2022-2023学年陕西省西安市户县第三高级中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年陕西省西安市户县第三高级中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知命题p：，使成立，则p的否定是（    ）

A．，使不成立 B．，使不成立

C．，使不成立 D．，使不成立

【答案】C

【分析】由特称命题的否定形式，判断即得解

【详解】由特称命题的否定形式可得：

“，使成立”的否定为“，使不成立”

故选：C

2．已知集合，则M的非空子集的个数是（    ）

A．7 B．8 C．15 D．16

【答案】C

【分析】解分式不等式求集合M，并确定元素个数，根据元素个数与集合子集的数量关系求M的非空子集的个数.

【详解】由题设，，即，可得，

∴共有4个元素，故M的非空子集的个数.

故选：C

3．若，则的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】作差法比较的大小，再作差法比较的大小，即可得到三者的大小关系.

【详解】，又，则，则

，又，则，则

综上，

故选：A

4．不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】将分式不等式转化为整式不等式即可求解.

【详解】，，

，即，

，解得.

不等式的解集为.

故选：A

5．已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】分和两种情况求解，是转化为二次函数与轴没有交点的问题，然后列出不等式求解即可.

【详解】当时，符合题意；

当时，，即解得，

综上，实数的取值范围是

故选：C

6．函数的图象大致为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】，然后可选出答案.

【详解】

故选：B

7．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意知分段函数求值应分段处理，利用函数的单调性求解不等式.

【详解】，

由的解析式可知，在上是单调递增函数，

再由，得，

 即，解得.

故选：C.

【点睛】此题重点考查了分段函数的求值，还考查了利用函数的单调性求解不等式，同时一元二次不等式求解也要过关.

8．已知函数()，若函数 有三个零点，则a 的取值范围是(   )

A．  B．

C．  D．

【答案】A

【分析】有三个零点转化为与的图象有三个交点，当时，有两个交点，只需当时的图象与的图象有1个交点，接下来分和，求出的值，进而确定的取值范围.

【详解】因为函数有三个零点，

所以的图象与的图象有三个交点.

因为，所以当时，由得，或，

所以当时，的图象与的图象有两个交点，

则当时的图象与的图象有1个交点.

令，得，所以符合题意;

令，得或(舍去)，所以符合题意.

综上，的取值范围是，

故选:A.

二、多选题

9．已知关于x的方程，下列结论正确的是（       ）

A．方程有实数根的充要条件是或

B．方程有两正实数根的充要条件是

C．方程无实数根的必要条件是

D．当时，方程的两实数根之和为0

【答案】BC

【分析】对A：由即可判断；对B：由即可判断；对C：由即可判断；对D：当时，即可判断.

【详解】解：对A：若有实数根，则，解得或，故A错误；

对B：由题意，，解得，故B正确；

对C：若方程无实数根，则，解得，

该条件的一个必要条件是，故C正确；

对D：当时，方程无实数根，故D错误；

故选：BC.

10．已知函数，其中表示不大于的最大整数，下列关于的性质，正确的是（    ）

A．在上是增函数 B．是偶函数

C．的值域为 D．是奇函数

【答案】AC

【分析】由表示不大于的最大整数，化简，作出的图像，利用图像判断四个选项即可得到结论.

【详解】当时,,此时；

当时,,此时；

当时,,此时；

当时,,此时；

……

所以作出的图像如图所示：

对照图像可以看出：

对于A：在上是增函数 是正确的；故A正确.

对于B：是非奇非偶函数；故B错误..

对于C：的值域为；故C正确.

对于D：是非奇非偶函数；故D错误..

故选：AC

11．已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．若，则有最小值 B．若，则有最小值

C．若，则有最大值 D．若，则有最大值

【答案】AC

【分析】分和两种情况，结合均值不等式即可得出结果.

【详解】当时，，当且仅当时，等号成立；故A正确，B错误；

当时，

，当且仅当时，等号成立；故C正确，D错误；

故选：AC.

12．已知集合，，则下列结论错误的是（    ）

A．  B．  C．  D．

【答案】ABC

【分析】由集合的关系与集合的运算对选项逐一判断，

【详解】对于A，，故A错误，

对于B，，故B错误，

对于C，3不是集合，故C错误，

对于D，，故D正确，

故选：ABC

三、填空题

13．函数的定义域为__________．

【答案】

【分析】根据分式和根式的定义域求出范围即可.

【详解】由,解得且,

故定义域为,

故答案为:.

14．若集合，，且，则由的可能取值组成的集合为____.

【答案】

【分析】结合已知条件求出与的包含关系，进而即可得到答案.

【详解】因为，

所以，

若，则，即，满足题意；

若，则，即，

从而，解得.

综上所述，的可能取值组成的集合为.

故答案为：.

15．已知正实数a，b满足，则的最小值是___________.

【答案】16

【分析】对利用基本不等式求出且，把展开得到，即可求出最小值.

【详解】因为正实数a，b满足，

所以，即，也即，

当且仅当时，即时取等号.

因为，所以，

所以.

故的最小值是16.

故答案为：16

16．已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数，则的值为_________．

【答案】

【详解】试题分析：因为幂函数在区间上是单调增函数，所以，解得：，因为，所以或或．因为幂函数为偶函数，所以是偶数，当时，，不符合，舍去；当时，；当时，，不符合，舍去．所以，故．

【解析】1、幂函数的性质；2、函数值．

四、解答题

17．设全集，集合，

（1）求；

（2）若集合，满足，求实数a的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）化简集合B，根据交集运算即可求解；

（2）由可得，据此建立不等式求解即可.

【详解】（1）∵，

∴；

（2）由集合C中的不等式，解得，

∴，

∵，

∴，

∴，

解得

18．设集合.

(1)若，求；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1），求得，由并集的定义求解即可.

（2）根据得到，讨论，，，四种情况分别计算得到答案.

【详解】（1）当时，，

又

所以.

（2），

当时，，即；

当时，利用韦达定理得到，解得；

当时，利用韦达定理得到，无解；

当时， 根据韦达定理得到 ，解得 ；

综上，实数a的取值范围是：

19．已知函数f(x)＝-x2＋2ax＋1-a．

(1)若函数f(x)在区间［0，3］上是单调函数，求实数a的取值范围；

(2)若f(x)在区间［0，1］上有最大值3，求实数a的值．

【答案】(1)a≤0或a≥3

(2)a＝-2或a＝3

【分析】（1）先求函数对称轴，再根据开口方向以及对称轴与定义区间位置关系即可求出结果；

（2）根据对称轴与定义区间位置关系三种情况分类讨论最大值取法，再根据最大值为3，解方程求出实数a的值

【详解】（1）函数图像开口向下，对称轴为x＝a，

因为函数f(x)在区间［0，3］上是单调函数，

所以函数f(x)在区间［0，3］上是增函数或减函数，

所以a≤0或a≥3．

（2）f(x)对称轴为x＝a，

当a≤0时，函数f(x)在区间［0，1］上是减函数，

则f(x)max＝f（0）＝1-a＝3，即a＝-2；

当0＜a＜1时，函数f(x)在区间［0，a］上是增函数，在区间［a，1］上是减函数，

则f(x)max＝f（a）＝a2-a＋1＝3，解得a＝2或-1，不符合题意；

当a≥1时，函数f(x)在区间［0，1］上是增函数，

则f(x)max＝f(1)＝-1＋2a＋1-a＝3，解得a＝3；

综上所述，a＝-2或a＝3．

20．幂函数的图像经过点，点在幂函数的图像上.

(1)求的解析式；

(2)当为何值时，?当x为何值时，?

【答案】(1)，

(2)答案见解析

【分析】（1）利用幂函数的性质，直接计算可得；

（2）根据幂函数的图像，利用数形结合，直接可得答案.

【详解】（1）设，则，，，设，则，

即，.

（2）从图像可知，当或时，；

当或时，.

21．已知函数f(x)=ax+，且f（1）=5，f（2）=4.

（1）求实数a，b的值；

（2）证明：函数f(x)在区间(-∞，-2]上单调递增.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】（1）根据f（1）=5，f（2）=4，由求解.

（2）由（1）知，f(x)=x+，任取x1，x2∈(-∞，-2]，且x1<x2，然后作差判断f(x1)-f(x2)的符号即可.

【详解】（1）因为f（1）=5，f（2）=4，

所以，

解得.

（2）由（1）知，f(x)=x+，

任取x1，x2∈(-∞，-2]，且x1<x2，

则f(x1)-f(x2)=x1+-x2-

=(x1-x2)(1-)=.

因为x1<x2-2，

所以x1-x2<0，x1x2>4>0，

所以<0，

即f(x1)<f(x2)，

故函数f(x)在(-∞，-2]上单调递增.

22．已知函数是定义在上的函数，若对于任意的，，都有，且时，有.

(1)求的值；

(2)判断函数的奇偶性；

(3)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明你的结论.

【答案】(1)0

(2)是奇函数

(3)增函数，证明见解析

【分析】(1)结合已知条件，利用赋值法即可求解；(2)利用奇偶性定义即可判断；(3)利用单调性定义即可证明.

【详解】（1）不妨令，

因为，

所以，

解得.

（2）是奇函数，证明如下：

不妨令，

则，

从而，且的定义域为，

所以是奇函数.

（3）在上是增函数，证明如下：

不妨设，，且，即，则，

因为，

所以，

故在上是增函数.