2022-2023学年四川省遂宁市遂宁高级实验学校高一上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省遂宁市遂宁高级实验学校高一上学期期中数学试题

一、单选题

1．若全集，集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据交集的定义运算即得.

【详解】因为，，

所以.

故选：C.

2．已知命题：，，则命题的否定是（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的命题的否定求解作答.

【详解】因命题：，，则命题是全称量词命题，其否定是存在量词命题，

所以命题的否定是：，.

故选：A

3．下列函数中与函数是同一个函数的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据同一函数的概念，结合函数的定义域与对应法则，逐项判定，即可求解.

【详解】对于A中，函数的定义为，因为函数的定义域为，

所以两函数的定义域不同，不是同一函数；

对于B中，函数与函数的定义域和对应法则都相同，所以是同一函数；

对于C中，函数与函数的对应法则不同，不是同一函数；

对于D中，函数的定义域为，因为函数的定义域为，

所以两函数的定义域不同，不是同一函数.

故选：B.

4．函数定义域为（ ）

A．[2，+∞) B．(2，+∞)

C．(2，3)∪(3，+∞) D．[2，3)∪(3，+∞)

【答案】C

【分析】要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零.

【详解】要使函数有意义，

则，解得且，

所以的定义域为.

故选：C.

【点睛】具体函数定义域的常见类型：

（1）分式型函数，分母不为零；

（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；

（3）对数型函数，真数大于零；

（4）正切型函数，角的终边不能落在y轴上；

（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.

5．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.

【详解】当时，不一定成立，如满足，不满足，

当时，成立，

所以“”是“”的必要不充分条件.

故选：B

6．若函数为幂函数，且在区间上单调递增，则m=（    ）

A． B．3 C．或3 D．2或

【答案】A

【分析】根据已知条件列出关于的方程和不等式可求出结果.

【详解】因为函数为幂函数，且在区间上单调递增，

所以且，

由，得或，

当时，满足，

当时，不满足，舍去，

综上，

故选：A

7．定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则､､的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据单调性定义和偶函数性质可知在上单调递增，结合可得大小关系.

【详解】对任意的，有，

在上单调递减，又为上的偶函数，

在上单调递增，且，

，即.

故选：D.

8．若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】分为一次函数和二次函数讨论，当时，为二次函数，要满足在上为减函数，须使其开口向上，且对称轴再区间右侧，据此求解a的取值范围即可.

【详解】当时，，满足在上为减函数；

当时，为二次函数，

要满足在区间上为减函数，则，解得.

综上，a的取值范围是.

故选：B.

二、多选题

9．下列结论正确的是（    ）

A．

B．集合、，若，则

C．若，则

D．若，，则

【答案】BCD

【分析】根据元素与集合的关系可判断A选项；利用交集与并集的性质可判断BC选项；利用交集的定义可判断D选项.

【详解】对于A，，A错；

对于B，因为且，则，

同理可得，所以，，B对；

对于C，因为，即，C对；

对于D，因为，，则，D对.

故选：BCD.

10．下列说法中正确的是（    ）

A．若，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

【答案】AC

【分析】通过反例可说明BD错误；根据不等式的性质可证明AC正确.

【详解】对于A，，，，A正确；

对于B，若，，则，B错误；

对于C，，，又，，C正确；

对于D，若，，，，则，，，D错误.

故选：AC.

11．已知不等式的解集为，其中，则以下选项正确的有（    ）

A． B．

C．的解集为 D．的解集为或

【答案】AD

【分析】由题可得是方程的两个根，且，利用韦达定理表示出，即可求解不等式.

【详解】因为不等式的解集为，

所以是方程的两个根，且，故A正确，

则，即，

因为，则，所以，故B错误；

不等式化为，

即，即，

因为，所以，则不等式的解集为或，故C错误，D正确.

故选：AD.

12．已知，则（    ）

A．的最大值为

B．的最小值为4

C．的最小值为

D．的最小值为16

【答案】BCD

【分析】A选项，对不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最大值；B选项，将不等式变形为，利用基本不等式得到，求出的最小值；C选项，对不等式变形为，利用求解的最小值；D选项，不等式变形为，利用基本不等式求出和的最小值.

【详解】由得：，

因为，所以，所以，

由基本不等式可得：

当且仅当时，等号成立，此时，

解得：或，

因为，所以舍去，故的最大值为2，A错误；

由得：，

因为，所以，所以，

由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，

即，解得：或，

因为，所以舍去，

故的最小值为4，B正确；

由变形为，则，

由基本不等式得：，当且仅当时等号成立，

此时，令，则由，

解得：或（舍去）

所以的最小值为，C正确；

由可得：，

从而

当且仅当时，即，等号成立，

故最小值为16.

故选：BCD，

三、填空题

13．已知，则的解析式为_________．

【答案】

【分析】利用换元法令，再代入函数即可求解.

【详解】令，则，

所以，则，

故答案为：

14．已知函数y = f（x）是定义域为R的奇函数，当x > 0时，f（x） = x2 - 1，则f（0） + f（ - 2） =  _________ .

【答案】-3

【分析】根据奇函数的定义即可求解.

【详解】由题意：当 时， ，根据奇函数的定义有：当 时， ，

， ； ， ，

；

故答案为： .

15．若函数 在R上单调递减，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【分析】根据分段函数的单调性的性质，列式求解.

【详解】因为函数在R上单调递减，所以，且在时，，

所以.

故答案为：

16．已知函数为奇函数，，且与图象的交点为，，…，，则______．

【答案】18

【分析】由题意得函数f（x）与g（x）的图像都关于点对称，结合函数的对称性进行求解即可．

【详解】函数为奇函数，函数关于点对称，，函数关于点对称，所以两个函数图象的交点也关于点（1，2）对称，与图像的交点为，，…，,两两关于点对称， .

故答案为18

【点睛】本题考查了函数对称性的应用，结合函数奇偶性以及分式函数的性质求出函数的对称性是解决本题的关键，属于中档题.

四、解答题

17．解下列不等式：

(1)；

(2)．

【答案】(1)或

(2)

【分析】(1)将一元二次不等式等价转化，进而求解即可；

(2)将分式不等式移项等价转化为整式不等式，再利用一元二次不等式的解法即可求解.

【详解】（1）因为不等式可化为，

也即，解得：或，

所以原不等式的解集为或.

（2）不等式可化为，也即，

所以，解得：，

所以原不等式的解集为.

18．设全集为，集合，，或．求：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)或

【分析】（1）（2）根据集合的交并补运算求解即可.

【详解】（1）由，，

所以.

（2）由，，或，

所以或，

所以或.

19．已知函数.

(1)若，求在上的最大值和最小值；

(2)求在上的最小值.

【答案】(1)最大值为22，最小值为-3；

(2).

【分析】（1）把代入，利用二次函数在闭区间上的最值问题求解作答.

（2）按二次函数图象的对称轴与区间的关系，分类求解作答.

【详解】（1）当时，，因，则当时，，

而，则，

所以在上的最大值为22，最小值为-3.

（2）函数的图象对称轴为，

当，即时，函数在上单调递增，，

当，即时，函数在上单调递减，，

当时，，

所以在上的最小值为.

20．成都市某高中为了促使学生形成良好的劳动习惯和积极的劳动态度，建设了“三味园”生物研学基地.某班级研究小组发现某种水果的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足关系，且投入的肥料费用不超过6百元.另外，还需要投入其它的费用百元.若此种的水果市场价格为18元/千克（即18百元/百千克），且市场始终供不应求.记这种水果获得的利润为（单位：百元）.

(1)求函数的关系式，并写出定义域；

(2)当肥料费用为多少时，这种水果获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】(1)，

(2)肥料费用为元时，该水果获得的利润最大，最大利润是元．

【分析】（1）根据收入减去成本为利润，即可得到函数解析式，再写出函数的定义域即可；

（2）利用基本不等式求出函数的最大值，即可得解.

【详解】（1）解：依题意可得，

因为，所以，；

（2）解：，

当且仅当，即时取等号．

当投入的肥料费用为元时，该水果获得的利润最大，最大利润是元．

21．已知定义在上的函数满足:①对任意的,都有;②当且仅当时,成立.

(1)求;

(2)用定义证明的单调性;

(3)若对使得不等式恒成立,求实数m的取值范围.

【答案】(1)

(2)证明见解析

(3)

【分析】(1)令可得;

(2)任取,且,根据定义可得,即可证明;

(3)由(2)知函数在上是减函数,当在恒成立,令,转化为当时,恒成立且恒成立,分别求出其最值即可.

【详解】（1）对任意的,都有,

令,则,

.

（2）任取,且,

由,可知,

则,

,

,

,

故函数在上是减函数.

（3）由(2)知函数在上是减函数,

当时,恒成立,

即.

令，则,

当时,恒成立,

即当时,,

设,

则函数在时为增函数,

,

,

又当时,恒成立,

,

在时为减函数,

,

,

综上,实数m的取值范围为.

22．设函数的定义域为，如果存在，使得在上的值域也为，则称为“A佳”函数.已知幂函数在内是单调增函数.

(1)求函数的解析式:

(2) 是否为“A佳”函数.若是，请指出所在区间；若不是，请说明理由.

(3)若函数，且是“A佳”函数，试求出实数的取值范围.

【答案】(1)；

(2)是“A佳”函数，区间为；

(3).

【分析】（1）由幂函数的定义及性质即可求解的值；

（2）求得，，根据函数的值域为判断为“A佳”函数，利用函数的单调性、定义域和值域列出方程组，解之即可；

（3），则在上单调递减，由“A佳”函数的概念可得，利用换元法可求得，再利用换元法及二次函数的性质即可求解的取值范围．

【详解】（1）因为幂函数在内是单调增函数，

所以，解得，

所以函数的解析式为．

（2）由(1)知，，函数的定义域为，

又，所以函数的值域为，

则存在，使得在上的值域为，

故函数为“A佳”函数.

因为在上单调递增，所以函数在上单调递增，

有，解得或，或，

故“A佳”函数的区间为；

（3），，则在上单调递减，

因为是“A佳”函数，所以，

令，，则，，

所以，有，即，

因为，所以，所以，得，

所以，代入，

得，

因为，所以，得，

令，，

所以，又该函数在上单调递减，

所以，

所以实数的取值范围是.

【点睛】关于函数新定义问题，一般需要理解定义的内容，根据定义直接处理比较简单问题，加深对新定义的理解，本题中，需要根据是“A佳”函数，及函数的单调性转化为，换元后求出的关系，利用函数值域求解.