2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城第一中学高一上学期10月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省菏泽市郓城县郓城第一中学高一上学期10月月考数学试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由集合的交并补运算即可求解.

【详解】，，，

故．

故选:D

2．设集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合的真子集有（　　）个

A．3 B．4 C．7 D．8

【答案】C

【分析】先求出A∩B={3，5}，再求出图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，由此能求出图中阴影部分表示的集合的真子集的个数．

【详解】∵集合U={1，2，3，4，5}，A={1，3，5}，B={2，3，5}，∴A∩B={3，5}，图中阴影部分表示的集合为：CU（A∩B）={1，2，4}，∴图中阴影部分表示的集合的真子集有：23–1=8–1=7．故选C．

【点睛】本题考查集合的真子集的个数的求法，考查交集定义、补集、维恩图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

3．若，且，则的最大值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用基本不等式可求得的最大值.

【详解】由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立.

因此，的最大值为.

故选：D.

4．关于命题，的叙述正确的是（    ）.

A．的否定：， B．的否定：，

C．是真命题，的否定是假命题 D．是假命题，的否定是真命题

【答案】C

【分析】写出命题的否定可判断AB，当时，，然后可判断CD.

【详解】因为命题，，所以的否定：，，故AB错误，

当时，，故是真命题，的否定是假命题，故C正确D错误，

故选：C

5．集合或，若，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据，分和两种情况讨论，建立不等关系即可求实数的取值范围．

【详解】解：，

①当时，即无解，此时，满足题意．

②当时，即有解，当时，可得，

要使，则需要，解得．

当时，可得，

要使，则需要，解得，

综上，实数的取值范围是．

故选：A．

【点睛】易错点点睛：研究集合间的关系，不要忽略讨论集合是否为.

6．已知为正实数且，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．3

【答案】D

【分析】由题知，再结合基本不等式求解即可.

【详解】解：因为为正实数且，

所以，

所以，

因为，当且仅当时等号成立；

所以，当且仅当时等号成立；

故选：D

7．若，，则一定有（    ）.

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式性质及特例法可得结果.

【详解】∵，，∴，∴，故A正确，B错误；

当时，，故CD，错误.

故选：A

二、多选题

8．下面命题正确的是（    ）

A．“”是“”的充分不必要条件

B．命题“若，则”的否定是“ 存在，则”.

C．设，则“且”是“”的必要而不充分条件

D．设，则“”是“”的必要不充分条件

【答案】ABD

【分析】根据充分、必要条件和命题的否定定义依次判断即可.

【详解】选项A，由，能推出，但是由，不能推出，例如当时，符合，但是不符合，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；

选项B，根据命题的否定的定义可知：命题“若，则”的 否 定 是“ 存 在，则”，故B正确；

选项C，根据不等式的性质可知：由且能推出，充分性成立，故C错误；

选项D，因为可以等于零，所以由不能推出，由可得或，所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确.

故选：ABD.

9．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】ACD

【分析】由已知结合基本不等式对各选项分别进行判断。

【详解】对于A，因为，且，由，得，当且仅当时，等号成立，所以A正确；

对于B，因为，且，所以，当且仅当时，等号成立，所以B错误；

对于C，因为，且，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以C正确；

对于D，因为，且，所以，即，当且仅当时，等号成立，所以D正确．

故选：ACD．

10．下列说法正确的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．函数的最小值是2

【答案】BC

【分析】运用不等式的性质，以及基本不等式的性质运算即可.

【详解】解：由时，得，选项A错误；

由，得，又，所以，选项B正确；

若，则，选项C正确；

，令，则，

因为在上单调递增，则，即，选项D错误.

故选：BC

11．在整数集中，被6除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，，1，2，3，4，5，则下列结论中正确的有（    ）

A．存在一个数，使得

B．对于任意一个数，都能使成立

C．“”是“整数，属于同一‘类’”的充要条件

D．“整数，满足，”的必要条件是“”

【答案】CD

【分析】对A，假设存在一个数，使得，从而推出矛盾即可；对B，举反例判断即可；对C，设整数，属于同一“类”，再分别分析充分与必要性判断即可；对D，设，，，判断即可.

【详解】对于A，假设存在一个数，使得，则，，，显然不成立，故A错误；

对于B，当时，，故B错误；

对于C，若整数，属于同一“类”，则整数，被6除所得余数相同，从而被6除所得余数为0，即，若，则被6除所得余数为0，则整数，被6除所得余数相同，故“整数，属于同一‘类’”的充要条件是“”，故C正确；

对于D，若整数，满足，，则，，，，所以，，所以，故D正确．

故选：CD．

三、填空题

12．若，，则______.

【答案】或.

【分析】利用一元二次不等式的解法和并集的运算即可得出．

【详解】解不等式可得，，或，即或．

解不等式可得，，或，即或．

∴或.

故答案为：或.

13．设，，若，则的最小值为_____________.

【答案】

【分析】由已知可得，从而有，展开后利用基本不等式，即可求解.

【详解】由题意，因为满足，

所以，且，

则，

当且仅当且，

即时取得最小值.

故答案为：

【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最值问题的应用，合理利用基本不等式求得最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

14．若集合，，且，则实数的取值范围是_________________．

【答案】

【详解】由，可知是 的子集.

当时，，得；

当时，有

解得，所以.

15．祖暅原理的内容为“幂势既同，则积不容异”，其意思是夹在两个平行平面间的两个几何体，如果被平行于这两个平面的任意平面所截，两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积一定相等．设A，B为夹在两个平行平面间的两个几何体，p：A，B的体积相等，q：A，B在同一高处的截面积总相等．根据祖暅原理可知，p是q的______条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）

【答案】必要不充分

【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由祖暅原理可知，由在同一高处的截面积总相等，可得的体积相等，

即，所以必要性成立；

反之：若两几何体的体积相等，但两几何体的体积不一定相等，

即，所以充分性不成立,

所以是的必要不充分条件.

故答案为：必要不充分

四、解答题

16．已知集合，， 或.

(1)求， ；

(2)若 ，求a的取值范围.

【答案】(1)，

(2)或

【分析】（1）根据集合运算的定义分别计算即可；

（2）运用数轴法，由 即可确定a的范围.

【详解】(1)因为，，

所以 .

因为，所以 或 ，

；

(2)因为，且 ，

所以或，所以a的取值范围是或.

综上，，，a的取值范围是或.

17．设集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2+2（a+1）x+a2-5=0}.

(1)若A∩B={2}，求实数a的值；

(2)若A∪B=A，求实数a的取值范围.

【答案】(1)-1或-3；

(2).

【分析】（1）根据集合交集的性质进行求解即可；

（2）根据集合并集的运算性质进行求解即可；

【详解】(1)由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合A={1，2}.

因为A∩B={2}，所以2∈B，将x=2代入B中的方程，

得a2+4a+3=0，解得a=-1或a=-3，

当a=-1时，B={x|x2-4=0}={-2，2}，满足条件；

当a=-3时，B={x|x2-4x+4=0}={2}，满足条件，

综上，实数a的值为-1或-3；

(2)对于集合B，=4（a+1）2-4（a2-5）=8（a+3）.

因为A∪B=A，所以B⊆A.

当<0，即a<-3时，B为空集，满足条件；

当=0，即a=-3时，B={2}，满足条件；

当>0，即a>-3时，B=A={1，2}才能满足条件，

则由根与系数的关系，得1+2=-2（a+1），1×2=a2-5，

解得a=-，且a2=7，矛盾.

综上，实数a的取值范围是.

18．已知正数a、b满足．

（1）求a+b的最小值；

（2）求的最小值．

【答案】（1）4；（2）25．

【分析】（1）利用乘1法a+b＝（a+b）（），展开后结合基本不等式即可求解；

（2）先对已知式子进行变形，结合已知条件可得（a﹣1）（b﹣1）＝1，利用基本不等式可求．

【详解】（1）因为a、b是正数，

所以，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4．

（2）由

因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，

则，

当且仅当、时等号成立，故的最小值为25．

19．2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，对人民生命安全和生产生活造成严重影响．在党和政府强有力的抗疫领导下，我国控制住疫情后，一方面防止境外疫情输入，另一方面逐步复工复产，减轻经济下降对企业和民众带来的损失．为降低疫情影响，某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用m万元满足（k为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）

(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)

(2)该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元

【分析】（1）根据题意列方程即可.

（2）根据基本不等式，可求出的最小值，从而可求出的最大值.

【详解】(1)由题意知，当时，（万件），

则，解得，∴．

所以每件产品的销售价格为（元），

∴2020年的利润．

(2)∵当时，，

∴，

当且仅当即时等号成立．

∴，

即万元时，（万元）．

故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元．