2022-2023学年四川省成都市玉林中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省成都市成都市玉林中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知全集U={0,1,2,3,4,5,6}，集合A={0,1,2,3}，B={3,4,5}，则=（    ）

A．{3} B．{4,5} C．{4,5,6} D．{0,1,2}

【答案】B

【解析】先求出集合A的补集，再求即可

【详解】解：因为全集U={0,1,2,3,4,5,6}，集合A={0,1,2,3}，

所以，

因为B={3,4,5}，所以，

故选：B

2．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】由特称命题的否定为全称命题：将变并否定原结论，即可写出题设命题的否定.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，知：题设命题的否定为，.

故选：C

3．已知函数，则（    ）

A． B．2 C． D．4

【答案】D

【分析】根据已知直接计算即可.

【详解】由已知，所以，

故选：D

4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据函数的奇偶性和单调性直接判断即可.

【详解】对于A：在定义域中既是奇函数又是增函数.

对于B：是偶函数，故B错误.

对于C：是非奇非偶函数，故C错误.

对于D：在定义域中有为减函数，为减函数，故D错误.

故选：A

5．幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，则m的值为（    ）

A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣6

【答案】B

【分析】由题意可得， ，且为偶数，由此求得m的值．

【详解】∵幂函数是偶函数，且在（0，+∞）上是减函数，

∴，且为偶数

或

当时，满足条件；当时，，舍去

因此：m＝1

故选：B

6．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．即不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】首先解出的解集，再判断两个集合的包含关系，由包含关系确定选项.

【详解】设，，

 ，

“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

7．已知，则（    ）

A．7 B．9 C．47 D．49

【答案】C

【分析】对两边平方化简后，再平方化简可求得结果.

【详解】由，得，即，

所以，

所以，即，

所以，

故选：C.

8．已知，，，若不等式 恒成立，则m的最大值等于（   ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【分析】由题意将可得，继而将变为，利用基本不等式求得其最小值，根据不等式 恒成立，即可求得答案.

【详解】由，，，则,,

则

  ,当且仅当时取得等号．

不等式 恒成立，故，即m的最大值等于3，

故选：B

二、多选题

9．下列说法错误的是（　　　）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，则  D．若，则

【答案】ABD

【分析】用不等式的性质或使用特例排除法，逐一验证选项.

【详解】和都无法比较与的大小，故选项A和选项B错误；

由，则，由，则，所以时，有，选项C正确；

当，时，满足，但不满足，选项D错误.

故选：ABD

10．已知关于的不等式的解集为，则（    ）

A．的根为和

B．函数的零点为和

C．

D．

【答案】AC

【分析】根据三个二次（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式）之间的关系，即可得出正确的选项.

【详解】关于的不等式的解集为，

，C选项正确；

且和是关于的方程的两根，

则 ，则，，故D不正确；

不等式解集的端点值就是函数的零点及方程的根，故A正确，B不正确.

故选：AC．

11．已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件：

①对任意的实数，，都有；

②对任意的实数，都有；

③．

则下列说法正确的有（    ）

A． B．

C．函数在上单调递增 D．不等式的解集为

【答案】ABC

【分析】赋值法，上奇函数的性质，数形结合即可.

【详解】由题知，函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件：

①对任意的实数，，都有；

②对任意的实数，都有；

③．

令，

所以，故A正确；

因为函数是定义在上的奇函数，必有，故B正确；

设，则，

且，

因为，对于任意的实数，都有，

所以，

所以，

所以函数在上单调递增，故C正确；

可作满足题意的图象（不唯一），如图

故D错误；

故选：ABC

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：对于实数x，符号表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，，定义函数，则下列命题中正确的是（   ）

A．函数的最大值为1；

B．函数的最小值为0

C．函数的图象与直线有无数个交点

D．函数是增函数

【答案】BC

【分析】由题意求出函数的解析式，即可求解.

【详解】由题意，

对于A：函数，故A错误；

对于B：函数的最小值为0，故B正确；

对于C：函数的图象与直线有无数个交点，故C正确；

对于D：函数不是上的增函数，故D错误；

故选：BC

三、填空题

13．函数的值域为______．

【答案】

【分析】根据幂函数的性质即可求得值域.

【详解】由已知定义域为

由幂函数的性质可知值域为：

故答案为：

14．函数且恒过定点________ .

【答案】

【分析】根据当时，求出函数所过定点.

【详解】当，即时，，故函数恒过定点.

故填：.

【点睛】本小题主要考查含有指数形式的函数过定点问题的求解，属于基础题.

15．已知函数为上奇函数，当时，，则时，__________.

【答案】

【分析】根据奇函数定义即得.

【详解】当时，，则，

因为函数为奇函数，

所以，即.

所以当时，.

故答案为：.

16．已知的定义域为R，为偶函数，为奇函数，且当时，，则的值等于______．

【答案】－1.

【分析】由为偶函数，为奇函数，可得函数的周期为4，然后利用周期化简后根据已知的解析式求解即可.

【详解】因为为奇函数，所以，

所以，

所以，

因为为偶函数，

所以，即，

所以，

所以，所以的周期为4，

因为当时，，

所以，

故答案为：.

四、解答题

17．（1）计算：；

（2）化简：．

【答案】（1）3 ；（2）1 .

【分析】（1）利用根式和分数指数幂的运算性质求解；

（2）利用分数指数幂的运算性质求解.

【详解】（1）原式．

（2）原式．

18．已知实数x满足集合，实数x满足集合或．

(1)若，求；

(2)若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）利用交集概念及运算即可得到结果；

（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，比较端点后列出不等式，得到结果．

【详解】（1）因为，所以，又或．

所以

（2）因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，所以或，解得：或，

故实数a的取值范围是.

19．已知函数是定义在上的奇函数，且.

(1)求函数的解析式；

(2)用定义证明在上是增函数；

(3)若实数满足不等式，求的取值范围

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】（1）由求得，再由求得，得解析式；

（2）用增函数的定义证明；

（3）由奇函数性质变形不等式，再由单调性化简后可得结论．

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，，

又，所以，，满足．

所以；

（2）设，则，，，

所以，

即，

所以是增函数；

（3）不等式化为，是奇函数，所以，

又是增函数且，所以，解得．

所以的取值范围是．

20．某科技企业生产一种电子设备的年固定成本为600万元，除此之外每台机器的额外生产成本与产量满足一定的关系式．设年产量为台，若年产量不足70台，则每台设备的额外成本为万元；若年产量大于等于70台不超过200台，则每台设备的额外成本为万元．每台设备售价为100万元，通过市场分析，该企业生产的电子设备能全部售完．

(1)写出年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；

(2)当年产量为多少台时，年利润最大，最大值为多少？

【答案】(1)；

(2)当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元

【分析】（1）根据题意分和两种情况，利用利润等于销售总额减去总成本，即可得年利润W（万元）关于年产量x（台）的关系式；

（2）分和两种情况，求出最大值，然后比较可得答案.

【详解】（1）当，时，；

当，时，．

所以；

（2）①当，时，，

所以当时，y取得最大值，最大值为1200万；

②当，时，，

当且仅当，即时，y取得最大值1320，

所以，

所以当年产量为80台时，年利润最大，最大值为1320万元．

21．已知点在幂函数的图像上.

（1）求的解析式；

（2）若函数，，是否存在实数，使得最小值为5？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】（1）设，将点代入即可求解.

（2）由（1）可得，，讨论二次函数的对称轴，由二次函数的性质即可求解.

【详解】（1）∵是幂函数，∴设，

∵点在幂函数的图像上，∴，

∴.

（2），，

①当即时，.

②当即时，；

③当即时，（舍去）

综上所述，存在.

22．设函数．

(1)若且对任意实数均有恒成立，求表达式；

(2)在（1）在条件下，当时，是单调函数，求实数 的取值范围；

(3)设且为偶函数，证明．

【答案】(1)

(2)或

(3)证明见解析

【分析】（1）根据，和对任意实数均有恒成立可知，解出，，从而得到；

（2）先求出，根据该函数在上为单调函数以及二次函数单调性和对称轴的关系即可得到关于的不等式，解不等式即得的取值范围；

（3）根据的解析式容易判断该函数为奇函数，且在上为增函数，所以根据或即可得到．

【详解】（1）∵，∴，

∴，

∵恒成立，

即恒成立，

当时，不恒成立，

当时，则，∴，解得，

∴，∴

（2）由（1）知

∴，其对称为，

由在上是单调函数知：或，

解得或．

（3）∵是偶函数，∴由得，

故．

∵，∴在上是增函数，

对于，当时，，

当时，．

∴是奇函数，且在上为增函数．

∵，∴m，n异号，

①当时，由，得，

∴．

②当时，由，得，

∴，即．

综上可知．