2022-2023学年山东省淄博市淄博第一中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山东省淄博市淄博第一中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知集合 ， 则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由交集的定义即可得出答案.

【详解】因为，

则 .

故选：B.

2．已知命题，则为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据全称命题的否定是特称命题这一性质进行修改即可.

【详解】由于全称命题的否定是特称命题，故为，.

故选：C

3．设，则“ “是“”的（    ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必条件

【答案】B

【解析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到本题答案.

【详解】由，得，又由，得，

因为集合，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.

4．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】由题意当时，不等式恒成立，由于的最小值等于3，可得，从而求得答案．

【详解】当时，不等式恒成立，

对均成立．

由于，

当且仅当时取等号，

故的最小值等于3，

，

则实数a的取值范围是．

故选：D．

5．设函数，则方程的解为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由知，，，，解方程即可得出答案.

【详解】因为，由知，

，，，

解得.

故选：A．

6．函数的定义域为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二次根式被开方数非负可求得原函数的定义域.

【详解】对于函数，有，即，解得.

所以，函数的定义域为.

故选：C.

7．已知、、满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项.

【详解】因为且，则，，的符号不确定，

对于A选项，由不等式的基本性质可得，A中的不等式一定成立；

对于B选项，，则，B中的不等式一定成立；

对于C选项，由不等式的性质可得，C中的不等式一定不成立；

对于D选项，，由不等式的基本性质可得，D中的不等式一定成立.

故选：C.

8．已知，，若对，，使得，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】将对，，使得转化为对于任意恒成立，利用分离参数法以及函数单调性即可求解.

【详解】∵，

∴，当且仅当，即时取等号.

∴当时，.

∴对，，使得等价于对于任意恒成立，即对于任意恒成立

∴对任意恒成立

∵函数在上为增函数

∴，即.

故选：B.

二、多选题

9．已知集合，．若，则实数m的值为（       ）

A．0 B．1 C．-3 D．3

【答案】AD

【分析】根据并集结果得到，从而讨论得到或或，根据集合中元素的互异性排除不合要求的结果.

【详解】因为，所以．

因为，，所以或，

解得或或；

当时，，，符合题意；

当时，集合不满足集合元素的互异性，不符合题意；

当时，，，符合题意；

综上，或.

故选：AD

10．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．函数有3个单调区间 B．当时，

C．函数有最小值 D．不等式的解集是

【答案】BC

【分析】利用奇偶性求出的表达式，再逐项求出单调区间、最值以及不等式的解集即可判断.

【详解】解：当时，，因为时，

所以，又因为是定义在上的偶函数

所以时，

即

如图所示：

对A，由图知，函数有个单调区间，故A错误；

对B，由上述分析知，当时，，故B正确；

对C，由图知，当或时，函数取得最小值，故C正确；

对D，由图知，不等式的解集是，故D错误.

故选：BC.

11．已知函数是上的减函数，则实数的可能的取值有（    ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】ABC

【分析】根据题意可得，解之即可得解.

【详解】因为函数是上的减函数，

所以

解得.

故ABC正确，D错误

故选：ABC.

12．已知函数的定义域为A，若对任意，存在正数M，使得成立，则称函数是定义在A上的“有界函数”.则下列函数是“有界函数”的是（    ）

A．                 B．

C．             D．

【答案】BC

【分析】根据题意计算每个函数的值域，再分析是否有界即可.

【详解】对于A，，由于，所以，

所以，故不存在正数M，使得成立.

对于B，令，则，，当时，u取得最大值4，所以，所以，故存在正数2，使得成立.

对于C，令，则，易得，所以，即，故存在正数5，使得成立.

对于D，令，则，，则，易得，所以，故不存在正数M，使得成立.

故选：BC

三、填空题

13．设，则________．

【答案】6

【分析】先求出的解析式，再将代入求解即可．

【详解】∵

令（），∴（），即（）

当时，

故答案为：6．

14．已知，则的最大值是_________

【答案】##

【分析】直接利用基本不等式求最大值.

【详解】，则，

当且仅当即时取等号．

故答案为：.

15．对任意，给定，记函数，例如，，则的最小值是__________.

【答案】4

【分析】根据题意求的解析式，根据分段函数的性质先求每个部分的最小值，再求整个函数的最小值.

【详解】若，即，解得

若，即，解得或

∴

当时，则

当时，则

∴的最小值是4.

故答案为：4.

16．若正数a，b满足，则的最小值是______．

【答案】

【分析】由基本不等式和条件可得，然后解出此不等式可得答案.

【详解】由基本不等式可得，

所以，即，

解得或（舍），当且仅当时等号成立，

所以的最小值是，

故答案为：.

四、解答题

17．已知非空集合，．

(1)若，求；

(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由交集，补集的概念求解，

（2）转化为集合间关系后列式求解，

【详解】（1）当时，，，则,，

（2）由题意得是的真子集，而是非空集合，

则且与不同时成立，解得，

故a的取值范围是

18．已知幂函数在上单调递减.

(1)求的值；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)由幂函数的定义可得，解出的值，然后再验证其单调性.

(2) 由（1）,即,由其定义域和单调性可得答案.

【详解】（1）因为是幂函数，所以，

所以，即，

解得或.

因为在上单调递减，所以，即，则.

（2）由（1）可知，则等价于，

所以，即，

解得或.

故的取值范围是

19．经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路汽车的车流量（千辆/）与汽车的平均速度之间的函数关系式为．

（I）若要求在该段时间内车流量超过2千辆/，则汽车在平均速度应在什么范围内？

（II）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？

【答案】（I）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/，则汽车的平均速度应该大于且小于．

（II）当时，车流量最大，最大车流量约为（千辆/）．

【分析】（I）直接列出关于汽车的平均速度的不等式求解即可；（II），根据基本不等式求解即可.

【详解】（I）由条件得，

整理得到，

即，解得．

（II）由题知，.

当且仅当即时等号成成立．

所以（千辆/）．

答：（I）如果要求在该时段内车流量超过2千辆/，则汽车的平均速度应该大于且小于．

（II）当时，车流量最大，最大车流量约为（千辆/）．

20．已知关于的不等式的解集为或.

(1)求a，b的值；

(2)求关于的不等式的解集.

【答案】(1)；

(2)答案见解析

【分析】（1）将不等式的解集转化为方程的两个根，结合韦达定理求出a，b的值；

（2）在（1）的前提下，对不等式变形为，对分类讨论，求解不等式的解集.

【详解】（1）易知，

由题意得b，3是关于的方程的两个不相等的实数根，

所以，

解得：，

所以.

（2）由（1）得，

当时，不等式无解；

当时，解得：；

当时，解得：.

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

21．函数是定义在上的奇函数，且．

(1)确定的解析式；

(2)判断在上的单调性，并证明你的结论；

(3)解关于的不等式．

【答案】(1)

(2)增函数，证明见解析

(3)

【分析】（1）根据，得到的方程，解之即可求得；

（2）根据单调性的定义证明即可；

（3）根据单调性先去，再解不等式组即可，注意化简不等式时要补定义域．

【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，

，

，

又由，

∴ ．

，

∴奇函数，

故符合题意，为所求解．

（2）解：在区间上为增函数．

证明：设．

而，

由，

得，

，

即，

．

故函数在上为增函数．

（3）解：由函数为奇函数且在上为增函数知：

，

，

解得：．

故不等式的解集为．

【点睛】本题的难点在（2）中判断与的大小，通分后要对分子进行因式分解；易错点为在（3）中化简不等式时不补定义域．

22．已知a，若函数在区间[1，2]上的最小值为

(1)求的函数表达式；

(2)若求的最大值.

【答案】(1)；

(2).

【分析】（1）利用二次函数的性质分类讨论即得；

（2）利用函数的单调性即得.

【详解】（1）∵，，

∴当，即时，函数在上单调递增，

当时，函数有最小值，即，

当，即时，当时，函数有最小值，即，

当，即时，函数在上单调递减，

∴当时，函数有最小值，即，

综上，；

（2）∵，

当时，，

故在上的最大值为.