2022-2023学年青海省海东市第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年青海省海东市第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】B

【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.

【详解】由特称命题的否定的概念知，

“，”的否定为：，．

故选：B．

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】解不等式得到集合，然后求交集即可.

【详解】由题意得集合，所以.

故选：A.

3．函数的定义域是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解.

【详解】要使函数有意义，则有，

解得：且，

所以函数的定义域为，

故选：.

4．若偶函数在区间上的最大值为，则函数在区间上有（    ）

A．最小值 B．最小值

C．最大值 D．最大值

【答案】D

【分析】根据偶函数的性质，偶函数图像关于轴对称来解决.

【详解】因为为偶函数，所以的图像关于即轴对称，

也就是说自变量相反的两个数函数值一样，所以有最大值.

故选：D

5．不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】将原不等式转化为从而可求出其解集

【详解】原不等式可化为，即，

所以

解得．

故选：C

6．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：

若某户居民本月缴纳的水费为108.1元，则此户居民本月的用水量为（    ）A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意可知，该题为分段函数模型.可求出函数，根据各段的值域，可知，代入解析式，即可求出.

【详解】设此户居民本月的用水量为，水费为元.

当时，则；

当时，则；

当时，则.

综上所述，

由前面可知，，则有，解得.

故选：D.

7．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由时，恒成立，可得函数在区间上单调递增，再根据函数是偶函数，可得函数图象关于直线对称，根据函数的单调性与对称性即可得解.

【详解】解：因为当时，恒成立，

所以函数在区间上单调递增，

由于函数是偶函数，故函数图象关于y轴对称，

所以函数图象关于直线对称，

所以，，

由，函数在区间上单调递增，

所以．

故选：B.

8．设正实数x，y满足，则的最小值为（    ）

A．9 B． C．8 D．

【答案】B

【分析】由，得，则，化简后利用基本不等式可求出其最小值.

【详解】因为正实数x，y满足，

所以，

所以

，

当且仅当，即时取等号，

所以的最小值为，

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ACD

【分析】根据元素与集合之间以及集合之间的关系可判断A、B项；根据子集的概念可判断C项；根据的含义可判断D项.

【详解】因为2是中的元素，A项正确；

“”表示的是元素与集合之间的关系，而不能表示集合与集合之间的关系，B项错误；

因为，，根据子集的概念知，C项正确；

 是任何集合的子集，D项正确.

故选：ACD.

10．如果A是D的充分不必要条件，B是C的充要条件，A是C的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ）

A．A是B的必要不充分条件 B．B是D的充分不必要条件

C．C是D充要条件 D．B是D的既不充分又不必要条件

【答案】AB

【分析】根据充分条件与必要条件的定义，可得答案.

【详解】由A是D的充分不必要条件，则A能推出D，且D推不出A；由B是C的充要条件，则B能推出C，且C能推出B，由A是C的必要不充分条件，则A推不出C，且C能推出A，

对于A，由B能推出C，且C能推出B，A推不出C，且C能推出A，则A推不出B，且B能推出A，故A正确；

对于B，由A推不出B，且B能推出A，A能推出D，且D推不出A，则B能推出D，且D推不出B，故B正确；

对于C，由B能推出C，且C能推出B，B能推出D，且D推不出B，则C能推出D，且D推不出C，故C错误；

对于D，由B选项，可得D错误.

故选：AB.

11．已知函数的图象经过点，则（    ）

A．的图象经过点 B．的图象关于y轴对称

C．在定义域上单调递减 D．在内的值域为

【答案】AD

【分析】代入已知点坐标求得函数解析式，然后根据幂函数的性质判断．

【详解】将点的坐标代入，可得，

则，

所以的图象经过点，A正确；

根据幂函数的图象与性质可知为奇函数，图象关于原点对称，在定义域上不具有单调性，

函数在内的值域为，故BC错误，D正确，

故选：AD．

12．已知函数，，则下列说法中正确的是（    ）

A．函数的定义域为  B．函数的值域为

C．函数的最大值为2 D．函数在上单调递增

【答案】AD

【分析】根据解析式的形式求出函数的定义域后可判断A的正误，利用换元法B中函数的值域，从而可判断其正误，利用平方变形结合二次函数性质可求C中函数的最大值，故可判断其正误，利用分离常数法变形D中函数后可判断其单调性.

【详解】A：，

故A正确；

B：令，

令，，

则的值域为，故B不正确；

C：令，则，

，

当时，，的最大值为，故C不正确；

D：令，

因为在上单调递增，在上为单调增函数，

在上单调递增，故D正确．

故选：AD.

三、填空题

13．写出一个最小值为2的偶函数______．

【答案】（答案不唯一）.

【分析】由偶函数的定义求解即可.

【详解】对于，

因为，

所以为偶函数，

因为，所以的最小值为2，

所以符合题意，

故答案为：（答案不唯一）.

14．若正数x，y满足，则的最小值是______．

【答案】

【分析】根据基本不等式，结合已知等式进行求解即可.

【详解】因为正数x，y满足，

所以，

当且仅当时取等号，即当时取等号，

所以的最小值是

故答案为：

15．设函数在区间上是增函数，则实数的最大值为_______.

【答案】.

【分析】根据判断二次函数单调性，并列不等式，求解.

【详解】函数的图像的对称轴为直线，、

又函数在上单调递增，所以，

解得，

故实数的最大值为，

故答案为.

16．已知是关于的二次方程的两根，则的大小关系是___________.

【答案】

【分析】根据一元二次方程的根与二次函数的图象的关系判断．

【详解】如图是函数的图象（图中隐去了轴），

为的两根，为与轴交点的横坐标.为的根，为与交点的横坐标，.

故答案为：.

四、解答题

17．已知集合，集合．

(1)当时，求；

(2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．

【答案】(1)或；

(2)

【分析】（1）当时，求出集合，求出集合，再由交集的定义求解即可；

（2）根据充分条件的定义，结合集合子集的性质进行求解即可.

【详解】（1）当时，

或，

所以或；

（2），

或，

因为若是的充分条件，

所以.

所以，解得.

所以实数a的取值范围是.

18．已知一次函数满足，.

(1)求实数a､b的值；

(2)令，求函数的解析式.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）把题给条件中的抽象函数值转化成具体代数式，组方程组解之即可；

（2）由内层函数值逐步计算到外层函数值即可解决.

【详解】（1）由题意可得解之得

（2）由（1）可得，则

故有

19．（1）比较与的大小；

（2）已知，求证：．

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）求差法进行大小比较即可；

（2）求差法去证明即可解决.

【详解】（1）由，

可得．

（2），

∵，∴，，，

∴，∴．

20．已知函数是定义在上的奇函数，且．

(1)用定义法证明在上是增函数；

(2)解关于的不等式：．

【答案】(1)证明见解析；

(2)

【分析】（1）根据奇函数的定义和可求出和，从而得到函数的解析式；

再在之间任取，利用作差法比较和的大小，根据函数的单调性的定义即可判断单调性；

（2）由函数的奇偶性，将原不等式变为，结合函数的单调性及其定义域就可求出的取值范围．

【详解】（1）证明：因为函数是定义在上的奇函数，

所以恒成立，即，则，

此时，则，

解得，所以．

设，

则，

，，且，则，

则，即，

所以函数在是增函数．

（2）解：，

，

是定义在上的增函数，

得，

所以不等式的解集为．

21．如图，计划依靠一面墙建一个植物角.墙长为18m.用栅栏围成四个相同的长方形区域种植若干种植物.

(1)若每个长方形区域的面积为，要使围成四个 区域的栅栏总长度最小，每个长方形区域长和宽分别是多少米？并求栅栏总长度的最小值；

(2)若每个长方形区域的长为m（），宽为长的一半.每米栅栏价格为5元，区域的重建费用为每平方米10元.要使总费用不超过180元，求长方形区域的长的取值范围.

【答案】(1)每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m

(2)

【分析】（1）利用基本不等式即可求得栅栏总长度的最小值；

（2）根据题意可知总费用，解不等式即可求得的取值范围.

【详解】（1）设每个长方形区域的长为m（），则宽为，

则栅栏总长为.

当且仅当，即时等号成立，

所以每个长方形区域的长和宽分别为6m和4m时，栅栏总长度最小，且最小值为48m；

（2）由题可知每个长方形区域的长为m，宽为m，，

则长方形区域的面积为，栅栏总长为，

总费用，又总费用不超过180元，

，解得：,

又，,

故当时，总费用不超过180元.

22．已知幂函数，且.

(1)求函数的解析式；

(2)试判断是否存在正数，使得函数在区间上的最大值为5，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【答案】(1)

(2)存在，

【分析】（1）根据函数是幂函数，则，并检验，即可；

（2）化简得，求出对称轴，分，两种情况分别求得函数的最大值，即可求出实数的值.

【详解】（1）由题知，，解得或，

当时，，满足，

当时，，不满足，

所以.

（2）.

当时，在区间上单调递增，在上单调递减，

所以，

解得，不合题意；

当时，在区间上递增，

所以，解得.

综上所述，存在正数，使得在区间上的最大值为5.