2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高一上学期12月月考数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省泸州市泸县第五中学高一上学期12月月考数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先解出集合A、B，再求.

【详解】集合, .

所以.

故选：A

2．命题“”的否定是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由特称命题的否定：将存在改任意并否定原结论，写出原命题的否定，即可知正确选项.

【详解】由特称命题的否定为全称命题，

∴原命题的否定为：.

故选：A.

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用诱导公式即可求得.

【详解】由题意可得.

故选：A

4．已知，则下列结论中正确的是（    ）

A．的最大值为 B．在区间上单调递增

C．的图象关于点对称 D．的最小正周期为

【答案】B

【分析】利用辅助角公式可得，根据正弦型函数最值、单调性、对称性和最小正周期的求法依次判断各个选项即可.

【详解】；

对于A，，A错误；

对于B，当时，，

由正弦函数在上单调递增可知：在上单调递增，B正确；

对于C，当时，，则关于成轴对称，C错误；

对于D，最小正周期，D错误.

故选：B.

5．已知函数在[2，8]上单调递减，则k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用二次函数的单调性可得答案.

【详解】因为函数的对称轴为

所以要使函数在[2，8]上单调递减，则有，即

故选：C

6．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震级数M之间的关系式为．2020年12月29日19时19分在克罗地亚发生6.5级地震它所释放出来的能量大约是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生5.1级地震的（    ）倍

A．65 B．100 C．126 D．349

【答案】C

【解析】计算，得出的大致范围，确定正确选项．

【详解】由题意，

从而得：，而，

故选：C．

7．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】中间值比大小.

【详解】，，且，所以

故选：B

8．已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式恒成立，则不等式的解集为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由条件对于任意不等实数，，不等式恒成立可得函数在上为减函数，利用函数性质化简不等式求其解.

【详解】∵  函数是定义在R上的偶函数，

∴ ，

∴ 不等式可化为

∵  对于任意不等实数，，不等式恒成立，

∴  函数在上为减函数，又，

∴  ，

∴  ，

∴不等式的解集为

故选：C.

二、多选题

9．给出下列四个条件：其中能成为的充分条件的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【分析】由不等式的性质即可得出结论.

【详解】A中，若，则不能得到，A错误；

B中，若，则有，满足充分性，B正确；

C中，若，则有，是的充分条件，C正确；

D中，若，则，不能得到，D错误.

故选：BC

10．要得到函数的图象，只需将图象上的所有点（    ）

A．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位

B．横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位

C．向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍

D．向右平移个单位，再把横坐标缩短到原来的

【答案】AC

【分析】首先根据题意，先分清楚，平移前和平移后的函数，然后根据选项描述的顺序，进行平移和伸缩变换验证即可得到答案.

【详解】由题意可知，平移伸缩变换前函数是，平移伸缩变换后的函数是，

选项A和选项B，“横坐标伸长到原来的2倍”变为，要想得到 的图像，只需将的图像向左平移即可得到，故选项A正确，如果向左平移个单位，则变成，不满足，故选项B错误；

选项C，“向左平移个单位”变为，“把横坐标伸长到原来的2倍”，变为 ，故选项C正确；

选项D，“向左平移个单位”变为，“把横坐标伸长到原来的2倍”，变为 ，故选项D错误；

故选：AC.

11．下列选项中正确的是（    ）

A．不等式恒成立

B．存在实数，使得不等式成立

C．若，为正实数，则

D．若正实数，满足，则

【答案】BCD

【分析】根据基本不等式的条件与“1”的用法等依次讨论各选项即可得答案.

【详解】解：对于A选项，当时不成立，故错误；

对于B选项，当时，，当且仅当等号成立，故正确；

对于C选项，若，为正实数，则，所以，当且仅当时等号成立，故正确；

对于D选项，由基本不等式“1”的用法得，当且仅当时等号成立，故正确.

故选：BCD

12．已知函数，则（    ）

A．函数有两个不同的零点

B．函数在上单调递增

C．当时，若在上的最大值为8，则

D．当时，若在上的最大值为8，则

【答案】ACD

【分析】根据判别式判断A选项的正确性，根据二次函数的开口和对称轴判断B选项的正确性.利用换元法，结合二次函数的性质，判断CD选项的正确性.

【详解】因为二次函数对应的一元二次方程的判别式

，

所以函数有两个不同的零点，A正确；

因为二次函数图象的对称轴为，且图象开口向上，

所以在上单调递增，B不正确；

令，则.

当时，，故在上先减后增，

又，故最大值为，

解得（负值舍去）.

同理当时，，在上的最大值为，

解得（负值舍去）.

故C，D正确.

故选：ACD．

【点睛】本小题主要考查二次函数有关性质，考查指数型复合函数的性质，属于中档题.

三、填空题

13．函数（且）的图象过定点___________.

【答案】

【分析】由可得图像所过的定点.

【详解】当时，，故的图像过定点.

填.

【点睛】所谓含参数的函数的图像过定点，是指若是与参数无关的常数，则函数的图像必过.我们也可以根据图像的平移把复杂函数的图像所过的定点归结为常见函数的图像所过的定点（两个定点之间有平移关系）.

14．___________.

【答案】

【解析】结合指数运算、对数运算，化简求得表达的值.

【详解】原式

.

故答案为：

15．已知圆心角为2rad的扇形的周长为12，则该扇形的面积为____________.

【答案】9

【分析】根据题意条件，先设出扇形的半径和弧长，并找到弧长与半径之间的关系，通过已知的扇形周长，可以求解出扇形的半径和弧长，然后再利用完成求解.

【详解】设扇形的半径为，弧长为，由已知得，圆心角，则，

因为扇形的周长为12，所以，

所以，，

则.

故答案为：9.

16．已知，，，则的最大值为___________.

【答案】

【分析】由题知，进而令，，再结合基本不等式求解即可.

【详解】解：，当时取等，

所以，

故令，则，

所以，

当时，等号成立.

所以的最大值为

故答案为：

四、解答题

17．已知．

(1)求的值；

(2)求的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)利用同角三角关系求出 ，再利用 ；

(2)化为齐次式计算.

【详解】（1），

；

（2）

18．已知函数 的部分图像如图所示.

(1)求的解析式；

(2)设为锐角，，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【详解】试题分析：（1）根据函数图象求出，和的值即可；（2）利用两角和差的余弦公式和正弦公式进行化简求解．

试题解析：(1)由图可得,

.

(2)为钝角，

，

.

点睛：本题主要考查利用的图象特征，由函数的部分图象求解析式，理解解析式中的意义是正确解题的关键，属于中档题．为振幅，有其控制最大、最小值，控制周期，即，通常通过图象我们可得和,称为初象，通常解出，之后，通过特殊点代入可得，用到最多的是最高点或最低点.

19．设函数，，.

（1）若，且，，求取得最小值时，实数，的值；

（2）若当时，不等式的解集为，求当时，不等式的解集.

【答案】（1）；（2）答案见解析.

【分析】（1）利用可得，再利用基本不等式可求的最小值.

（2） 先根据不等式的解集为可得，再就、分类讨论后可得不等式的解集.

【详解】（1）因为，所以，即，

因为，，

所以，

当且仅当即时，取得最小值.

（2）因为当时，不等式的解集为，

所以方程，即的两个为和1，

所以，即，

所以

，

①当时，不等式的解为或；

②当时，不等式的解为或.

综上，当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为.

20．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP（即人均纯收入）在千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减.

（1）下列几个模拟函数：①；②；③；④（x表示人均GDP，单位：千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：L）.用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？说明理由；

（2）若人均GDP为1千美元时，年人均A饮料的销售量为，人均为4千美元时，年人均A饮料的销售量为，把（1）中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区年人均A饮料的销售量最多是多少.

【答案】(1) 用①来模拟比较合适,见解析(2) .

【解析】（1）根据该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减结合几个函数的增长特征即可得出答案.

（2）将、代入解析式，利用待定系数法即可求解.

【详解】解: （1）用①来模拟比较合适.因为该饮料在人均处于中等的地区销售量最多，

然后向两边递减，而②③④表示的函数均是单调函数，所以②③④都不合适，

故用①来模拟比较合适.

（2）因为人均为1千美元时，年人均A饮料的销售量为，

人均为4千美元时，年人均A饮料的销售量为，所以把，；

，代入中，得

解得所以函数的解析式为.

因为，

所以当时，年人均A饮料的销售量最多，最多是.

【点睛】本题考查学生根据实际问题选择函数模型，会用不同的自变量取值求二次函数的最值，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化.

21．已知函数，.

（1）当时，解不等式：；

（2）若函数的图象和函数的图象交于不同两点，，若，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）令换元后，解分式不等式，再由对数函数的单调性即可求解；

（2）由题意转化为方程，令转化为一元二次方程，由根与系数的关系求解.

【详解】（1），令，

则，

所以.

（2），令，

即，

则有，，

所以解得，

令，则有单调递增，且，

所以.

【点睛】关键点点睛：解决含对数函数的较复杂解析式的函数问题，利用换元法可化繁为简，突出问题本质，本题换元法处理后，变成简单的分式不等式及一元二次方程根的问题，解题可变得简单，注意换元后新元的取值范围.

22．已知函数满足：，若，且当时，．

（1）求a的值；

（2）当时，求的解析式；并判断在上的单调性（不需要证明）；

（3）设，，若，求实数m的值．

【答案】（1）7；（2），单调递增；（3）-1.

【解析】（1）根据题意可得，再由即可求解.

（2）设，则，代入即可得出，再由分段函数单调性判断方法即可求解.

（3）由（2）知，当时，，且由条件知，，根据的单调性可得恒成立，设，只需不等式在上恒成立，讨论的取值范围即可求解.

【详解】（1）由题意，所以，

又，

因为，所以；

（2）设，则，

所以，

又，代入解得：；

显然，在，上分别是单增函数，

又，而当时，，

因为，所以在上单调递增；

（3）由（2）知，是区间上单调递增，

且时，，，

且当时，设，则，

且由条件知，；

再看函数，

由，即定义域为，

且在上单减，

所以在上单减，

又发现，所以恒成立，

即在上恒成立，

设，

则不等式在上恒成立，

①当时，不等式化为，显然不满足恒成立；

②当时，当代入得，矛盾；

③当时，只需，

综上，实数m的值为-1．

【点睛】关键点点睛：本题考查了换元法求函数的解析式，函数的单调性，解题的关键是根据函数的单调性得出，转化为二次不等式恒成立，考查了分类讨论的思想.