2022-2023学年四川省南充市营山县第二中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省南充市营山县第二中学高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．设集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义求解即可

【详解】由题，

故选：C

2．在下列函数中，函数表示同一函数的（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题意，判断函数是否相等，需对比定义域和对应关系，先求定义域，再整理解析式，可得答案.

【详解】由题意，函数，其定义域为，其解析式为，

对于A，函数，其定义域为，故A错误；

对于B，函数，其定义域为，对应法则不同，故B错误；

对于C，与题目中的函数一致，故C正确；

对于D，函数，其定义域为，故D错误，

故选：C.

3．已知函数，则（    ）

A．2 B．0 C．1 D．

【答案】A

【分析】根据函数解析式先求出，再求出即可.

【详解】，

，

.

故选：A.

4．下列函数中，既是奇函数又是定义域内减函数的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据奇函数的定义与单调性定义判断即可得答案

【详解】解:对于A选项，函数的定义域为， ，故函数是奇函数，且函数均为定义域内的减函数，故函数在定义域内是减函数，故A正确；

对于B选项，函数定义域为，，故函数不是奇函数，故B选项错误；

对于C选项，函数定义域为，，故函数是奇函数，但函数在和 上单调递增，在定义域内不具有单调性，故C选项错误；

对于D选项，函数的定义域为，定义域不关于原点对称，故不具有奇偶性，故D选项错误.

故选：A.

5．若函数在R上是增函数，则与的大小关系是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】由一次函数性质求解，

【详解】由题意得，即，

而在R上是增函数，则，

故选：B

6．函数在单调递增，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】直接由抛物线的对称轴和区间端点比较大小即可.

【详解】函数为开口向上的抛物线，对称轴为

函数在单调递增，则，解得.

故选：A.

7．函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】方法一：不妨设，解即可得出答案.

方法二：取，则有，又因为，所以与矛盾，即可得出答案.

方法三：根据题意，由函数的奇偶性可得，利用函数的单调性可得，解不等式即可求出答案.

【详解】［方法一］：特殊函数法

由题意，不妨设，因为，

所以，化简得．

故选：D.

［方法二］：【最优解】特殊值法

假设可取，则有，

又因为，所以与矛盾，

故不是不等式的解，于是排除A、B、C．

故选：D.

［方法三］：直接法

根据题意，为奇函数，若，则，

因为在单调递减，且，

所以，即有：，

解可得：.

故选：D.

【整体点评】方法一：取满足题意的特殊函数，是做选择题的好方法；

方法二：取特殊值，利用单调性排除，是该题的最优解；

方法三：根据题意依照单调性解不等式，是该题的通性通法．

8．若函数在上是增函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先分段分析函数的单调性，再利用函数在上是增函数，第一段函数的最大值小于等于第二段函数的最小值，即可得出结果.

【详解】当时，，

函数的对称轴为：，

当时，，

函数为一次函数，

又函数在上是增函数，

则，

所以实数a的取值范围是：.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了分段函数的单调性.属于较易题.

二、多选题

9．的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】由不等式，求得，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由不等式，可得，结合选项可得：

选项A为的一个充分不必要条件；

选项B为的一个既不充分也不必要条件；

选项C为的一个充分不必要条件；

选项D为的一个充要条件,

故选：AC.

10．不等式的解集是，则下列结论正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】根据二次函数图像与二次不等式关系求解即可.

【详解】解：因为不等式的解集是，

所以，且，

所以所以，，，

故AC正确，D错误．

因为二次函数的两个零点为，2，且图像开口向下，

所以当时，，故B正确．

故选：ABC．

11．下列说法正确的是（    ）

A．设 是两个集合，若 ，则

B．“ ”是“  ”的必要不充分条件

C．函数与  为同一个函数

D．设 是定义在 上的函数，则函数 是奇函数

【答案】AD

【分析】根据集合函数等有关定义逐项分析即可.

【详解】对于A，有条件知： ，

，正确；

对于B，当 时， ，错误；

对于C， ，解析式不同，错误；

对于D，令 ，则有 ，是奇函数，正确；

故选：AD.

12．已知 ，若，则下列关系式中恒成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】ABC

【分析】首先判断，，不确定，再利用不等式的性质，判断选项.

【详解】由条件可知，，，不确定，

A.因为，，所以，故A正确；

B.，所以，故B正确；

C.当时，，，当时，，此时，即，综上可知，C正确；

D.由C可知，，则，两边同时乘以，则，故D错误.

故选：ABC

三、填空题

13．函数的定义域是___________．

【答案】

【分析】直接求解即可得答案.

【详解】解：要使函数有意义，则需满足，解得 .

所以，函数的定义域是.

故答案为：

14．已知，则______

【答案】

【分析】通过赋值，代入求解.

【详解】令,得.

故答案为：

15．已知的定义域为，则的定义域是____

【答案】

【分析】函数的定义域，是的范围，根据函数的定义域，即可求解.

【详解】根据的定义域为，得，所以，所以，即的定义域为.

故答案为：

16．已知均为正实数，且，则的最小值为___________．

【答案】20

【分析】根据式子结构，构造基本不等式中“1的代换”，利用基本不等式求最值.

【详解】∵均为正实数，且，∴，则

，

当且仅当时取等号，则的最小值为20.

故答案为：20.

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

(1)“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方．

四、解答题

17．解下列不等式并写出解集.

(1)；

(2).

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）原不等式等价于，由此可求得原不等式的解集；

（2）原不等式等价于，由此可求得不等式的解集.

【详解】（1）由得，即，解得，

故不等式的解集为；

（2）（2）由得，∴，解得，

故不等式的解集为.

18．已知幂函数在上单调递增，函数.

(1)求的值;

(2)当时，记的值域分别为集合，求

【答案】(1)0

(2)

【分析】（1）根据幂函数解析式的特点，以及性质，列式求的值；

（2）首先分别求，再求.

【详解】（1）依题意得，或  

当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去，

当时，在上单调递增，满足条件，

.

（2）由（1）可知，，当时，函数和均单调递增.

所以集合,

所以.

19．已知函数.

(1)判断函数的奇偶性，并证明;

(2)用定义证明: 在区间上单调递减.

【答案】(1)奇函数，证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）利用函数奇偶性的定义，即可证明；

（2）利用单调性的定义法，即可证明.

【详解】（1）函数的定义域为，定义域关于原点对称，

函数是奇函数

综上所述，结论是: 函数是奇函数

（2）设，，   

则

所以

所以在区间上单调递减.

20．已知函数是定义在上的奇函数，当时，.

(1)求;

(2)求函数的解析式;

(3)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用函数是奇函数，，代入求值；

（2）设，，根据，即可求解；

（3）根据函数是奇函数，变形为，再利用函数的单调性求解.

【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，当时， ，所以;

（2）因为函数 是定义在上的奇函数，当时， ，所以任取，则，所以.

因为函数 是定义在上的奇函数，所以,

（3）当时，，所以在上单增;

因为函数 是定义在上的奇函数，所以函数在上单调递増，

所以可化为:

即 解得: ，即实数的取值范围是.

21．新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为250万元，每生产千件需另投入成本为.当年产量不足80千件时，（万元）.当年产量不小于80千件时，（万元）.每件商品售价为0.05万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.

（Ⅰ）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；

（Ⅱ）该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，可捐赠10万元物资款.

【解析】（Ⅰ）根据题意得千件药品销售额为万元，进而得；

（Ⅱ）当时，由二次函数性质得当时，取得最大值万元，当时，由基本不等式得当时，取得最大值1000万元，进而得年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，可捐赠10万元物资款.

【详解】（Ⅰ）因为每件药品售价为0.05万元，则千件药品销售额为万元，

依题意得：

当时，.

当时，.

所以.

（Ⅱ）当时，.

此时，当时，取得最大值万元.

当时，.

此时，即时，取得最大值1000万元.

由于，所以当年产量为100千件时，该厂在这一药品生产中所获利润最大，

此时可捐赠10万元物资款.

【点睛】关键点点睛：本题考查数学应用题，解决问题的关键是根据题意，建立数学模型，将实际问题数学化，再根据数学二次函数最值与基本不等式的知识求解得答案，最后回归实际应用问题，作答，考查知识迁移应用能力，数学建模能力，是中档题.

22．已知二次函数满足，且.

(1)求的解析式；

(2)当时，不等式恒成立；求实数的取值范围；

(3)设，求的最大值.

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）设，再根据结合系数的关系求解即可；

（2）化简可得，再根据在区间上的单调性求最小值即可；

（3）求得，再根据对称轴与区间中点的位置关系求最大值分析即可

【详解】（1）由于是二次函数，可设，恒成立，

恒成立，

，

又，

；

（2）当时，恒成立，

即恒成立，

令，当时，单调递减，.

所以；

（3），，对称轴为，

①当，即时，

；

②当，即时，

，

综上所述