2022-2023学年四川省眉山第一中学高一上学期第三次月考数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省眉山第一中学高一上学期第三次月考数学试题

一、单选题

1．命题 ” 的否定形式为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】按照含有一个量词的命题的否定规则判断即可.

【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，并且结论变为相反，

 所以 ．

故选：D.

2．已知集合 ， 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先通过解不等式求集合B，再求交集即可.

【详解】因为 ，

则．

故选：B.

3．已知 则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用不等式的性质直接求得.

【详解】因为 所以

又所以，所以．

故选：A

4．已知符号函数 则“” 是“” 的（    ）

A．充要条件 B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】按充分条件和必要条件的相互推导关系判断即可.

【详解】若 ， 则；

 若， 则同号， 所以．

 故“”是“”的必要不充分条件．

故选：C.

5．函数 的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】本题首先根据判断函数的奇偶性排除,再根据,对应,排除,进而选出正确答案.

【详解】由函数 ， 可得，

故函数的定义域为，

又 ， 所以是偶函数，

 其图象关于轴对称， 因此 错误；

当 0时，， 所以错误．

故选:

6．设 ,则的最小值为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】A

【分析】首先由等式把转化为，再应用常数分离得到，最后应用基本不等式得到最小值.

【详解】由题意，所以，

得到，

当且仅当，即时， 等号成立，则的最小值为．

故选：A.

7．若函数 （）是上的单调函数, 则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据指数函数和一次函数的单调性，结合分割点处函数值的大小关系，列出不等式，求解即可.

【详解】因为 是减函数，且是上的单调函数，

根据题意，为上的单调减函数；

故可得 解得，即的取值范围为．

故选：D.

8．已知 ， 设函数 则的值可能为（    ）

A． B．1 C．2 D．3

【答案】C

【分析】本题构造一个奇函数,应用奇函数性质得出,

根据,确定了式子的范围即选出答案.

【详解】令 ， 所以为奇函数，

所以 ， 因为， 所以为不小于 2 的偶数，

故选:

二、多选题

9．若集合 ， 则的值可能为（    ）

A． B． C．0 D．

【答案】AB

【分析】本题应用集合之间的关系,分二次项系数是否为0两种情况,分别根据判别式和一次方程的根,解出.

【详解】根据题意， 只有一个实数根，

当 时，化为， 所以；

当 时，， 则，

又是方程的解， 所以，

得．

故答案为:

10．， 我们称为互补函数． 下列函数为 “互补函数” 的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】BCD

【分析】根据互补函数定义，结合函数值域以及特殊值，即可判断和选择.

【详解】对A：，显然不存在满足题意；

对B：取， 则， 满足题意；

对C：取，则，满足题意；

对D：取， 则， 满足题意．

故选：BCD.

11．下列命题为真命题的是（    ）

A．函数 的图象关于直线对称， 且在区间上是增函数

B．函数 的最小值为 2

C．“ ”是 “” 的充要条件

D．

【答案】CD

【分析】本题选项可以根据特殊值法得到命题错误,选项应用基本不等式取等条件不成立可以确定错误,

选项通过计算及充要条件的定义可得,选项分母有理化计算后可得命题为真.

【详解】选项:因为 和处的函数值不相等，

所以函数的图象不关于直线对称， 故错误;

选项:，

当且仅当， 即时， 等号成立，有最小值，

又因为， 所以的最小值不为2,故错误;

选项: 由,可得即，故正确;

选项:

所以，故正确．

故选:

12．已知函数 满足， 且， 则（    ）

A． B．

C．的解析式可能为 D．为奇函数

【答案】ACD

【分析】对四个选项一一验证：利用赋值法判断A、B；直接验证选项C成立；令，得到关于点对称，即可判断出为奇函数．

【详解】对于A：令 ， 则， 所以． 故A正确；

对于B： 令， 则不一定成立， 故B错误；

对于C：当时， 满足，符合题意.故C正确.

对于D：令， 则， 即， 则关于点对称， 所以为奇函数．故D正确；

 故选： ACD．

三、填空题

13．函数 的定义域为__________

【答案】

【分析】根据偶次根式及0次幂的要求,取交集得到函数定义域.

【详解】由 ， 且， 解得且，

所以的定义域为．

故答案为:

14．函数 的图象经过定点____________

【答案】

【分析】根据指数函数恒过的定点，结合解析式，即可求得结果.

【详解】令，解得，又，

所以的图象过定点．

故答案为：.

15．若方程 在上仅有一个实根， 则的取值范围是__________

【答案】

【分析】根据给定条件，利用一元二次方程根的分布列式求解作答.

【详解】方程中，，因此方程在上有两个不等的实数根，

不妨令，则，当时，，此时方程二根为，在上没有根，不符合题意，

于是得，则有，解得，

所以的取值范围是.

故答案为：

四、双空题

16．已知 ， 则________0， b ________ 0 ． 填或

【答案】         

【分析】由题意可得，分别比较和的大小即可得出答案.

【详解】解：因为，所以，

因为， 所以，所以，

又因为， 所以，所以.

故答案为：；.

五、解答题

17．（1）求值：；

（2） 已知 ， 求的值．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）利用幂的运算性质即可求解；（2）根据式子结构，利用平方法可以求解.

【详解】（1）

．

（2） 因为 ， 所以，

 即， 所以，

即．

18．已知全集 ， 集合A是不等式的解集，是函数在上的值域．

(1)求集合 ；

(2)请写出一个非空集合， 且．

【答案】(1)；

(2)符合题意． (答案不唯一， 只要满足且即可)

【分析】（1）集合A利用函数单调性解不等式，集合直接求二次函数的值域；

（2）满足条件的非空集合即要包含于与B的交集即可.

【详解】（1）因为 单调递增，又， 所以；

因为 ， 所以．

（2）因为 ， 所以且，

又 ，所以

所以 符合题意． (答案不唯一， 只要满足且即可)

19．某居民小区要建一座休闲场所， 如图， 它的主体造型平面图是一个长为 4 ， 宽为 2 的矩形 ． 居民小区计划在上建一座花坛(图中阴影部分)， 在和上建两个沙坑． 若， 记花坛的面积为， 两个沙坑的总面积为(点与正方体的顶点不重合)．

(1)求 关于的函数表达式， 并直接写出自变量的取值范围．

(2)当 为何值时，的值最大？ 并求出这个最大值．

【答案】(1)关于的函数表达式为， 自变量的取值范围是

(2)当 时，取得最大值， 最大值为 7

【分析】（1）由题及图可知 将已知条件代入化简即可

（2）由（1）将代入 ，由题知，化简表达式利用二次函数求解即可

【详解】（1）由题意得：

．

（2）则关于的函数表达式为， 自变量的取值范围是．

（2）

，

当 时，取得最大值， 最大值为7 ．

20．已知函数．

(1)证明：为奇函数．

(2)判断在上的单调性， 并证明你的结论．

(3)解关于的不等式．

【答案】(1)证明见解析；

(2)在上为增函数；证明见解析；

(3).

【分析】（1）利用函数奇偶性定义直接判断作答.

（2）利用函数单调性定义，按步骤推理判断作答.

（2）利用（1）（2）的结论，脱去法则“f”求解作答.

【详解】（1）依题意，，又的定义域关于原点对称，

 所以是奇函数．

（2）在上为增函数．

，且，有，

因，得，

因此，即，则有，

故 在上为增函数．

（3）由为奇函数且在上为增函数知，，则，

于是得，解得 ，

所以原不等式的解集为．

21．已知幂函数 在上单调递增， 函数满足．

(1)求 的解析式；

(2)已知实数 满足， 求的值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）根据幂函数系数为1，结合幂函数在上单调递增则指数为负数求解，再利用换元法令 ，求解即可；

（2）由题意，再分别根据基本不等式与二次不等式可得，再根据取等号时满足的条件求解即可.

【详解】（1）由题知 ， 即， 解得或． 当时，， 在上单调递减， 舍去，

当 时，， 在上单调递增， 满足题意， 所以

令 ， 则，

所以 ， 所以．

（2）由 ，可得，

因为 ，当且仅当时， 取得最小值 2 ，

， 当且仅当时， 取得最大值 2 ，

因为 ， 所以当时， 等式成立， 故．

22．已知函数且的图象经过．

(1)设函数，求的定义域；

(2)若，求的取值范围．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据偶次根式和分母的要求解指数不等式,即可得定义域;

（2）恒成立问题转化为,再解一元二次不等式即可得到的取值范围.

【详解】（1）由题可知，解得或(舍去)．

令，即，则或，解得或，

 所以的定义域为.

（2）令，

则，

又，所以．

又，所以，

解得， 即的取值范围为．