2022-2023学年辽宁省沈阳市辽中区第二高级中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年辽宁省沈阳市辽中区第二高级中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．下列各式中关系符号运用正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据元素和集合的关系，集合与集合的关系，空集的性质判断即可.

【详解】根据元素和集合的关系是属于和不属于，所以选项A错误；

根据集合与集合的关系是包含或不包含，所以选项D错误；

根据空集是任何集合的子集，所以选项B错误，故选项C正确.

故选：C.

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用全称命题的否定为特称命题即可解决

【详解】“，”的否定是，

故选：B

3．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a，b，，则下列命题正确的是（    ）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【分析】举反例否定选项A；依据不等式的性质证明选项B错误；依据不等式的性质证明选项C正确；举反例否定选项D

【详解】选项A：令，则.判断错误；

选项B：，

由，可得，则.判断错误；

选项C：

由，可得，

则，则.判断正确；

选项D：令，则.判断错误

故选：C

4．已知，，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的定义知：函数是定义域到值域的一个映射，即任一定义域内的实数，都唯一对应值域内的实数；由此可知，用逐一排除法可做出．

【详解】解：如图，由函数的定义知，

对于A，值域为，不适合题意；

对于B，值域为，不适合题意；

对于C，值域为，适合题意；

对于D，一个自变量可以对应两个函数值，不符合函数定义，不适合题意；

故选：C

5．已知函数的定义域是，则的定义域是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据复合函数的定义域，先求出的定义域即可．

【详解】因为函数的定义域是，所以，即．

所以函数的定义域为，．

要使有意义，需满足：，解得，

即的定义域为．

故选：D．

6．已知，一元二次方程有一个正根，一个负根，则p是q的（    ）

A．充要条件 B．必要不充分条件

C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.

【详解】解：因为一元二次方程有一个正根，一个负根，

所以，

因此由一定能推出，由不一定能推出，

所以是的充分不必要条件，

故选：C

7．已知命题“，使”是假命题，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】依题意可得命题“，使”是真命题，再分和两种情况讨论，分别计算可得.

【详解】解：因为命题“，使”是假命题，

所以命题“，使”是真命题，

当，解得或，若时原不等式即，满足条件；

若时原不等式即，即，不符合题意；

当，则，解得或，

综上可得；

故选：A

8．已知关于x的一元二次不等式的解集为，且对于任意的正实数a，b，恒成立，则实数k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用一元二次不等式的解与一元二次方程的关系确定，再用基本不等式求出，再解一元二次不等式即可.

【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为,

所以 ,所以,

因为,

当且仅当时等号成立,

所以,

由恒成立得,

所以,解得,

故选:D.

二、多选题

9．下列四组函数中，表示同一函数的是(    )

A．， B．，

C．， D．，

【答案】AC

【分析】两函数定义域相同，对应关系相同，则它们是同一函数，据此逐项分析即可.

【详解】A：，，两函数定义域均为R，对应关系相同，故两个函数为同一函数；

B：定义域为R，的定义域为，故两函数不为同一函数；

C：，，两函数定义域均为R，对应关系相同，故两个函数为同一函数；

D：定义域满足，即[1，＋∞)；定义域满足，即(－∞，－1]∪[1，＋∞)，故两函数不为同一函数.

故选：AC.

10．设，，，则下列不等式中一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】根据基本不等式及特例法逐一判断各选项即可.

【详解】∵，，，

∴，当且仅当时，等号成立；

，当且仅当时，等号成立；

，当且仅当时，等号成立；

当时，，故B错误，ACD正确.

故选：ACD

11．高斯（1777-1855）是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一.高斯被认为是历史上最重要的数学家之一，并享有“数学王子”之称，用其名字命名的高斯函数为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，如，，.以下关于“取整函数”的性质叙述正确的有（    ）

A．， B．，

C．函数的值域为 D．，，，

【答案】BCD

【分析】根据高斯函数的定义逐个分析判断即可．

【详解】对于A：，，故错误；

对于：因为对，表示不超过的最大整数，所以，故正确；

对于：由可知，所以，因为对于，表示不超过的最大整数，所以，即，所以的值域为，，故正确；

对于D：说明二者位于长度不足1的区间上，所以，故正确.

故选：BCD

12．给出以下四个判断，其中错误的是（    ）

A．已知函数的值域为

B．关于“的不等式有解”的一个必要不充分条件是

C．函数，定义域，值域，则满足条件的有3个

D．若函数，且，则实数m的值为

【答案】BD

【分析】利用常数分离法求值域，小充分大必要，函数定义，配凑法求解析式等逐一判断各选项即可.

【详解】对于A，在上单调递增，故值域为，故正确；

对于B，关于“的不等式有解”等价于，即，

根据小充分大必要，是充分条件不是必要条件，故错误；

对于C，定义域可以是，故正确；

对于D，，故，若，即，则，故错误.

故选：BD

三、填空题

13．不等式的解集是_________.

【答案】

【分析】根据分式不等式的求解步骤，可得答案.

【详解】，，，，

不等式等价于，解得，

故答案为：

14．已知，则的值为________.

【答案】0.25

【分析】将统一用表示即可求解.

【详解】由得,

即代入,解得,

所以,

故答案为: .

15．设，求函数的最小值________.

【答案】

【分析】根据题意，令，则函数（），利用均值不等式即可求出最小值.

【详解】令，则函数（），

因为，所以，

当且仅当，即，时等号成立，

所以的最小值为.

故答案为：.

16．设集合，，函数，若，且，则的取值范围是_______.

【答案】

【分析】利用分段函数定义将不等式转化为不等式组，解之即可求得的取值范围

【详解】若，则，则

则

由，可得，解之得

故答案为：

四、解答题

17．设集合，，.

(1)求集合，；

(2)求集合.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）化简集合A，B，进而求交并即可；

（2）进行并集与补集运算即可.

【详解】(1)由题意，，

，

，，

(2)，，

所以.

18．已知命题，，命题为假命题时，实数a的取值集合为A.

(1)求集合A；

(2)设集合，若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用判别式法即可得到结果；

（2）由是的必要不充分条件，可得A是B的真子集，列不等式组可得结果.

【详解】(1)由命题p为真命题，得，得

∴,

(2)∵是的必要不充分条件，∴A是B的真子集.-

∴,解得.

19．已知不等式的解集为，且.

(1)求a值；

(2)求的值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据二次不等式解集与相应二次方程根的关系，结合韦达定理可得结果；

（2）利用韦达定理可得结果.

【详解】(1)因为不等式的解集为，

所以，方程有两个不相等的实根，

即或，

则有，，

，

即，或，

而或，所以；

(2)

.

20．已知是二次函数，满足且.

(1)求的解析式；

(2)当时，求不等式的解集.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1) 设函数，

【详解】(1)设函数，由且列出方程组求解;(2)分类讨论解一元二次不等式.

因为，可得，

所以，

又，得，

即，

对于任意的x成立，则有解得,

∴.

(2)当时，由得

，即

①当时，不等式的解集为,

②当时，变形为

若时，，不等式的解集为

若时，，不等式的解集为；

若时，，不等式的解集为

综上所述，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为

21．对于函数，我们把使得成立的x称为函数的“不动点”；把使得成立的x称为函数的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B，即，，，若.

(1)求集合A，集合B.

(2)当时，求的值域.

【答案】(1)，；

(2).

【分析】（1）根据新定义列出方程求解即可；

（2）写出函数解析式，令换元后转化为二次函数求值域即可.

【详解】(1)由

解得，

由，

解得，；

(2)若时，

令则

当时，

所以，

所以当时，，当时，

所以值域为.

22．某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件.

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价.

【答案】(1)40元；

(2)12.2万件，每件30元.

【分析】（1）设每件定价为元，求出原销售收入和新销售收入后列不等式求解；

（2）列出不等关系，分离参数得

【详解】(1)设每件定价为t元，依题意，有，

整理得，解得

因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.

(2)依题意，时，

不等式能成立，

等价于时，有解.

∵时，（当且仅当时，等号成立），

∴.

因此当该商品明年的销售量a至少应达到12.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的定价为每件30元.