2022-2023学年四川省凉山彝族自治州冕宁县冕宁中学校高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省凉山彝族自治州冕宁县冕宁中学校高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．命题“，”的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】利用全称量词的命题的否定解答即可.

【详解】解：因为全称量词的命题的否定是存在量词的命题，

命题“，”是全称量词的命题，

所以其否定是“，”.

故选：C

2．若集合，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据元素与集合之间的关系判断AB选项，判断出不是集合A的子集得到C错误，根据交集的概念判断D选项.

【详解】，A错误；

，B正确；

不是集合A的子集，故C错误；

，D错误.

故选：B.

3．已知函数，则的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先计算的值，然后再计算的值．

【详解】当时，，

又，∴．

故选：C．

4．若函数是偶函数，且在上是增函数，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据偶函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可.

【详解】因为函数是偶函数，

所以，因为函数在上是增函数，

所以有，即，

故选：D

5．已知实数满足，则的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据不等式的性质求解即可.

【详解】解：因为，

所以，

所以.

故选：A.

6．某物体一天中的温度T是时间t的函数：，时间的单位是小时，温度的单位是，表示中午12时，其后取值为正，其前取值为负，则上午8时的温度为（    ）

A．18 B．8 C．0 D．4

【答案】B

【分析】上午8时，代入函数求值即可.

【详解】上午8时，故.

故选：B

7．已知函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】分析可得，，，利用二次不等式的解法解不等式，即可得解.

【详解】由二次函数的图象可知，函数的图象开口向上，且该函数的图象与轴相切，对称轴为直线，

所以，，且，则，，

不等式即，即，解得，

因此，不等式的解集为.

故选：B.

8．已知偶函数的定义域为，若对任意的，当时，总有，则满足不等式 的的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题中的结构特征，构造函数，由题意判断该函数的奇偶性和单调性，而不等式即为，根据的单调性解不等式可得答案.

【详解】令函数 ,因为对任意的，当时，总有,即恒成立，

所以在上单调递减．

因为为偶函数，所以在上为奇函数，且在上单调递减，

又因为，

所以 ，所以，解得，

故选∶D

二、多选题

9．下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【分析】利用函数的定义求解.

【详解】函数的定义域为R，

A. ，定义域为R，解析式不同，故错误；

B. ，定义域为R，故正确；

C. ，定义域为，定义域不同，故错误；

D. ，定义域为R，故正确；

故选：BD

10．对于任意实数a，b，c，d，有以下四个命题，其中正确的是（    ）

A．若，，则 B．若，则

C．若，则 D．若，，则

【答案】BCD

【分析】通过举例可以判断A错误，对于BCD，可以利用不等式的性质变形即可证明.

【详解】对于A，若，，，，此时明显，A错误；

对于B，因为，则，两边同除，可得，故B正确；对于C，因为 ，则，在的两边同除，可得，C正确；对于D，因为，，根据不等式同向可以相加得，移项得，D正确.

故选：BCD

11．下列说法正确的是（    ）

A．偶函数的定义域为，则

B．一次函数满足，则函数的解析式为

C．奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，则

D．若集合中至多有一个元素，则

【答案】AC

【分析】对A，由偶函数定义域对称解出参数即可；

对B，设，则可得，建立方程组求解即可；

对C，由单调性得，，由奇偶性得，，即可求解；

对D，分别讨论、解的个数即可

【详解】对A，偶函数的定义域为，，解得，故A对；

对B，设一次函数，则，

∵，，解得或，

函数的解析式为或，故B错；

对C，奇函数在上单调递增，且最大值为8，最小值为，

，，

，，

∴，故C对；

对D，集合中至多有一个元素，

方程至多有一个解，

当时，方程只有一个解，符合题意；

当时，由方程至多有一个解，可得，解得，

或，D错.

故选：AC

12．下面四个结论正确的是（    ）

A．的最小值为2 B．正数满足，则的最小值为

C．的最小值为2 D．若，则的最小值为6

【答案】ABD

【分析】每个选项依次考查，根据基本不等式的“一正、二定、三相等”判断.注意必须计算取等条件.

【详解】A：，当且仅当取得，A对；

B：正数，

，当且仅当时取得，故B对；

C: ，等号取不到，故C错；

D：，

，

当且仅当即时取等号，D对；

故选：ABD

三、填空题

13．函数的定义域为______.

【答案】

【分析】根据被开方式大于等于零，分母不为零，即可得到结果.

【详解】使函数有意义需满足：，解得，且，

故定义域为.

故答案为：

14．已知幂函数的图像过点，则___________.

【答案】

【分析】先设幂函数解析式，再将代入即可求出的解析式，进而求得.

【详解】设，

幂函数的图像过点，，，，

故答案为：

15．若命题“，不等式恒成立”为假命题，写出实数取值范围的一个充分不必要条件___________.

【答案】，（是真子集即可）

【分析】根据给定条件，求出不等式恒成立的m的取值范围，再由命题为假求解作答.

【详解】因，不等式恒成立，当时，对任意实数不恒成立，

因此，，必有，解得，

所以，命题“，不等式恒成立”为真命题时，，

因为命题“，不等式恒成立” 为假命题，

所以，，

所以实数的取值范围是.

所以，实数取值范围的一个充分不必要条件可以为

故答案为：，（是真子集即可）

四、双空题

16．已知函数，若有且仅有不相等的三个正数，使得，则的值为_________，若存在，使得，则的取值范围是_________.

【答案】         

【分析】画出函数图象，结合图象分析，可得．

【详解】所画出函数的图象

有且仅有不相等的三个正数使

由图分析可得

令

则，，

若存在，使得，令，则

为的两根，为的两根

，且

的范围是

故答案为；

【点睛】本题考查分段函数函数图象，数形结合思想，属于一般题．

五、解答题

17．（1）解不等式

（2）计算

【答案】（1）不等式的解集为或；（2）.

【分析】（1）解分式不等式即得解；

（2）直接利用指数幂的运算法则计算得解.

【详解】解：（1）或.

所以不等式的解集为或.

（2）原式=

.

18．二次函数满足，且方程有两个相等的实数根.

(1)求的解析式；

(2)若函数在区间不单调，求实数的取值范围；

(3)若在的最大值与最小值差为，若，求的最小值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）设，根据，求得，由，函数关于对称，再根据方程有相等的实数根判别式为0，即可得解；

（2）根据二次函数的单调性列出不等式即可得解：

（3）根据二次函数的性质求解最值，进而根据基本不等式即可求解.

【详解】（1）设，由，得，

因为，所以函数关于对称，即，所以，

又方程有相等的实数根，即方程有相等的实数根，

则，解得，所以，所以；

（2）的对称轴为，由于在区间 不单调，所以，解得，

所以实数的取值范围为

（3）由于的对称轴为，所以在单调递减，在单调递增，所以当时，分别取最小值和最大值，所以 ，故，进而，由于，所以，当且仅当时，取等号，

所以，

故的最小值为

19．已知集合，.

(1)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围；

(2)若，求的取值范围.

【答案】(1)

(2)或

【分析】(1)根据“”是“”的充分不必要条件得出真包含于可求解;

(2)分类讨论结合集合的数轴表示可求的取值范围.

【详解】（1）由题意， ，即，解得，

所以.

由“”是“”的充分不必要条件，得真包含于，

则，且等号不能同时取到，解得.，

故的取值范围为

（2）当时，得，即，符合题意.

当时，得，即.

由，得或，解得或，

所以或.

综上所述，的取值范围为或.

20．2021年3月1日，国务院新闻办公室举行新闻发布会，工业和信息化部提出了芯片发展的五项措施，进一步激励国内科技巨头加大了科技研发投入的力度．根据市场调查某数码产品公司生产某款运动手环的年固定成本为50万元，每生产1万只还需另投入20万元．若该公司一年内共生产该款运动手环万只并能全部销售完，平均每万只的销售投入为万元，且．当该公司一年内共生产该款运动手环5万只并全部销售完时，年利润为300万元．

(1)求出的值并写出年利润（万元）关于年产量（万部）的函数解析式；

(2)当年产量为多少万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．

【答案】(1)，

(2)当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．

【分析】（1）由题意可得，由可求出，然后可得的解析式；

（2）利用二次函数的知识求出当时的最大值，利用基本不等式求出当时的最大值，然后作比较可得答案.

【详解】（1）由题意可得

当时，所以

解得

所以

（2）当时，，其对称轴为

所以当时取得最大值万元

当时，万元

当且仅当即时等号成立

因为

所以当年产量为30万只时，公司在该款运动手环的生产中所获得的利润最大，最大利润为850万元．

21．已知定义在的函数是奇函数.

(1)求实数的值；

(2)试判断的单调性，并用定义证明；

(3)若关于的不等式在有解，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)在上单调递增

(3)

【分析】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以；

（2）根据函数的单调性定义证明即可；

（3）根据函数单调性，直接比较内函数的大小，再分离参数得出，将原问题转换为解出不等式即可.

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得，经检验满足题意；

（2），令，且

则

因为，所以，即

所以

所以函数在上单调递增；

（3）

因为为奇函数，所以

因为为增函数，所以

分离参数可得：

原问题转化为在有解，即

因为在区间单调递增，单调递减，

当时，；当时，

所以当时，取得最小值，所以，

故实数的取值范围是

22．定义：若存在正数，，当时，函数的值域为，则称是“第类函数”.已知函数.

(1)若函数是第类函数，求的取值范围；

(2)若函数是第3类函数，求，的值.

【答案】(1)

(2)，.

【分析】（1）根据已知条件及第类函数函数的定义，再利用函数的单调性与函数的最值的关系，结合一元二次方程的根的分布即可求解；

（2）根据已知条件及第类函数函数的定义，分类讨论结合函数单调性与函数最值的关系即可求解.

【详解】（1）因为在上是增函数，且在上的值域是，

所以，即，

由此得到是方程的两个根， 则

，解得，

所以的取值范围是.

（2）根据题意可得.

当时，在上单调递增，

因为是第3类函数，所以，即.

因为，所以，.

当时，在上单调递减，

因为是第3类函数，所以，

则，因为，所以，即，

将代入，得，

因为，所以没有实数解.

当时，所以当时，.

因为是第3类函数，所以，解得（舍去）.

综上所述，，.