2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期12月质量检测数学试题（解析版）

2022-2023学年上海市青浦高级中学高一上学期12月质量检测数学试题

一、填空题

1．函数的定义域是______．

【答案】

【分析】由偶次根式被开方数大于等于零可直接求得结果.

【详解】，，解得：，

的定义域为.

故答案为：.

2．函数的值域是______．

【答案】

【分析】指数型函数的值域

【详解】因为

所以

所以值域为：

故答案为：

3．已知，则______．

【答案】##2.5

【分析】利用换元法求出函数的解析式，将代入即可求解．

【详解】令，即，

所以，即，

故．

故答案为：．

4．已知常数，，假设无论为何值，函数的图象恒经过一个定点，则这个定点的坐标是______．

【答案】

【分析】利用对数函数性质可知，令即可求出的图象恒过的定点的坐标.

【详解】因为的图象必过，即，当，即时，，

从而图象必过定点.

故答案为：.

5．已知，，若α是β充分条件，则m的取值范围是________.

【答案】，

【分析】根据集合的包含关系得到关于的不等式，解出即可．

【详解】解：，，

若是充分条件，则，，，

故，解得：，

则的取值范围是，，

故答案为：，．

6．已知，若幂函数为奇函数，且在上是严格减函数，则取值的集合是______．

【答案】

【分析】由幂函数为奇函数，且在上递减，得到是奇数，且，由此能求出的值．

【详解】∵，

幂函数为奇函数，且在上递减，

∴是奇数，且，∴．

故答案为：

7．已知函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】根据二次函数对称轴与单调区间位置关系列不等式，解得结果.

【详解】对称轴方程为，

在区间上是增函数，所以.

故答案为:.

【点睛】本题考查根据二次函数单调性求参数取值范围，考查数形结合思想方法，属基础题.

8．函数的单调递减区间是___________.

【答案】

【分析】先求出函数的定义域，再利用复合函数、二次函数的单调性进行求解.

【详解】令，解得或，

即的定义域为，

令，

则在上单调递增，在上单调递减，

且在上单调递增，

所以函数的单调递减区间是.

故答案为：.

9．已知函数为偶函数，定义域，当时，，则当时，函数的表达式是______．

【答案】

【分析】当时，，求出，结合偶函数性质进而得解.

【详解】当时，，，因为为偶函数，所以，故.

所以当时，函数的表达式是.

故答案为：

10．函数，，且的最大值是，则实数的取值范围是______．

【答案】

【分析】根据二次函数图像及性质判断函数在上最大值是，进而确定参数取值范围.

【详解】因为，故函数如图所示：

因为当时，，且，

所以有：，

故答案为：.

11．由于疫情防控需要，某地铁站每天都对站内进行消毒工作，设在药物释放过程中，站内空气中的含药量（毫克/每立方米）与时间（小时）成正比.药物释放完毕后，与满足关系（常数，）.据测定，空气中每立方米的含药量降低到毫克以下时，乘客方可进站，则地铁站应安排工作人员至少提前___________分钟进行消毒工作.

【答案】

【分析】当时，求出关于的函数解析式，然后解不等式，即可得解.

【详解】由于函数的图象过点，则，可得，

故当时，，由，可得，解得，此时.

故地铁站应安排工作人员至少提前分钟进行消毒工作.

故答案为：.

12．已知定义在R上的函数，若函数为偶函数，且对任意，（），都有，若，则实数的取值范围是______.

【答案】

【分析】由函数为偶函数，故函数的图象关于直线x=2对称，再根据条件可知，所以函数在[2,+∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增，由得，解之即可求出结果.

【详解】由于函数为偶函数，故函数的图象关于直线x=2对称，

又“对任意，（），都有”，

所以函数在[2,+ ∞)上单调递减，在(－∞,2]上单调递增，

由得，解得.

故答案为.

【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，要求学生掌握数形结合的思想运用，属中档题.

二、单选题

13．下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【分析】根据相同函数定义域与对应法则相同判断即可.

【详解】对A，与定义域不同，故A错误；

对B，与定义域不同，故B错误；

对C，与为同一函数，故C正确；

对D，与定义域不同，故D错误；

故选：C

14．设，下列计算中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用指数幂的运算逐项分析

【详解】因为，所以

选项A：，故A错误.

选项B：，故B错误

选项C：，故C错误

选项D：，故D正确

故选：D.

15．函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】C

【详解】根据函数过排除A;

根据过排除B、D,

故选C．

16．已知非空集合A，B满足：，，函数，对于下列两个命题：①存在唯一的非空集合对，使得为偶函数；②存在无穷多非空集合对，使得方程无解.下面判断正确的是（    ）

A．①正确，②错误 B．①错误，②正确

C．①､②都正确 D．①､②都错误

【答案】B

【分析】在同一平面直角坐标系画出与的图象，结合函数图象即可判断①；再分别求出与的解，即可判断无解的条件，从而判断②，即可得解；

【详解】解：在同一平面直角坐标系画出与的图象如下所示：

由，解得，由函数图象可知当或时为偶函数，故①错误；

令，解得，令，解得，因为，，，所以当，时满足无解，故存在无穷多非空集合对，使得方程无解，故②正确；

故选：B

三、解答题

17．已知，，用及表示及．

【答案】，

【分析】根据换底公式求解即可.

【详解】由换底公式，，.

即，

18．设函数，指出在上的单调性，并证明你的结论．

【答案】在上单调递增，证明见解析

【分析】设定义域内，再计算的正负判断即可.

【详解】在上单调递增，证明如下：

，取，则

.

因为，则，，得

，所以，在上单调递增.

19．设为常数，函数．

(1)若，解不等式：；

(2)若，根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由．

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】(1)直接由定义域和单调性结合对数不等式和分式不等式的求法即可求解；

(2)根据题意结合奇偶性的定义分和两种情况分别讨论即可.

【详解】（1）因为，所以，

要使函数有意义则即，解得或，

由得，即，

则有，所以，解得，

故原不等式的解集为.

（2）当时，，

要使函数有意义，则，即，即或，

此时函数的定义域为关于原点对称，

且，

所以此时函数为奇函数，

当且时，要使函数有意义，则，即，

即或，

此时函数的定义域为不关于原点对称，

所以此时函数为非奇非偶函数.

20．为打赢打好脱贫攻坚战，实现建档立卡贫困人员稳定增收，某地区把特色养殖确定为脱贫特色主导产业，助力乡村振兴.现计划建造一个室内面积为平方米的矩形温室大棚，并在温室大棚内建两个大小、形状完全相同的矩形养殖池，其中沿温室大棚前、后、左、右内墙各保留米宽的通道，两养殖池之间保留2米宽的通道.设温室的一边长度为米，如图所示.

（1）将两个养殖池的总面积表示为的函数，并写出定义域；

（2）当温室的边长取何值时，总面积最大？最大值是多少？

【答案】（1），定义域为；（2）当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．

【分析】（1）依题意得温室的另一边长为米．求出养殖池的总面积，然后求解函数的定义域即可．（2），利用基本不等式求解函数的最值即可．

【详解】（1）依题意得温室的另一边长为米．

因此养殖池的总面积，

因为，，所以．

所以定义域为．

（2）

，

当且仅当，即时上式等号成立，

当温室的边长为30米时，总面积取最大值为1215平方米．

【点睛】本题考查实际问题的解决方法，函数思想的应用，基本不等式求解函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．

21．对于函数，如果对于定义域中任意给定的实数，存在非负实数，使得恒成立，称函数具有性质．

(1)判别函数，和，是否具有性质，请说明理由；

(2)函数，，若函数具有性质，求满足的条件；

(3)若函数的定义域为一切实数，的值域为，存在常数且具有性质，判别是否具有性质，请说明理由．

【答案】(1)，不具有性质；,具有性质

(2)

(3)具有性质，理由见解析

【分析】（1）由性质的定义，结合作差法判断函数是否具有性质即可；

（2）根据已知条件有对任意恒成立，再根据基本不等式即可得参数范围；

（3）由的性质可得，再根据对数函数的单调性及性质定义判断是否具有性质.

【详解】（1），，

所以，则，故，不具有性质；

，

恒成立，故,具有性质.

（2）由，则对任意恒成立，

由基本不等式可得，当且仅当，即时取等号.故，即，解得，又为非负实数，故

（3）因为具有性质，所以，

因为函数的值域为，所以，

则，，

，

，

，

所以，即具有性质.

【点睛】关键点点睛：第三问，注意应用性质、不等式性质得到、、，进而有，结合对数函数的单调性判断结论.