2022-2023学年广东省广州市番禺区桥城中学九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年广东省广州市番禺区桥城中学九年级（上）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年广东省广州市番禺区桥城中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根是2，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．2
3．（3分）将抛物线y＝x2向上平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x+1）2+4 C．y＝（x+4）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣4
4．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝4 C．（x+1）2＝3 D．（x+1）2＝﹣3
5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其中∠A＝100°，则∠C的度数为（　　）

A．120° B．100° C．80° D．50°
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（　　）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
7．（3分）如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（　　）

A．12×9﹣4×9x＝70 B．12×9﹣4x2＝70
C．（12﹣x）（9﹣x）＝70 D．（12﹣2x）（9﹣2x）＝70
8．（3分）从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
10．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①AE＝CF；②△DEF是等腰直角三角形；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDFS△ABC，其中正确结论是（　　）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣3，﹣1）关于原点对称，则a＝　 　．
12．（3分）抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则抛物线的顶点坐标是　 　．
13．（3分）正n边形的中心角为72°，则n＝　 　．
14．（3分）若圆锥的侧面积为14π，底面圆半径为2，则该圆锥母线长是 　 　．
15．（3分）为了改善居民住房条件，某市计划用两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为 　 　．
16．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是　 　．
三、解答题（本大题共9小题，满分0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：x2﹣6x+5＝0（两种方法）．
18．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为多少m？

19．图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上
（1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1；
（2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的△A2B2C2；
（3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积．

20．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
21．小聪参加一个幸运挑战活动，规则是：在一个箱子里有3个白球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里摸出1个球，不放回，记下颜色，再摸出1个球，若两次摸出球的颜色相同，则挑战成功．
（1）小聪从箱子里摸出1个球是白球是 　 　事件．（选填“必然”、“随机”、“不可能”）
（2）求小聪挑战成功的概率．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x12+x22＝3x1x2+1，求m的值．
23．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径．

24．如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧．

（1）求⊙O的半径；
（2）当CD＝4时，求∠ACD的度数；
（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由．
25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（m，n），B（4﹣m，n），C（1，4）三点，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果△PAB是以AB为底边的等腰直角三角形，求△PAB的面积；
（3）若直线l1：y＝k1x﹣2k1与抛物线交于D，E两点，直线l2：y＝k2x﹣2k2与抛物线交F、G两点，DE的中点为M，FG的中点为N，k1k2＝﹣2，求点P到直线MN距离的最大值．

2022-2023学年广东省广州市番禺区桥城中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．
【解答】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形的概念，判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣x+m＝0的一个根是2，则m的值是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．2
【分析】把x＝2代入方程x2﹣x+m＝0得22﹣2+m＝0，然后解关于m的方程即可．
【解答】解：把x＝2代入方程x2﹣x+m＝0得22﹣2+m＝0，
解得m＝﹣2．
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
3．（3分）将抛物线y＝x2向上平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为（　　）
A．y＝（x﹣4）2+1 B．y＝（x+1）2+4 C．y＝（x+4）2﹣1 D．y＝（x﹣1）2﹣4
【分析】抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向上平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得的抛物线的顶点坐标为（4，1），根据顶点式可确定所得抛物线解析式．
【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0），平移后抛物线顶点坐标为（4，1），
又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：y＝（x﹣4）2+1．
故选：A．
【点评】本题考查了抛物线的平移，解题关键是熟悉抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．
4．（3分）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列变形正确的是（　　）
A．（x+1）2＝2 B．（x+1）2＝4 C．（x+1）2＝3 D．（x+1）2＝﹣3
【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答．
【解答】解：移项，得：x2+2x＝3，
配方，得：x2+2x+1＝4，
即：（x+1）2＝4．
故选：B．
【点评】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤和方法．
5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，其中∠A＝100°，则∠C的度数为（　　）

A．120° B．100° C．80° D．50°
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A+∠C＝180°，
∵∠A＝100°，
∴∠C＝180°﹣∠A＝180°﹣100°＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
6．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（　　）
A．15个 B．20个 C．30个 D．35个
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得0.3，
解得x＝15，则白球可能有50﹣15＝35个．
故选：D．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
7．（3分）如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（　　）

A．12×9﹣4×9x＝70 B．12×9﹣4x2＝70
C．（12﹣x）（9﹣x）＝70 D．（12﹣2x）（9﹣2x）＝70
【分析】设剪去的小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（12﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，根据纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，得出关于x的一元二次方程，从而得到答案．
【解答】解：设剪去的小正方形的边长是xcm，则纸盒底面的长为（12﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，
∵纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，
∴（12﹣2x）（9﹣2x）＝70，
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程解实际问题，读懂题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）从1～9这九个自然数中任取一个，是2的倍数或是3的倍数的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，其中是2的倍数或是3的倍数的有2，3，4，6，8，9共计6个．
【解答】解：从1到9这9个自然数中任取一个有9种可能的结果，是2的倍数或是3的倍数的有6个结果，因而概率是．
故选：C．
【点评】本题考查概率，概率＝所求情况数与总情况数之比．正确写出是2的倍数或是3的倍数的数有哪些是本题解决的关键．
9．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4．以点A为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A内且点B在⊙A外时，r的值可能是（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由勾股定理求出AC的长度，再由点C在⊙A内且点B在⊙A外求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得AC3，
∵点C在⊙A内且点B在⊙A外，
∴3＜r＜5，
故选：C．
【点评】本题考查点与圆的位置关系，解题关键是掌握勾股定理．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，AB＝AC，点D为BC中点，直角∠MDN绕点D旋转，DM，DN分别与边AB，AC交于E，F两点，下列结论：①AE＝CF；②△DEF是等腰直角三角形；③BE+CF＝EF；④S四边形AEDFS△ABC，其中正确结论是（　　）

A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠CAD＝∠B＝45°，根据同角的余角相等求出∠ADF＝∠BDE，然后利用“角边角”证明△BDE和△ADF全等，判断出④正确；根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF、BE＝AF，从而得到△DEF是等腰直角三角形，判断出②正确；再求出AE＝CF，判断出①正确；根据BE+CF＝AF+AE，利用三角形的任意两边之和大于第三边可得BE+CF＞EF，判断出③错误．
【解答】解：∵∠B＝45°，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∵点D为BC中点，
∴AD＝CD＝BD，AD⊥BC，∠CAD＝45°，S△ABD＝S△ACDS△ABC，
∴∠CAD＝∠B，
∵∠MDN是直角，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
∵∠BDE+∠ADE＝∠ADB＝90°，
∴∠ADF＝∠BDE，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（ASA），
∴S四边形AEDF＝S△AED+S△ADF＝＝S△AED+S△BDE＝S△ABD，
∴S四边形AEDFS△ABC，
故④正确；
∴DE＝DF，BE＝AF，
∴△DEF是等腰直角三角形，故②正确；
∵AE＝AB﹣BE，CF＝AC﹣AF，
∴AE＝CF，故①正确；
∵BE+CF＝AF+AE，
∴BE+CF＞EF，
故③错误；
∴正确的有①②④，
故选：A．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．
二、填空题（共6题，每题3分，共18分）
11．（3分）已知点A（a，1）与点B（﹣3，﹣1）关于原点对称，则a＝　3　．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（a，1）与点B（﹣3，﹣1）关于原点对称，
∴a＝3．
故答案为：3．
【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆关于原点对称点的性质是解题关键．
12．（3分）抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2+1，则抛物线的顶点坐标是　（2，1）　．
【分析】利用二次函数的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2+1
∴抛物线的顶点坐标是（2，1）
故答案为：（2，1）．
【点评】本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．
13．（3分）正n边形的中心角为72°，则n＝　5　．
【分析】根据正多边形的中心角和为360°计算即可．
【解答】解：n5，
故答案为：5．
【点评】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360°是解答此题的关键．
14．（3分）若圆锥的侧面积为14π，底面圆半径为2，则该圆锥母线长是 　7　．
【分析】根据圆锥侧面积公式S＝πrl计算即可．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，
设由题意得，14π＝πl×2，
解得，l＝7，
故答案为：7．
【点评】本题考查的是圆锥的计算，掌握圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键．
15．（3分）为了改善居民住房条件，某市计划用两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2，若每年的年增长率相同，则年增长率为 　10%　．
【分析】此题可设年增长率为x，第一年为10（1+x）m2，那么第二年为10（1+x）（1+x）m2，列出一元二次方程解答即可．
【解答】解：设年增长率为x，根据题意列方程得
10（1+x）2＝12.1
解得x1＝0.1，x2＝﹣2.1（不符合题意舍去）
所以年增长率为0.1，即10%．
【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．
16．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a2﹣3a+6的图象与x轴没有公共点，且当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是　﹣1≤a＜2　．
【分析】由题意得：Δ＜0，解得a＜2，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则a≥﹣1，即可求解．
【解答】解：由题意得：△＝（﹣2a）2﹣4（a2﹣3a+6）＜0，解得a＜2，
∵1＞0，故抛物线开口向上，
当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，则a≥﹣1，
∴实数a的取值范围是﹣1≤a＜2，
故答案为：﹣1≤a＜2．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
三、解答题（本大题共9小题，满分0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．解方程：x2﹣6x+5＝0（两种方法）．
【分析】利用因式分解法和配方法解方程．
【解答】解：方法一：（x﹣5）（x﹣1）＝0，
x﹣5＝或x﹣1＝0，
所以x1＝5，x2＝1；
方法二：x2﹣6x＝﹣5，
x2﹣6x+9＝4，
（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
所以x1＝5，x2＝1．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
18．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB＝16m，半径OA＝10m，则中间柱CD的高度为多少m？

【分析】由垂径定理可知OC垂直平分AB，再解直角三角形AOD即可求得OD的长，因CD＝CO﹣DO，所以可得CD的长．
【解答】解：如图所示：
已知AB＝16m，半径OA＝10m，AB为弦，
∴OC垂直平分AB
∴ADAB＝8m
在Rt△AOD中，由勾股定理可得：
OD2＝AO2﹣AD2
∴OD＝6m
∴CD＝OC﹣OD＝4m
答：中间柱CD的高度为4m．

【点评】本题主要考查了垂径定理和解直角三角形的应用．
19．图中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，每个小正方形的顶点叫格点，△ABC的顶点均在格点上
（1）画出将△ABC绕点B按逆时针方向旋转90°后所得到的△A1BC1；
（2）画出将△ABC向右平移6个单位后得到的△A2B2C2；
（3）在（1）中，求在旋转过程中△ABC扫过的面积．

【分析】（1）根据旋转的性质得出对应点位置，即可画出图形；
（2）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出图形；
（3）根据△ABC扫过的面积等于扇形BCC1的面积与△A1BC1的面积和，列式进行计算即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1BC1即为所求；

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求；
（3）由题可得，△ABC扫过的面积4×1＝4π+2．
【点评】本题考查了利用旋转变换依据平移变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点位置作出图形是解题的关键．求扫过的面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．
20．已知二次函数y＝x2﹣2x﹣3．
（1）在平面直角坐标系xOy中画出该函数的图象；
（2）当0≤x≤3时，结合函数图象，直接写出y的取值范围．
【分析】（1）先把解析式配成顶点式为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），再求出抛物线与y轴的交点坐标，然后利用描点法画出二次函数图象；
（2）先计算x＝0时，y＝3，然后利用图象写出对应的y的范围．
【解答】解：
（1）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，则抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），
当x＝0时，y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣3），
函数图象如下图所示：

（2）观察图象得：当x＝1时y最小＝﹣3；
当x＝3时，y最大＝0，
∴当0≤x≤3时，y的取值范围为﹣4≤y≤0．
【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．也考查了二次函数的性质．
21．小聪参加一个幸运挑战活动，规则是：在一个箱子里有3个白球和1个红球，它们除颜色外其余都相同，现从箱子里摸出1个球，不放回，记下颜色，再摸出1个球，若两次摸出球的颜色相同，则挑战成功．
（1）小聪从箱子里摸出1个球是白球是 　随机　事件．（选填“必然”、“随机”、“不可能”）
（2）求小聪挑战成功的概率．
【分析】（1）根据事件的分类，进行判断即可；
（2）根据题意，画出树状图，求概率即可．
【解答】解：（1）∵箱子里有3个白球和1个红球，
∴小聪从箱子里摸出1个球是白球是随机事件．
故答案为：随机；
（2）分别用白1，白2，白3和红来表示4个球，画树状图如下：

共有12种等可能发生的情况，其中两次摸出的球的颜色相同的情况有：6种，
∴挑战成功的概率为：．
【点评】本题考查画树状图法求概率．熟练掌握画树状图的方法以及概率公式是解题的关键．
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x1，x2是该方程的两个根，且满足x12+x22＝3x1x2+1，求m的值．
【分析】（1）利用根的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，即可求出答案；
（2）先将转化成，再运用根与系数的关系即可求出答案．
【解答】解：（1）∵x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴（﹣4）2﹣4×1×（﹣2m+5）＞0，
∴；
（2）∵x1，x2是该方程的两个根，
∴x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5，
∵，
∴，
∴42﹣5（﹣2m+5）＝1，
∴m＝1．
【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系的公式是解题关键．
23．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线AD交BC边于D．
（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心．（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．
（3）若AB＝8，BD＝4，求⊙O的半径．

【分析】（1）以AB边上一点O为圆心，过A、D两点作⊙O，并标出圆心；
（2）根据切线的判定即可判断直线BC与⊙O的位置关系；
（3）根据AB＝8，BD＝4，即可求⊙O的半径．
【解答】解：如图，

（1）⊙O即为所求；
（2）直线BC与⊙O的位置关系为：相切，理由如下：
连接OD，
∴OD＝OA，
∴∠OAD＝∠ODA，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴AC∥OD，
∴∠ODB＝∠C＝90°，
∴OD⊥BC，OD是半径，
∴直线BC与⊙O相切；
（3）设⊙O的半径为x，
在Rt△OBD中，OD＝x，OB＝8﹣x，BD＝4，
∴（8﹣x）2＝x2+42，
解得x＝3．
答：⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质、直线与圆的位置关系，解决本题的关键是准确画图．
24．如图，⊙O为Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝4，点D是⊙O上的动点，且点C、D分别位于AB的两侧．

（1）求⊙O的半径；
（2）当CD＝4时，求∠ACD的度数；
（3）设AD的中点为M，在点D的运动过程中，线段CM是否存在最大值？若存在，求出CM的最大值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求出AB即可．
（2）连接OC，OD，证明∠OCA＝60°，∠OCD＝45°，可得结论．
（3）如图2中，连接OM，OC．证明OM⊥AD，推出点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，连接CJ，JM．求出CJ．JM，根据CM≤CJ+JM＝22，可得结论．
【解答】解：（1）如图1中，

∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
∵AC＝4，BC＝4，
∴AB8，
∴⊙O的半径为4．

（2）如图1中，连接OC，OD．
∵CD＝4，OC＝OD＝4，
∴CD2＝OC2+OD2，
∴∠COD＝90°，
∴∠OCD＝45°，
∵AC＝OC＝OA，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠ACO＝60°，
∴∠ACD＝∠ACO﹣∠DCO＝60°﹣45°＝15°．

（3）如图2中，连接OM，OC．

∵AM＝MD，
∴OM⊥AD，
∴点M的运动轨迹以AO为直径的⊙J，
连接CJ，JM．
∵△AOC是等边三角形，AJ＝OJ，
∴CJ⊥OA，
∴CJ2，
∵CM≤CJ+JM＝22，
∴CM的最大值为22．
【点评】本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是寻找特殊三角形解决问题，正确寻找点M的运动轨迹，属于中考压轴题．
25．已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A（m，n），B（4﹣m，n），C（1，4）三点，顶点为P．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如果△PAB是以AB为底边的等腰直角三角形，求△PAB的面积；
（3）若直线l1：y＝k1x﹣2k1与抛物线交于D，E两点，直线l2：y＝k2x﹣2k2与抛物线交F、G两点，DE的中点为M，FG的中点为N，k1k2＝﹣2，求点P到直线MN距离的最大值．
【分析】（1）根据点A和点B的坐标，可得出抛物线的对称轴，由此可得出b的值，把点C坐标代入即可求出c；
（2）由A，B的坐标可知AB∥x轴，过点P作PQ⊥AB于点Q，根据等腰直角三角形的性质可得出m和n等量关系，由此求出n的值，进而可求出△PAB的面积；
（3）分别联立直线l1，直线l2和抛物线的解析式，根据根与系数的关系可分别表示出点M和点N的坐标，由此求出直线MN的解析，得出直线MN过定点（2，﹣1），即可得点P到直线MN距离的最大值．
【解答】解：（1）∵A（m，n），B（4﹣m，n），
∴该函数的对称轴为直线，
∴，
解得：b＝4，
∴y＝﹣x2+4x+c，
把点C（1，4）代入得：4＝﹣12+4+c，
解得：c＝1，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x+1；
（2）当x＝2时，y＝﹣22+4×2+1＝5，
∴P（2，5），
∵AB∥x轴，
∴Q（2，n），
∵A（m，n），B（4﹣m，n），
∴AB＝（4﹣m）﹣m＝4﹣2m，PQ＝5﹣n，n＝﹣m2+4m+1，
∴PQ＝m2﹣4m+4，
∵△PAB是以AB为底边的等腰直角三角形，PQ⊥AB，
∴，
即，
整理得：m2﹣3m+2＝0，
解得：m1＝1，m2＝2（舍去），
∴AB＝2，PQ＝1，
∴，
（3）联立直线l1：y＝k1x﹣2k1和抛物线y＝﹣x2+4x+1得：，
①﹣②得：x2+（k1﹣4）x﹣（2k1+1）＝0，
∴xD+xE＝4﹣k1；
可得：xF+xG＝4﹣k2，
∴，，
∴，，
∴，，
设直线MN的函数表达式为：y＝kx+b，
∴，
∴直线MN的函数表达式为：y﹣yM＝k（x﹣xM），
即，
整理得：y＝（k1+k2）（x﹣2），
∵k1k2＝﹣2，
则，
∴，
当x＝2时，y＝﹣1，
则直线MN经过定点（2，﹣1），
∴点P到直线MN距离的最大值为点P到点（2，﹣1）的距离，
∵P（2，5），
∴点P到直线MN距离的最大值为：．
【点评】本题考查了二次函数的综合运用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式，二次函数的图像和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
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