2022-2023学年山东省新泰市第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版）

这是一份2022-2023学年山东省新泰市第一中学高一上学期期中考试数学试题（解析版），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山东省新泰市第一中学高一上学期期中考试数学试题 一、单选题1．已知集合，，则（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】化简集合即得解.【详解】由题得，所以.故选：B2．若非零实数，满足，则下列不等式中一定成立的是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据不等式的性质，再举出反例即可得出答案.【详解】解：因为，所以，即，所以，故B正确；当时，，故A错误；，故C错误；，故D错误.故选：B.3．已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    )A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的定义域求出的范围，结合分母不为0求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：，解得：，由，解得：，故函数的定义域是，故选：B．4．已知，，，则，，的大小关系是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据指数函数的单调性结合中间量“1”即可得解.【详解】解：因为函数为减函数，所以，又因为，所以.故选：A.5．在直角梯形中，，，，，直线截这个梯形位于此直线左方的图形的面积（如图中阴影部分）为，则函数的图像大致为（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据直线的运动位置分析面积的表达式，进而得到分段函数：，然后根据不同段上的函数的性质即可求解．【详解】由题意可知：当时，，当时，；所以．结合不同段上的函数的性质，可知选项C符合．故选：C．6．“”是“函数是定义在上的增函数”的（    ）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】求得分段函数在上是增函数的充要条件，再从集合的包含关系即可判断和选择.【详解】函数是定义在上的增函数的充要条件是：，解得.又是的真子集，故“”是“函数是定义在上的增函数”的必要不充分条件.故选：.7．是定义在R上的奇函数，当时，，若对一切成立，则实数a的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据奇函数的性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】因为是定义在R上的奇函数，所以当时，，此时，解得，当时，，（当且仅当时取等号，即时取等号），即当时，，要想若对一切成立，只需，综上所述：，故选：B8．已知函数，用表示中的较大者，记为，若的最小值为，则实数a的值为（    ）A．0 B． C． D．【答案】B【解析】先画出两个函数的图象，得到的图象，根据最小值为进行数形结合可知，交点处函数值为，计算即得结果.【详解】依题意，先作两个函数的草图， 因为，故草图如下：可知在交点A出取得最小值，令，得，故，代入直线，得，故.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于弄明白函数的图象意义，通过数形结合确定在交点处取得最值，计算即可突破. 二、多选题9．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的为（    ）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根据常见函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】，是偶函数，且在上单调递增是奇函数，在上单调递减故选：AC10．下列说法正确的有（    ）A．“，”的否定是“，”B．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是C．若，，，则“”的充要条件是“”D．“”是“”的充分不必要条件【答案】ABD【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题即可判断A；由命题为假命题可得方程无解，则，即可判断B；根据充分条件和必要条件的定义即可判断CD.【详解】解：对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以“，”的否定是“，”，故A正确；对于B，若命题“，”为假命题，则方程无解，所以，解得，所以实数的取值范围是，故B正确；对于C，当时，，则由不能推出，所以“”的充要条件不是“”，故C错误；对于D，若，则，故由可以推出，若当时，，则由不可以推出，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确.故选：ABD.11．下列说法正确的是（    ）A．函数（且）的图像恒过定点B．若不等式的解集为或，则C．函数的最小值为6D．函数的单调增区间为【答案】BD【分析】选项A，根据指数函数的性质即可判断；选项B，根据一元二次不等式的性质即可判断；选项C，根据基本不等式的性质，验证等号成立的条件，即可判断；选项D，根据复合函数的单调性即可判断.【详解】选项A，函数（且）的图像恒过定点为，与不符，故A错；选项B，不等式的解集为或，故必有，解得，进而得到，故B正确；选项C，，当且仅当，方程无解，故等号不可成立，故C错误；选项D，函数是复合函数，由和，以及，三个函数复合而成，故所求函数的单调增区间为函数的单调递减区间，且要求，而函数的单调递减区间为，又因为，故，解得，得，综上，函数的单调增区间为，故D正确故选：BD12．定义域和值域均为（常数）的函数和图象如图所示，给出下列四个命题，那么，其中正确命题是（    ） A．方程有且仅有三个解B．方程有且仅有三个解C．方程有且仅有九个解D．方程有且仅有一个解【答案】AD【分析】通过利用或，结合函数和的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分析外层零点对应的直线与内层函数图象的交点个数，即可得出结论.【详解】解：对于A中，设，则由，即，由图象知方程有三个不同的解，设其解为，，，由于是减函数，则直线与函数只有1个交点，所以方程，，分别有且仅有一个解，所以有三个解，故A正确；对于B中，设，则由，即，由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，则直线与函数只有2个交点，所以方程只有两个解，所以方程有两个解，故B错误；对于C中，设，若，即，方程有三个不同的解，设其解为，，，设，则由函数图象，可知，，由图可知，直线和直线分别与函数有3个交点，直线与函数只有1个交点，所以或或共有7个解，所以共有七个解，故C错误；对于D中，设，若，即，由图象可得有且仅有一个解，设其解为b，可知，因为是减函数，则直线与函数只有1个交点，所以方程只有1解，所以方程只有一个解，故D正确.故选：AD.【点睛】思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：（1）确定内层函数和外层函数；（2）确定外层函数的零点；（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为、、、、，则函数的零点个数为. 三、填空题13．已知集合，若，则实数的值为______．【答案】##【分析】根据元素与集合的关系，分类讨论，即可求得结果.【详解】当，即时，集合，不满足互异性，故舍去；当，即（舍）或，此时，集合满足题意.综上所述，实数的值为.故答案为：.14．若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为________.【答案】【分析】对分成和两种情况进行分类讨论，结合判别式，求得的取值范围.【详解】当时，，满足题意；当时，则，即，解得：，综上：.故答案为：【点睛】本小题主要考查一元二次方程恒成立问题的求解，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.15．已知函数是幂函数，若，则实数的最大值是______．【答案】6【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据幂函数的奇偶性和单调性解不等式即可.【详解】解：因为函数是幂函数，所以，解得，所以，因为，所以函数是上的奇函数，又函数在上递增，且在定义域内连续，所以函数在上递增，不等式，即为不等式，所以，解得，所以实数的最大值是6.故答案为：6.16．已知函数，若对任意的，都存在唯一的，满足，则实数的取值范围是______．【答案】【分析】由题意可得函数在[2，＋∞）时的值域包含于函数在（−∞，2）时的值域，利用基本不等式先求出函数在x∈[2，＋∞）时的值域，当x∈（−∞，2）时，对a分情况讨论，分别利用函数的单调性求出值域，从而求出a的取值范围．【详解】解：设函数的值域为，函数的值域为，因为对任意的，都存在唯一的，满足，则，且中若有元素与中元素对应，则只有一个.当时，，因为，当且仅当，即时，等号成立，所以，当时，①当时，，此时，，解得，②当时，，此时在上是减函数，取值范围是，在上是增函数，取值范围是，，解得，综合得.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题即有恒成立问题，又有存在性问题，最后可转化为函数值域之间的包含关系问题，最终转化为最值问题，体现了转化与化归的思想. 四、解答题17．已知集合，．(1)当时，求，；(2)若，求实数的取值范围．【答案】(1)，．(2) 【分析】（1）先求出集合，再根据集合交并补运算求解即可；（2）由题知，进而解不等式即可得答案.【详解】（1）当时，，又因为，所以或，所以，．（2）因为，集合，或， 所以解得．所以实数的取值范围为．18．计算：(1)；(2)【答案】(1)1；(2). 【分析】（1）由已知，对原式利用指数运算进行化简即可得到答案；（2）由已知，对原式利用对数运算进行化简即可得到答案；【详解】（1）；（2）.19．已知幂函数在上单调递增，.(1)求实数m的值；(2)当时，记，的值域分别为集合A，B，设命题p：，命题q：，若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数t的取值范围.【答案】(1)(2) 【分析】(1)利用幂函数定义和性质列关系式即可求解；(2)先求出,的值域，，再利用命题是命题的必要不充分条件可以推出A⫋B，由此列不等式即可求解.【详解】（1）因为是幂函数，所以，解得或.又因为在上单调递增，所以即，故.（2）又(1)知，因为在上单调递增，所以当时，，，所以在上的值域为，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，，所以的值域为，因为命题q是命题p的必要不充分条件，所以A⫋B，所以或，解得，所以实数t的取值范围是.20．某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入90万元安装了一套新的生产设备，预计使用该设备后前年的支出成本为万元，每年的销售收入95万元．设使用该设备前年的总盈利额为万元．(1)写出关于的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；(2)使用若干年后对该设备处理的方案有两种：方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以20万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以60万元的价格处理；问哪种方案较为合理？并说明理由．【答案】(1)，该设备从第2年开始实现总盈利；(2)方案二更合适，理由见解析. 【分析】（1）根据题意，直接求得，令，结合的取值范围，即可求得结果；（2）分别求得两种方案下的总利润，结合使用年限，即可判断.【详解】（1）由题意可得，由得，又，所以该设备从第2年开始实现总盈利．（2）方案二更合理，理由如下：方案一：由（1）知，总盈利额，当时，取得最大值160，此时处理掉设备，则总利润为万元；方案二：由（1）可得，平均盈利额为，当且仅当，即时等号成立；即时，平均盈利额最大，此时，此时处理掉设备，总利润为万元．综上，两种方案获利都是180万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．21．已知函数（为常数）是定义在上的奇函数.(1)求函数的解析式；(2)判断函数的单调性，并用定义证明；(3)若函数满足，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)在上单调递减，证明见解析(3) 【分析】（1）依题意可得，即可得到方程，解得即可；（2）首先判断函数的单调性，再根据定义法证明，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）根据函数的奇偶性与单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，再解得即可；【详解】（1）解：因为是定义在上的奇函数，所以，即，即，所以，即；解得，所以（2）解：函数是上的减函数证明：在上任取,，设，因为，所以，则，所以即所以在上单调递减（3）解：因为是定义在上的奇函数所以可化为又在上单调递减，所以解得22．已知为偶函数，为奇函数，且满足.（1）求、；（2）若方程有解，求实数的取值范围；（3）若，且方程有三个解，求实数的取值范围.【答案】（1），；（2）；（3）.【分析】（1）由已知条件可得出、的等式组，由此可解得这两个函数的解析式；（2）令，分析可知函数在上有零点，分、两种情况讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围；（3）作出函数的图象，分析可知方程有两个不等的实根，从而方程有且只有一个根，数形结合可求得实数的取值范围.【详解】（1）因为为偶函数，为奇函数，由已知可得，即，所以，，解得；（2）由可得，令，当且仅当时，等号成立，则，故有，其中，令，其中，则函数在上有零点，①当时，即当时，则在上单调递增，所以，，不合乎题意；②当时，即当时，则有，解得，此时.综上所述，实数的取值范围是；（3），作出函数的图象如下图所示：由可得，由图可知，方程有两个不等的实根，由题意可知，方程有且只有一个根，故或，解得或.因此，实数的取值范围是.