以当时，，当时，，所以对于函数，有，，所以，所以A正确，B错误，对于C，因为，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为12，所以C正确，对于D，，令，因为，当且仅当即时取等号，所以，由，得，所以，所以，所以函数在上递增，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为，所以D正确，故选：ACD【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，考查基本不等式的应用，解题的关键是由题意结合一次函数和二次函数的性质得，，从而可结合基本不等式分析判断，考查数学转化思想，属于较难题. 三、填空题13．已知，，全集，则_________.（用区间表示）【答案】##【分析】先求解二次不等式和绝对值不等式化简集合，再利用集合的交集和补集运算计算即可.【详解】由题意，，，故，则.故答案为：14．已知，若幂函数在区间上单调递增，且其图像不过坐标原点，则______.【答案】-2.【分析】根据幂函数的单调性与定义域判定即可.【详解】因为幂函数图像不过坐标原点，故，又在区间上单调递增，故.故答案为：.15．计算：______．【答案】【分析】根据换底公式、对数的运算性质计算可得.【详解】解：．故答案为：．16．设函数，存在最小值时，实数a的取值范围是______；【答案】【分析】求出的对称轴为，得到要想存在最小值，需要，单调递减，且在处，的函数值要大于等于的函数值，列出不等式组，求出实数a的取值范围.【详解】当时，的对称轴为，要想存在最小值，当时，单调递减，且在处，的函数值要大于等于的函数值，故且②，解②得：或，综上：故答案为：. 四、解答题17．已知全集.(1)求；(2)若集合且，求实数的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】先求出集合A、B，分类讨论求出集合C，结合集合的基本运算，从而求得a的取值范围．【详解】（1）解不等式可得，或，所以（2）因为，当时，，因为，所以，解得．当时，，不成立．当时，，显然不满足题意．综上知实数的取值范围是．18．已知集合，．(1)若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若“”是“”的必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根据题意分析出，再利用数轴得到不等式组，解出范围即可；（2）分析出，分和进行分类讨论即可.【详解】（1）由题可知，所以，解得，所以实数m的取值范围为.（2）由题可知，当时，，即，此时满足题意；当时，，解得，综上所述，实数m的取值范围为．19．已知幂函数在上是减函数.(1)求的解析式；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)（2，5）. 【分析】（1）根据幂函数的性质可求得的值.（2）根据幂函数的单调性解不等式求参数.【详解】（1）解：由题意得：根据幂函数的性质可知，即，解得或.因为在上是减函数，所以，即，则.故.（2）由（1）可得，设，则的定义域为，且在定义域上为减函数.因为，所以解得.故的取值范围为（2，5）.20．已知函数是奇函数，是偶函数.(1)求.(2)判断函数在上的单调性并说明理由，再求函数在上的最值.(3)若函数满足不等式，求出t的范围.【答案】(1)(2)是区间上的增函数，理由见解析，(3) 【分析】（1）由函数的奇偶性定义以及性质求解即可；（2）利用定义证明单调性，进而得出最值；（3）由在区间上的单调性以及奇偶性，解不等式得出t的范围.【详解】（1）因为在是奇函数验证：，，函数为奇函数；为偶函数，则验证：，，函数为偶函数.（2）是区间上的增函数，理由如下：设是区间上任意两个实数，且，则因为所以是区间上的增函数（3）因为是区间上的增函数，且是奇函数，由满足，即t的范围是21．已知，函数(1)当时，画出函数的图像，并结合图像写出函数的单调递增区间；(2)当时，求在区间上的最大值；(3)设，函数在区间上既有最大值又有最小值，请直接写出p，q的取值范围（用a表示），不必书写过程．【答案】(1)图象见解析，递增区间是；(2)答案见解析；(3)答案见解析. 【分析】（1）把代入，将函数分段表示出，画出函数图象，求出单调增区间作答.（2）由（1）的函数解析式，分段求出函数最大值作答.（3）按与分别画出函数图象，借助图象求出p，q范围作答.【详解】（1）当时，，其图象如图：观察图象得：函数的单调递增区间是.（2）由（1）知，当时，函数在上单调递增，，当时，，当时，因在上单调递增，当，即时，，当时，，所以当时，；当时，；当时，（3）函数，因函数在开区间上既有最大值又有最小值，则函数的最值点只能是开区间的内点，则有，当时，如图1，，解得，，当时，如图2，，解得，，所以当时，实数p，q的取值范围分别是，；当时，实数p，q的取值范围分别是，.22．若函数满足：存在整数，使得关于的不等式的解集恰为（），则称函数为函数.(1)若函数为函数，请直接写出（不要过程）；(2)判断函数是否为函数，并说明理由；(3)是否存在实数使得函数为函数，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)(2)不是，理由见解析(3)存在， 【分析】（1）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值.（2）结合函数的定义以及反证法进行判断.（3）结合函数的定义列方程、不等式，由此求得的值，从而确定正确答案.【详解】（1）函数为二次函数，对称轴为，开口向上，若函数为函数，所以，即，解得.（2）函数不是P函数，理由如下：在上递增，因为m，n为整数，由题意可知，即，令，即，解得，假设函数为P函数，则，即，与已知矛盾，所以不存在这样的m，n，所以函数不是P函数；（3）函数为二次函数，对称轴为，开口向上，因为关于x的不等式的解集恰为所以，即将①代入③得，，又m，n为整数，，所以，解得，此时，满足题意，综上所述，存在实数使得函数为P函数.【点睛】对于函数新定义的题目，解题的关键点在于将“新定义”的问题转化为所学过的知识进行求解.本题中，第（1）（3）两问是二次函数，函数图象有对称性；第（2）问是单调函数.这两种情况列式不一样，但也是围绕 “新定义”去列式.